Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung

Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung Übung

• Gib die Wahrscheinlichkeit für Kopf bzw. Zahl beim einmaligen Münzwurf an.

  Tipps

  Wir nehmen an, dass die Münze fair ist und somit beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind.

  Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$.

  Lösung

  Wir nehmen an, dass die Münze fair ist und somit beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind. Also gilt: $P($Zahl$)=P($Kopf$)$.

  Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$. Deshalb haben wir $P($Zahl$)=P($Kopf$)=0,5$.

• Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten beim $100$-maligen Münzwurf keinmal, einmal, zweimal bzw. $50$-mal Kopf zu werfen.

  Tipps

  Keinmal Kopf bedeutet nur Zahl. Wie viele Möglichkeiten sind das?

  Bei $100$ Münzwürfen erwarten wir im Schnitt $50$-mal Kopf. Für $50$-mal Kopf sollte es also auch die meisten Möglichkeiten geben.

  Bei einmal Kopf ist „K“ entweder an der ersten, zweiten, $\ldots$, $100$-ten Position.

  Lösung

  Wir gehen die Fragen einzeln durch:

  • Keinmal Kopf bedeutet nur Zahl. Wie viele Möglichkeiten sind das? Dafür gibt es nur eine Möglichkeit.
  • Bei einmal Kopf ist „K“ entweder an der ersten, zweiten, $\ldots$, $100$-ten Position. Das sind also $100$ Möglichkeiten.
  • Bei zweimal Kopf ist „K“, wählt man sich von den $100$ Positionen genau zwei aus. Das sind $\binom{100}{2}=5050$ verschiedene Möglichkeiten.
  • Bei $100$ Münzwürfen erwarten wir im Schnitt $50$-mal Kopf. Für $50$-mal Kopf sollte es also auch die meisten Möglichkeiten geben. Es gibt so viele Möglichkeiten wie Sandkörner auf der Erde.

• Berechne jeweils die relative Häufigkeit.

  Tipps

  Beachte, dass sowohl die relative Häufigkeit für „rot“ als auch für „gelb“ erfragt wird.

  Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl des Auftretens dieses Ergebnisses.

  Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ergibt sich, indem man dessen absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen teilt.

  Erstelle dir eine Tabelle, in welcher du die Anzahl der Versuchsdurchführungen und die absoluten Häufigkeiten für „gelb“ und für „rot“ einträgst.

  Lösung

  In der ersten Zeile der Tabelle ist die Anzahl der Ziehungen $n$ zu sehen, in der zweiten und dritten jeweils die absoluten Häufigkeiten für „gelb“ und „rot“. Wenn man jeweils die absoluten Häufigkeiten addiert, erhält man die Anzahl der Versuchsdurchführungen.

  Die relativen Häufigkeiten seien $g_n$ für „gelb“, ebenso für „rot“ $r_n$. Der Index $n$ gibt die Anzahl der Versuchsdurchführungen an.

  Um die relativen Häufigkeiten zu erhalten, werden die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen geteilt.

  • Die relative Häufigkeit nach vier Versuchen für „rot“ $r_4=\frac14=0,25$.
  • Die relative Häufigkeit nach sechs Versuchen für „gelb“ $g_6=\frac46=0,\bar6$.
  • Die relative Häufigkeit nach acht Versuchen für „gelb“ $g_8=\frac68=0,75$.
  • Die relative Häufigkeit nach zehn Versuchen für „rot“ $r_{10}=\frac3{10}=0,3$.

  Was bedeuten diese relativen Häufigkeiten statistisch?

  Bei sehr vielen Versuchen wird es immer wahrscheinlicher, dass das Ziehergebnis der relativen Häufigkeit folgt.

  Je mehr Quader gezogen werden, desto unwahrscheinlicher wird es ein einfarbiges Ergebnis, also z. B. bei vier Ziehungen auf viermal rot oder viermal gelb, zu erhalten.

  Bei vier Ziehungen ist die Chance bereits auf $12,5~\%$ gesunken. Bei $10$ Ziehungen liegt die Chance nur noch bei hauchdünnen $0,2~\%$ und bei $100$ Ziehungen liegt die Chance bereits im Bereich von nur noch $10^{-28}~\%$.

  Dies liegt an der Verteilung der möglichen Mirkrozustände (z. B. „gelb“, „gelb“, „gelb“, „rot“, „rot“, „gelb“, „gelb“, „gelb“, „gelb“ und „rot“) auf die Markozustände (z. B. siebenmal gelb und dreimal rot).

  Auf diese Weise lässt sich das wahrscheinlichste Ergebnis für einen Versuch bestimmen, nicht jedoch vorhersagen.

• Gib die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse an.

  Tipps

  Wenn die Kugeln außer durch die Farbe nicht unterscheidbar sind, kann man davon ausgehen, dass jede der Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann.

  Wenn sich in der Urne genauso viele rote wie blaue Kugeln befinden, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?

  Richtig: Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel wäre $\frac12=0,5$.

  Wird die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, größer oder kleiner, wenn mehr rote als blaue Kugeln in der Urne liegen?

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben.

  Lösung

  Es befinden sich $10$ Kugeln in der Urne.

  Davon sind $6$ rot. Man kann also annehmen, dass es wahrscheinlicher ist, eine rote als eine blaue Kugel zu ziehen, da sich mehr rote Kugeln in der Urne befinden. Die Wahrscheinlichkeit beträgt

  $\frac6{10}=0,6$.

  Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt und die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse sich zu $1$ addieren, muss die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, dann $1-0,6=0,4$ betragen.

  Auf dieses Ergebnis kommt man auch, wenn man die Anzahl der blauen Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln teilt:

  $\frac4{10}=0,4$.

  Natürlich hätte man auch jedes andere Ergebnis angeben können, nur widerspräche dies der zu erwartenden Wahrscheinlichkeit. Bei $6$ roten von gesamt $10$ Kugeln wird man vernünftigerweise nicht annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit zum Beispiel $0,1$ beträgt.

• Bestimme die Anzahl der unterschiedlichen Ergebnisse beim dreimaligen Werfen einer Münze.

  Tipps

  Überlege dir, wie viele Tripel es von der Form $(x,y,z)$ gibt, wobei die Einträge nur „$K$“ für Kopf und „$Z$“ für Zahl entsprechen dürfen.

  Pro Eintrag hast du zwei Möglichkeiten.

  Lösung

  Überlege dir, wie viele Tripel es von der Form $(x,y,z)$ gibt, wobei die Einträge nur „$K$“ für Kopf und „$Z$“ für Zahl entsprechen dürfen.

  Pro Eintrag hast du zwei Möglichkeiten und somit insgesamt $2\cdot 2\cdot 2=8$ Möglichkeiten.

  Hier stehen nochmals alle Möglichkeiten zur Übersicht:

  $(K;K;K)$, $(K;K;Z)$, $(K;Z;K)$, $(Z;K;K)$, $(K;Z;Z)$, $(Z;K;Z)$, $(Z;Z;K)$, $(Z;Z;Z)$.

• Ermittle die relativen und absoluten Häufigkeiten.

  Tipps

  Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist eine natürliche Zahl, welche kleiner oder gleich der Anzahl der Versuchsdurchführungen ist.

  Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Quotient aus deren absoluter Häufigkeit und der Anzahl der Versuchsdurchführungen.

  Die relative Häufigkeit ist eine Zahl, welche größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.

  Lösung

  Um von der absoluten Häufigkeit zur relativen zu gelangen, muss die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen geteilt werden.

  Umgekehrt wird die relative Häufigkeit mit der Anzahl der Versuchsdurchführungen multipliziert, um zur absoluten Häufigkeit zu gelangen.

  So ist die relative Häufigkeit

  • nach $1000$ Durchführungen des Zufallsexperiments: $\frac{550}{1000}=0,55$,
  • nach $50000$ Durchführungen: $\frac{27000}{50000}=0,54$ und

  die absolute Häufigkeit

  • nach $10000$ Durchführungen: $0,52\cdot 10000=5200$ sowie
  • nach $100000$ Durchführungen: $0,51\cdot 100000=51000$.

  Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ wird in der Regel mit $0,5=50~\%$ angenommen. Wichtig ist zu berücksichtigen, dass dies eine theoretische Größe ist.