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Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung

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Martin Wabnik
Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung

Es wird oft behauptet: Wenn man z.B. eine Münze sehr oft wirft, pendelt sich die relative Häufigkeit des Ergebnisses (z.B.) "Kopf" bei 50 % ein. Die relative Häufigkeit ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit. Diese Behauptung hört sich wie ein Naturgesetz an. Wenn aber ein Naturgesetz beeinflusst, wie oft "Kopf" fällt, wäre das Werfen einer Münze kein Zufallsversuch mehr. Diesen Widerspruch finden viele Menschen komisch. Tatsächlich hat beim (z.B.) 100-fachen Münzwurf jede 100er-Kombination aus "Kopf" und "Zahl" exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gibt aber viel, viel mehr Kombinationen, deren relative Häufigkeit von "Kopf" in der Nähe von 50 % liegt, als es Kombinationen gibt, deren relative Häufigkeit von "Kopf" bei (z.B.) 10 % oder 20 % liegt. Deshalb ist es viel, viel wahrscheinlicher, eine Kombination mit einer relativen Häufigkeit in der Nähe von 50 % zu werfen. Kurz gesagt gibt es von bestimmten Kombinationen viel mehr als von anderen. Und dieses Resultat findet niemand komisch. Anmerkung zum Gebrauch des Wortes "Kombination": Es wird in diesem Video als Oberbegriff für Variation und Kombination verwendet - genauso, wie es üblich ist, die möglichen Passwörter, die aus einer Menge von Zeichen generiert werden können, als Kombinationen zu bezeichnen, obwohl die Reihenfolge der Zeichen berücksichtigt wird.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Das Video ist gut

    Von Angelina2017, vor mehr als 3 Jahren
  2. Der Begriff der mathematischen Kombination wird vorausgesetzt, dann sehr gut

    Von Mariarudolf, vor fast 4 Jahren
  3. mich hat das video manchmal eretiert

    Von Terez F., vor mehr als 5 Jahren

Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Wahrscheinlichkeit für Kopf bzw. Zahl beim einmaligen Münzwurf an.

    Tipps

    Wir nehmen an, dass die Münze fair ist und somit beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind.

    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$.

    Lösung

    Wir nehmen an, dass die Münze fair ist und somit beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind. Also gilt: $P($Zahl$)=P($Kopf$)$.

    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$. Deshalb haben wir $P($Zahl$)=P($Kopf$)=0,5$.

  • Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten beim $100$-maligen Münzwurf keinmal, einmal, zweimal bzw. $50$-mal Kopf zu werfen.

    Tipps

    Keinmal Kopf bedeutet nur Zahl. Wie viele Möglichkeiten sind das?

    Bei $100$ Münzwürfen erwarten wir im Schnitt $50$-mal Kopf. Für $50$-mal Kopf sollte es also auch die meisten Möglichkeiten geben.

    Bei einmal Kopf ist „K“ entweder an der ersten, zweiten, $\ldots$, $100$-ten Position.

    Lösung

    Wir gehen die Fragen einzeln durch:

    • Keinmal Kopf bedeutet nur Zahl. Wie viele Möglichkeiten sind das? Dafür gibt es nur eine Möglichkeit.
    • Bei einmal Kopf ist „K“ entweder an der ersten, zweiten, $\ldots$, $100$-ten Position. Das sind also $100$ Möglichkeiten.
    • Bei zweimal Kopf ist „K“, wählt man sich von den $100$ Positionen genau zwei aus. Das sind $\binom{100}{2}=5050$ verschiedene Möglichkeiten.
    • Bei $100$ Münzwürfen erwarten wir im Schnitt $50$-mal Kopf. Für $50$-mal Kopf sollte es also auch die meisten Möglichkeiten geben. Es gibt so viele Möglichkeiten wie Sandkörner auf der Erde.
  • Berechne jeweils die relative Häufigkeit.

    Tipps

    Beachte, dass sowohl die relative Häufigkeit für „rot“ als auch für „gelb“ erfragt wird.

    Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl des Auftretens dieses Ergebnisses.

    Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ergibt sich, indem man dessen absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen teilt.

    Erstelle dir eine Tabelle, in welcher du die Anzahl der Versuchsdurchführungen und die absoluten Häufigkeiten für „gelb“ und für „rot“ einträgst.

    Lösung

    In der ersten Zeile der Tabelle ist die Anzahl der Ziehungen $n$ zu sehen, in der zweiten und dritten jeweils die absoluten Häufigkeiten für „gelb“ und „rot“. Wenn man jeweils die absoluten Häufigkeiten addiert, erhält man die Anzahl der Versuchsdurchführungen.

    Die relativen Häufigkeiten seien $g_n$ für „gelb“, ebenso für „rot“ $r_n$. Der Index $n$ gibt die Anzahl der Versuchsdurchführungen an.

    Um die relativen Häufigkeiten zu erhalten, werden die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen geteilt.

    • Die relative Häufigkeit nach vier Versuchen für „rot“ $r_4=\frac14=0,25$.
    • Die relative Häufigkeit nach sechs Versuchen für „gelb“ $g_6=\frac46=0,\bar6$.
    • Die relative Häufigkeit nach acht Versuchen für „gelb“ $g_8=\frac68=0,75$.
    • Die relative Häufigkeit nach zehn Versuchen für „rot“ $r_{10}=\frac3{10}=0,3$.
    Was bedeuten diese relativen Häufigkeiten statistisch?

    Bei sehr vielen Versuchen wird es immer wahrscheinlicher, dass das Ziehergebnis der relativen Häufigkeit folgt.

    Je mehr Quader gezogen werden, desto unwahrscheinlicher wird es ein einfarbiges Ergebnis, also z. B. bei vier Ziehungen auf viermal rot oder viermal gelb, zu erhalten.

    Bei vier Ziehungen ist die Chance bereits auf $12,5~\%$ gesunken. Bei $10$ Ziehungen liegt die Chance nur noch bei hauchdünnen $0,2~\%$ und bei $100$ Ziehungen liegt die Chance bereits im Bereich von nur noch $10^{-28}~\%$.

    Dies liegt an der Verteilung der möglichen Mirkrozustände (z. B. „gelb“, „gelb“, „gelb“, „rot“, „rot“, „gelb“, „gelb“, „gelb“, „gelb“ und „rot“) auf die Markozustände (z. B. siebenmal gelb und dreimal rot).

    Auf diese Weise lässt sich das wahrscheinlichste Ergebnis für einen Versuch bestimmen, nicht jedoch vorhersagen.

  • Gib die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse an.

    Tipps

    Wenn die Kugeln außer durch die Farbe nicht unterscheidbar sind, kann man davon ausgehen, dass jede der Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann.

    Wenn sich in der Urne genauso viele rote wie blaue Kugeln befinden, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?

    Richtig: Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel wäre $\frac12=0,5$.

    Wird die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, größer oder kleiner, wenn mehr rote als blaue Kugeln in der Urne liegen?

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben.

    Lösung

    Es befinden sich $10$ Kugeln in der Urne.

    Davon sind $6$ rot. Man kann also annehmen, dass es wahrscheinlicher ist, eine rote als eine blaue Kugel zu ziehen, da sich mehr rote Kugeln in der Urne befinden. Die Wahrscheinlichkeit beträgt

    $\frac6{10}=0,6$.

    Da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt und die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse sich zu $1$ addieren, muss die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, dann $1-0,6=0,4$ betragen.

    Auf dieses Ergebnis kommt man auch, wenn man die Anzahl der blauen Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln teilt:

    $\frac4{10}=0,4$.

    Natürlich hätte man auch jedes andere Ergebnis angeben können, nur widerspräche dies der zu erwartenden Wahrscheinlichkeit. Bei $6$ roten von gesamt $10$ Kugeln wird man vernünftigerweise nicht annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit zum Beispiel $0,1$ beträgt.

  • Bestimme die Anzahl der unterschiedlichen Ergebnisse beim dreimaligen Werfen einer Münze.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Tripel es von der Form $(x,y,z)$ gibt, wobei die Einträge nur „$K$“ für Kopf und „$Z$“ für Zahl entsprechen dürfen.

    Pro Eintrag hast du zwei Möglichkeiten.

    Lösung

    Überlege dir, wie viele Tripel es von der Form $(x,y,z)$ gibt, wobei die Einträge nur „$K$“ für Kopf und „$Z$“ für Zahl entsprechen dürfen.

    Pro Eintrag hast du zwei Möglichkeiten und somit insgesamt $2\cdot 2\cdot 2=8$ Möglichkeiten.

    Hier stehen nochmals alle Möglichkeiten zur Übersicht:

    $(K;K;K)$, $(K;K;Z)$, $(K;Z;K)$, $(Z;K;K)$, $(K;Z;Z)$, $(Z;K;Z)$, $(Z;Z;K)$, $(Z;Z;Z)$.

  • Ermittle die relativen und absoluten Häufigkeiten.

    Tipps

    Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist eine natürliche Zahl, welche kleiner oder gleich der Anzahl der Versuchsdurchführungen ist.

    Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Quotient aus deren absoluter Häufigkeit und der Anzahl der Versuchsdurchführungen.

    Die relative Häufigkeit ist eine Zahl, welche größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.

    Lösung

    Um von der absoluten Häufigkeit zur relativen zu gelangen, muss die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen geteilt werden.

    Umgekehrt wird die relative Häufigkeit mit der Anzahl der Versuchsdurchführungen multipliziert, um zur absoluten Häufigkeit zu gelangen.

    So ist die relative Häufigkeit

    • nach $1000$ Durchführungen des Zufallsexperiments: $\frac{550}{1000}=0,55$,
    • nach $50000$ Durchführungen: $\frac{27000}{50000}=0,54$ und
    die absolute Häufigkeit
    • nach $10000$ Durchführungen: $0,52\cdot 10000=5200$ sowie
    • nach $100000$ Durchführungen: $0,51\cdot 100000=51000$.
    Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ wird in der Regel mit $0,5=50~\%$ angenommen. Wichtig ist zu berücksichtigen, dass dies eine theoretische Größe ist.

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