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Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

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Martin Wabnik
Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Wie oft beobachtet werden kann, liegt bei vielen Versuchsdurchführungen die relative Häufigkeit eines Ereignisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit desselben. Konkret heißt das für zum Beispiel den hundertfachen Münzwurf: Die relative Häufigkeit für Kopf beträgt oft ca. 50%, während Kombinationen mit "keinmal Kopf" oder "einmal Kopf" oder "zweimal Kopf" eigentlich nie zu beobachten sind. Warum ist das so? Es gibt wesentlich mehr Kombinationen mit ca. 50-mal Kopf als Kombinationen am Rand der Kombinationsverteilung, also Kombinationen mit "keinmal Kopf", "einmal Kopf" oder auch "99-mal Kopf" oder "100-mal Kopf". Es gibt sogar so unfassbar viel mehr Kombinationen in der Mitte, dass es uns nicht wundern muss, wenn eine Kombination am Rand auch in einem ganzen Menschenleben niemals auftritt.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehr einprägsam, DANKE

    Von Mariarudolf, vor fast 4 Jahren

Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Begründe, warum es wahrscheinlicher ist, einmal oder mehrmals „Kopf“ zu werfen als nie.

    Tipps

    Schaue dir an, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es für einmal „$\text{K}$“ gibt.

    • $\text{K,Z,Z,...,Z}$
    • $\text{Z,K,Z,...,Z}$
    • ...
    Es gibt genau eine Möglichkeit, dass nie „$\text{K}$“ auftritt: $\text{Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z}$

    Beachte den folgenden Unterschied:

    • Die Kombination $\text{K,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z}$ gibt es genau einmal.
    • Einmal „$\text{K}$“ kann bei zehnmaligem Werfen einer Münze zehnmal auftreten.

    Der Binomialkoeffizient

    $\begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix}$

    gibt die Anzahl der Möglichkeiten dafür an, $k$-mal „$\text{K}$“ zu werfen. Dabei muss $k\le 10$ gelten.

    Lösung

    Wenn du $10$-mal eine Münze wirfst und betrachtest, ob „Kopf“, kurz „$\text{K}$“, oder „Zahl“, kurz „$\text{Z}$“, oben liegt, gilt Folgendes:

    Die Wahrscheinlichkeit für $\underbrace{\text{K,...,K}}_{10-\text{mal}}$ ist ebenso groß wie die für, zum Beispiel, $\text{Z,}\underbrace{\text{K,...,K}}_{9-\text{mal}}$.

    Schauen wir uns dies einmal für die verschiedenen Häufigkeiten von „$\text{K}$“ an.

    Es gibt

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}=1$ Möglichkeiten dafür, nie „K“ zu werfen.

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}=10$ Möglichkeiten dafür, einmal „K“ zu werfen.

    Du kannst hier bereits erkennen, das $\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist. Somit gibt es mehr Kombinationsmöglichkeiten für einmal „$\text{K}$“ als für nie „$\text{K}$“. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit dafür, einmal „$\text{K}$“ zu werfen, größer als die für nie „$\text{K}$“.

    Es gelten die folgenden Relationen:

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

    und ebenso

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$

    Den jeweiligen Wert für den Binomialkoeffizienten

    $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$

    kannst du mit deinem Taschenrechner ermitteln.

    Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten jeweils vom Rand aus, also nie „$\text{K}$“ oder immer „$\text{K}$“, zur Mitte hin immer größer wird.

  • Bestimme die Reihenfolge der Kombinationsmöglichkeiten.

    Tipps

    Der linke Rand entspricht „nie K“, also $k=0$, und der rechte Rand „immer K“, also $k=n$. Dies siehst du hier für $n=5$.

    Es ist

    $\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1$.

    Es ist

    $\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix}=n$.

    Vom Rand zur Mitte hin werden die Anzahlen der Kombinationen immer größer.

    Lösung

    Es gilt ganz allgemein, dass am Rand („nie K“ oder „immer K“) weniger Kombinationsmöglichkeiten vorliegen als in der Mitte.

    Somit gibt es beim zehnmaligen Werfen

    • weniger Kombinationen für zweimal „K“ als für fünfmal „K“ und ebenso
    • weniger Kombinationen für neunmal „K“ als für siebenmal „K“.
    Wir schreiben mathematisch:

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$ sowie $\begin{pmatrix} 10 \\ 9 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}$

    Beim zwanzigmaligen Werfen ist zum Beispiel die Anzahl der Kombinationen für zweimal „K“ kleiner als die für zehnmal „K“:

    $\begin{pmatrix} 20 \\ 2 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix}$

    Beim hundertmaligen Werfen ist die Anzahl der Kombinationen für für $99$-mal „K“ kleiner als die für $51$-mal „K“:

    $\begin{pmatrix} 100 \\ 99 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 100 \\ 51 \end{pmatrix}$

  • Untersuche, welche Kombinationsmöglichkeiten fehlen.

    Tipps

    Überlege dir bei einmal „K“, an welcher Position des Quadrupels „K“ auftreten kann.

    Stelle vier Gläser vor dich und fülle zwei davon mit Wasser: Die beiden gefüllten und auch die beiden leeren Gläser kannst du als identisch ansehen. Verschiebe nun die Gläser so, bis du alle Möglichkeiten der Anordnung gefunden hast.

    Lösung

    In diesem Beispiel kannst du die Ergebnisse noch aufschreiben, weil die Anzahl der Möglichkeiten noch relativ gering ist. Du kannst nachvollziehen, dass es zur Mitte hin immer mehr Kombinationsmöglichkeiten gibt. Beim viermaligen Werfen einer Münze erhältst du als Ergebnisse geordnete Quadrupel. Wir schauen uns nun an, wie viele solcher Quadrupel es für eine gegebene Anzahl „K“ gibt. Hierfür schreiben wir diese Quadrupel auf.

    • Nie „K“: $($Z,Z,Z,Z$)$. Es gibt also nur eine solche Kombination.
    • Einmal „K“: „K“ kann an jeder Position des Quadrupels auftreten. Es sind also die folgenden Quadrupel möglich: $($K,Z,Z,Z$)$, $($Z,K,Z,Z$)$, $($Z,Z,K,Z$)$, $($Z,Z,Z,K$)$. Dies sind vier Kombinationsmöglichkeiten.
    • Zweimal „K“: $($K,K,Z,Z$)$, $($K,Z,K,Z$)$, $($K,Z,Z,K$)$, $($Z,K,K,Z$)$, $($Z,K,Z,K$)$, $($Z,Z,K,K$)$. Das sind sechs Kombinationsmöglichkeiten.
    • Dreimal „K“: Es gibt vier Möglichkeiten, dass „Z“ an verschiedenen Positionen des Quadrupels auftreten kann: $($Z,K,K,K$)$, $($K,Z,K,K$)$, $($K,K,Z,K$)$, $($K,K,K,Z$)$.
    • Viermal „K“: $($K,K,K,K$)$. Ebenso wie am anderen Rand gibt es auch hier nur eine Kombinationsmöglichkeit.
    Zusammengefasst gilt:

    • Am Rand (nie „K“ oder viermal „K“) gibt es jeweils die wenigsten Kombinationsmöglichkeiten, nämlich eine.
    • Die Zahl der Kombinationsmöglichkeiten wird zur Mitte hin größer: $1<4<6>4>1$.
    • Die Zahl der Kombinationsmöglichkeiten ist in der Mitte (zweimal „K“) am größten, nämlich $6$.
  • Ordne die Kombinationsmöglichkeiten.

    Tipps

    Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für $k$-maliges Auftreten von „K“ an. Hier wurde $n=50$ mal die Münze geworfen:

    $\begin{pmatrix} 50 \\ k \end{pmatrix}$

    Dabei muss $k\le n$ gelten.

    Merke dir

    $\begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 \\ 50 \end{pmatrix}=1$

    sowie

    $\begin{pmatrix} 50 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 \\ 49 \end{pmatrix}=50$.

    Am Rand (nie „K“ oder immer „K“) sind die Kombinationsmöglichkeiten am niedrigsten und werden zur Mitte hin immer höher.

    Beachte die folgende Symmetrie:

    $\begin{pmatrix} 50 \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 \\ 50-k \end{pmatrix}$

    Lösung

    Mit dem folgenden Merksatz kannst du dir die Reihenfolge deutlich machen:

    Am Rand (nie „K“ oder immer „K“) sind die Kombinationsmöglichkeiten am kleinsten und werden zur Mitte hin immer größer.

    Damit gilt:

    $\begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 1 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 2 \end{pmatrix}<...<\begin{pmatrix} 50 \\ 25 \end{pmatrix}$

    und ebenso:

    $\begin{pmatrix} 50 \\ 50 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 49 \end{pmatrix}<...<\begin{pmatrix} 50 \\ 25 \end{pmatrix}$

    Wir können also folgende Reihenfolge festhalten, beginnend mit der geringsten Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten.

    $\begin{pmatrix} 50 \\ 10 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 38 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 35 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 20 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 28 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} 50 \\ 25 \end{pmatrix}$

  • Gib an, wie die Relationen der Kombinationsmöglichkeiten beschrieben werden können.

    Tipps

    Schaue dir die Ränder (nie „K“ oder immer „K“) am Beispiel „Zehnmaliges Werfen einer Münze“ an:

    • Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z ist die einzige Kombination für nie „K“.
    • K,K,K,K,K,K,K,K,K,K ist die einzige Kombination für immer „K“.

    Wenn du dir die Anzahlen aufschreibst, wirst du feststellen, dass diese symmetrisch sind. Ein Beispiel:

    $\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Wenn du eine Münze zehnmal, zwanzigmal oder noch öfter wirfst, wirst du feststellen, dass die Kombinationsmöglichkeiten für nie „K“ oder für immer „K“ stets gleich groß sind, nämlich $1$. Mit dem Binomialkoeffizienten kannst du dies so schreiben:

    $\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}=1$.

    Schauen wir uns einmal die Kombinationsmöglichkeiten für einmal „K“ an, wenn die Münze $n$-mal geworfen wird:

    • K,Z,...,Z
    • Z,K,Z...,Z
    • Z,Z,K,Z,...,Z
    • ...
    „K“ kann sich also an jeder der $n$ Positionen befinden. Auch dies kannst du allgemein mit dem Binomialkoeffizienten beschreiben:

    $\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}=n$.

    Ebenso gilt auch $\begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix}=n$.

    Somit gilt $\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}$ und auch $\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}<\begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix}$.

    Dies kannst du verallgemeinern: Je weiter du zur Mitte kommst, desto größer wird die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten: Am Rand sind die Kombinationsmöglichkeiten am kleinsten und werden zur Mitte hin immer größer.

    „Am Rand“ bedeutet dabei nie „K“ oder immer „K“.

  • Ermittle die Kombinationsmöglichkeiten.

    Tipps

    Beachte, dass der Binomialkoeffizient symmetrisch ist. So ist zum Beispiel

    $\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5\end{pmatrix}=6$.

    In der Mitte ist die Anzahl immer am größten.

    • Wenn $n$ gerade ist, dann liegt die Mitte (und die höchste Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten) genau bei $\frac n2$.
    • Wenn $n$ ungerade ist, dann gibt es in der Mitte zwei Werte (mit jeweils der höchsten Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten), die übereinstimmen.

    Schaue dir als Beispiel die Zeile zu $n=3$ an, von links nach rechts:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=1$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=3$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=3$, $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}=1$

    Lösung

    An dem Pascal’schen Dreieck kannst du sehr schön erkennen, dass die Kombinationsmöglichkeiten am Rand ($k=0$ oder $k=n$) immer am kleinsten sind, nämlich $1$, und zur Mitte hin immer größer werden.

    Schauen wir uns nun die Zeilen unterhalb $n=3$ an.

    $n=4$ von links nach rechts:

    $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=1$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}=4$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}=6$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=4$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=1$

    $n=5$ von links nach rechts:

    $\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}=1$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}=5$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}=10$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}=10$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=5$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}=1$

    $n=6$ von links nach rechts:

    $\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}=1$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}=6$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}=15$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}=20$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}=15$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}=6$, $\begin{pmatrix} 6 \\6 \end{pmatrix}=1$

    Natürlich wirst du nun nicht das Pascal’sche Dreieck bis $n=100$ aufschreiben, um die Kombinationsmöglichkeiten bei dieser Anzahl von Würfen zu berechnen. Da hilft dir dein Taschenrechner weiter.

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