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Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung

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Mathe-Team
Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln als Potenzen schreiben – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Wenn $6^3=216$ ist, so gilt $\sqrt[3]{216}=6$.

    $6^3$ bedeutet, dass $6$, die Basis, mit $3$, dem Exponenten, potenziert wird.

    Lösung

    Die Suche nach einer Zahl $x$, welche mit $3$ potenziert $216$ ergibt, nennt man auch Wurzelziehen.

    Das Wurzelziehen ist die Umkehrung vom Potenzieren. Das bedeutet:

    $\left(\sqrt[n] b\right)^n=\sqrt[n]{b^n}=b$.

  • Tipps

    Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Es gilt $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$.

    Lösung

    Die Frage ist, ob sich $\sqrt[3]a$ auch als Potenz schreiben lässt. Dies würde bedeuten, dass

    $\sqrt[3]a=a^x$

    ist. Wie sieht $x$ aus?

    Um dies herauszufinden wird die Gleichung umgeformt:

    $\begin{align*} \sqrt[3]a&=a^x&|&^3 \\ \left(\sqrt[3]a\right)^3& =\left(a^x\right)^3\\ a^1&=a^{3x}. \end{align*}$

    Dabei wurde

    • zum einen $\left(\sqrt[n]a\right)^n=a$ sowie
    • zum anderen $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ verwendet.
    Da $a=a^1$ ist, führt der Vergleich der Exponenten zu der Gleichung

    $1=3x$, was äquivalent ist zu $x=\frac13$.

    Somit ist

    $\sqrt[3]a=a^{\frac13}$.

  • Tipps

    Produkte werden potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Bei Potenzen mit negativem rationalen Exponenten kann die Regel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$

    verwendet werden.

    Bei der Quadratwurzel schreibt man den Wurzelexponenten nicht:

    $\sqrt[2] a=\sqrt a$.

    Lösung
    • $\sqrt[4]{2b}=\left(2b\right)^{\frac14}$. Dieser Term kann nicht weiter vereinfacht werden.
    • $\sqrt[4]{16a}=\left(16a\right)^{\frac14}=2\cdot a^{\frac14}$. Denn beim Potenzieren eines Produktes muss jeder Faktor potenziert werden.
    • Bei negativen rationalen Exponenten kann zunächst die Regel verwendet werden, dass eine Potenz mit negativem Exponenten wie folgt als Bruch geschrieben werden kann: $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Somit ist $a^{-\frac 1n}=\frac1{\sqrt[n]a}$.
    • $\sqrt[4]1=1$, denn $1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1$.
    • $\sqrt{64}=8$, denn $8 \cdot 8 = 64$.
  • Tipps

    $32$ ist eine Zweierpotenz.

    Es gilt

    $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$.

    Verwende die Potenzregel:

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Gesucht ist die fünfte Wurzel aus $32^2$.

    Hierfür kann zunächst $32$ als Zweierpotenz geschrieben werden:

    $32=2^5$.

    Damit ist $32^2=\left(2^5\right)^2=2^{5\cdot 2}=2^{10}$.

    Hier wurde verwendet, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert wird: $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Unter Verwendung von $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$ kann weiter umgeformt werden zu

    $\sqrt[5]{32^2}=\sqrt[5]{2^{10}}=\left(2^{10}\right)^{\frac15}=2^{10\cdot \frac15}=2^2=4$.

  • Tipps

    Wie kann man $x\cdot x\cdot x$ in Potenzschreibweise notieren?

    Es gilt

    $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$.

    Dabei wird die Basis $a$ $n$-mal mit sich selbst multipliziert.

    Die Umkehrung von Quadrieren ist die Quadratwurzel:

    $5^2=25\Leftrightarrow 5=\sqrt{25}$.

    Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent nicht aufgeschrieben.

    Lösung

    Das dreimalige Multiplizieren einer unbekannten Zahl $x$ mit sich selbst kann wie folgt geschrieben werden:

    $x\cdot x\cdot x=x^3$.

    Wenn dies $216$ ergeben soll, führt dies zu der Gleichung $x^3=216$. Wie kann eine solche Gleichung gelöst werden?

    Die Lösung dieser Gleichung ist $x=\sqrt[3]{216}$. Dies ist die dritte Wurzel von $216$.

    Wenn bekannt ist, dass $6^3=216$ ist, kann gefolgert werden, dass $\sqrt[3]{216}=6$ ist.

    Die gesuchte Zahl ist demnach $x=6$.

  • Tipps

    Verwende die Volumenformel $V=a^3$.

    Der Würfel hat $12$ Kanten.

    Die $6$ Seitenflächen des Würfels sind kongruente Quadrate.

    Lösung

    Um die gesamte Kantenlänge sowie die Oberfläche zu berechnen, muss zunächst die Kantenlänge des Würfels hergeleitet werden. Hierfür verwendet man die Formel $V=a^3$.

    Es gilt also $a^3=3375~cm^3$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man

    $a=\sqrt[3]{3375~cm^3}=\sqrt[3]{3375}~cm=15~cm$, da $15^3=3375$.

    Mit diesem $a$ kann

    • die gesamte Kantenlänge $l=12\cdot a=12\cdot15~cm=180~cm$ sowie
    • die Oberfläche $A_O=6\cdot a^2=6\cdot (15~cm)^2=6\cdot 225~cm^2=1350~cm^2$
    berechnet werden.

    Die gesamte Kantenlänge des Würfels beträgt somit $180~cm$ und die Oberfläche $1350~cm^2$.

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