30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Winkel bestimmen

Bewertung

Ø 3.2 / 22 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Winkel bestimmen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Winkel bestimmen

Winkel können manchmal auch ohne Nachmessen bestimmt werden. Hierzu werden verschiedene Sätze über Winkel benötigt, z.B. die Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Thales, Wechselwinkel, Stufenwinkel, Ergänzung zum gestreckten Winkel oder Vollwinkel, Winkel im Gleichseitigen Dreieck usw. Solche Aufgaben werden häufig in zentralen Prüfungen gestellt, um Stoff der Unterstufe abzufragen. Im Video sehen wir eine Aufgabe, die im Kopf gelöst werden können sollte. Die zweite Aufgabe ist etwas kniffliger, weil erst eine Hilfsfigur gezeichnet werden sollte, um die Argumentation klar zu machen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. ok

    Von no brian , vor 4 Monaten
  2. ok

    Von Martin 69, vor 6 Monaten
  3. ok

    Von Rita Rusu, vor 8 Monaten
  4. Ok

    Von Mariiiiiiiiiii, vor 8 Monaten
  5. ok

    Von Wuffel997, vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Winkel bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkel bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die verwendeten Winkelzusammenhänge an.

    Tipps

    Zeichne eine Strecke und trage über dieser Strecke einen Halbkreis ab. Wähle einen beliebigen Punkt auf diesem Halbkreis.

    Welche besondere Eigenschaft hat das resultierende Dreieck, das aus dem Punkt auf dem Halbkreis und den beiden Endpunkten der Strecke besteht?

    Du kannst aus dem Satz über die Innenwinkel eines Dreiecks ableiten, wie groß die drei Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sein müssen, wenn diese alle gleich groß sind.

    Lösung

    Der Satz des Thales besagt,

    • wenn über einer Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ ein Halbkreis gezeichnet wird und
    • der dritte Punkt $C$ auf dem Rand dieses Halbkreises liegt,
    • so ist das Dreieck $\Delta ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $C$.
    Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer $180^\circ$.

    Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $180^\circ:3=60^\circ$.

  • Berechne die fehlenden Winkel.

    Tipps

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß.

    Der Satz des Thales besagt, dass bei einem Dreieck,

    • dessen eine Seite der Durchmesser eines Kreises ist und
    • dessen dritter Punkt auf dem Rand des Kreises liegt,
    ein rechter Winkel in dem dritten Punkt vorliegt.

    Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^\circ$.

    Lösung

    In dem Bild sind die Lösungen bereits zu sehen:

    Schritt 1: Unter Verwendung des Satzes von Thales kann man herleiten, dass der Winkel gegenüber dem Durchmesser des Kreises ein rechter Winkel ist. Dieser ist durch einen Punkt gekennzeichnet und beträgt also $90^\circ$.

    Schritt 2: Das Dreieck, welches sich komplett in dem Schnitt der beiden Kreise befindet, ist gleichseitig. Warum ist das so? Alle drei Seiten gehen von einem Mittelpunkt einer der beiden Kreise zum Kreisrand. Somit haben alle Seiten die Länge $r$.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß. Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt, gilt $3\beta=180^\circ$ und somit $\beta=60^\circ$. Dies ist der linke Winkel des Dreiecks.

    Schritt 3: Um den Winkel rechts unten im Dreieck zu berechnen, kann wieder der Innenwinkelsummensatz im Dreieck verwendet werden. Es gilt:

    $\gamma+60^\circ+90^\circ=180^\circ$

    Nun kann auf beiden Seiten $150^\circ$ subtrahiert werden und man erhält für den dritten Winkel des Dreiecks:

    $\gamma=180^\circ-150^\circ=30^\circ$

    Schritt 4: Um den gesuchten Winkel $\alpha$ zu berechnen, muss nun noch von dem Vollwinkel $360^\circ$ der Winkel unten rechts im Dreieck, also $30^\circ$, subtrahiert werden. Es folgt:

    $\alpha=360^\circ-30^\circ=330^\circ$

  • Gib jeweils den fehlenden Winkel an.

    Tipps

    Wenn du die drei Innenwinkel eines Dreiecks addierst, erhältst du immer das gleiche Ergebnis.

    Lösung

    Der Summensatz für die Innenwinkel eines Dreiecks besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer $180^\circ$ ergibt.

    • Seien $\alpha=\beta=40^\circ$, dann ist $\gamma=180^\circ-(40^\circ+40^\circ)=100^\circ$.
    • Seien $\alpha=50^\circ$ und $\gamma=100^\circ$, dann ist $\beta=180^\circ-(50^\circ+100^\circ)=30^\circ$.
    • Seien $\beta=60^\circ$ und $\gamma=50^\circ$, so ist $\alpha=180^\circ-(60^\circ+50^\circ)=70^\circ$.
    • Seien $\alpha=50^\circ$ und $\gamma=50^\circ$, so ist $\beta=180^\circ-(50^\circ+50^\circ)=80^\circ$.

  • Ermittle die Größen der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks.

    Tipps

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß.

    Hier siehst du eine mögliche Zerlegung des regelmäßigen Sechsecks.

    Lösung

    Hier ist die Unterteilung des Sechsecks in sechs kongruente gleichseitige Dreiecke zu sehen.

    Am Beispiel des Dreiecks $\Delta ABM$: Alle Winkel dieses Dreiecks sind gleich groß, also $60^\circ$. Also ist der Winkel in $B$ $60^\circ$.

    Ebenso ist der Winkel in $B$ in dem Dreieck $\Delta BCM$ $60^\circ$ groß.

    Der Innenwinkel im Punkt $B$ des Sechsecks ergibt sich als Summe der beiden Winkel $60^\circ+60^\circ=120^\circ$. Damit ist die Innenwinkelsumme des Sechsecks $6\cdot 120^\circ=720^\circ$.

  • Bestimme den Winkel $\alpha$.

    Tipps

    Ein gestreckter Winkel ist $180^\circ$ groß.

    Du stellst die Gleichung so um, dass du im letzten Schritt die gesuchte Größe erhältst.

    Lösung

    Die beiden Winkel $\alpha$ sowie $2\alpha$ teilen gemeinsam mit dem rechten Winkel den gestreckten Winkel $180^\circ$.

    Das bedeutet, dass die Summe dieser drei Winkel zusammen $180^\circ$ ergibt:

    $\alpha+2\alpha+90^\circ=180^\circ$

    Nun kann auf beiden Seiten $90^\circ$ subtrahiert und die Summe $\alpha+2\alpha$ zu $3\alpha$ zusammengefasst werden:

    $3\alpha=90^\circ$

    Die Division durch $3$ führt zu dem gesuchten Winkel:

    $\alpha=30^\circ$

  • Berechne die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$.

    Tipps

    Der obere Winkel in dem kleinen Dreieck ergibt gemeinsam mit dem Winkel $110^\circ$ einen gestreckten Winkel.

    Wenn Geraden von Parallelen geschnitten werden, ergeben sich zum Beispiel Stufenwinkel. Diese sind gleich groß.

    Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ergibt $180^\circ$.

    Lösung

    Der Winkel $\alpha$ ist ein Stufenwinkel des linken unteren Winkels des großen Dreiecks, welcher $35^\circ$ groß ist.

    Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt $\alpha=35^\circ$.

    Der obere Winkel sowohl des kleinen als auch des großen Dreiecks ergibt gemeinsam mit dem Winkel von $110^\circ$ einen gestreckten Winkel, also $180^\circ$. Somit beträgt dieser Winkel:

    $180^\circ-110^\circ=70^\circ$

    Da die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck $180^\circ$ ergibt, folgt für das Dreieck:

    $35^\circ+70^\circ+\beta=180^\circ$

    Nun kann auf beiden Seiten $105^\circ$ subtrahiert werden. Dies führt zu:

    $\beta=75^\circ$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.828

Lernvideos

44.265

Übungen

38.909

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden