Winkel an Geradenkreuzungen berechnen

Winkel an Geradenkreuzungen berechnen Übung

• Berechne die Winkel $\beta_1$ und $\beta_2$.

  Tipps

  Merke dir:

  • Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180^\circ$.
  • Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel sind jeweils gleich groß.

  Zu jedem Winkelpaar siehst du nun ein Beispiel:

  • Nebenwinkel: $\alpha_1+\beta_1=180^\circ$
  • Scheitelwinkel: $\delta_1=\beta_1$
  • Stufenwinkel: $\beta_1=\beta_2$
  • Wechselwinkel: $\delta_1=\beta_2$

  Scheitelwinkel liegen sich an sich schneiden Geraden gegenüber und Nebenwinkel nebeneinander.

  Lösung

  Von drei Geraden schneiden sich jeweils drei in den eingezeichneten Winkeln.
  Du weißt, dass $\beta_3=32^\circ$ groß ist.

  Wir berechnen jetzt die fehlenden Winkel.

  • $\beta_2$ ist ein Scheitelwinkel zu $\beta_3=32^\circ$, also ist auch $\beta_2=32^\circ$, da Scheitelwinkel gleich groß sind.
  • $\beta_1$ ist ein Nebenwinkel zu $\beta_3$. Da Nebenwinkel sich zu $180^\circ$ ergänzen, kannst du $\beta_1$ wie folgt ausrechnen: $\beta_1+\beta_3=180^\circ$. Subtrahiere nun $\beta_3=32^\circ$. So erhältst du $\beta_1=180^\circ-32^\circ=148^\circ$.

• Beschreibe, wie du den fehlenden Winkel berechnen kannst.

  Tipps

  $\alpha'$ ist ein Scheitelwinkel von $\alpha$. Was weißt du über Scheitelwinkel?

  Richtig: Sie sind gleich groß.

  Wenn du dieses Bild auf die Aufgabenstellung überträgst, kannst du erkennen, dass

  • $\alpha=\alpha_1$ ist und
  • der gesuchte Winkel $\beta=\beta_2$.
  • $\alpha'=\gamma_2$ ist ein Nebenwinkel von $\beta$.

  Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180^\circ$.

  Lösung

  Da $\alpha=124^\circ$ bereits bekannt ist, kannst du zum Beispiel den Scheitelwinkel von $\alpha$, hier $\alpha'$, betrachten. Scheitelwinkel sind gleich groß:

  $\alpha'=\alpha=124^\circ$.

  Der Stufenwinkel zu $\alpha'$ ist der Nebenwinkel zu $\beta$. Das bedeutet, dass $\alpha'$ und $\beta$ sich zu $180^\circ$ ergänzen.

  $\beta+124^\circ=180^\circ$.

  Ziehe nun $124^\circ$ ab und du erhältst

  $\beta=180^\circ-124^\circ=56^\circ$.

• Bezeichne die Winkel.

  Tipps

  Wenn sich zwei Geraden schneiden, zum Beispiel die rote und die blaue, dann entstehen

  • nebeneinander liegende Winkel, also Nebenwinkel, sowie
  • sich gegenüber liegende Winkel, also Scheitelwinkel.

  Scheitelwinkelpaare sind

  • $\alpha_1$ und $\gamma_1$,
  • $\alpha_2$ und $\gamma_2$,
  • $\beta_1$ und $\delta_1$ sowie
  • $\beta_2$ und $\delta_2$.

  Nebenwinkelpaare sind (es gibt noch mehr!)

  • $\alpha_2$ und $\beta_2$,
  • $\beta_1$ und $\gamma_1$ sowie
  • $\beta_2$ und $\gamma_2$.

  Wenn zwei parallele Geraden, die rote und die violette, von einer weiteren Geraden geschnitten werden, entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.

  Hier siehst du jeweils ein Beispiel für

  • ein Stufenwinkelpaar: $\beta_1$ und $\beta_2$ sowie
  • ein Wechselwinkelpaar: $\beta_1$ und $\gamma_2$.

  Lösung

  Merke dir:

  • Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$ und
  • Scheitelwinkel, Stufenwinkel sowie Wechselwinkel sind gleich groß.

  Hierfür müsstest du dir allerdings auch merken, welcher Winkel im Bezug auf einen gegebenen Winkel gerade vorliegt:

  Lass' uns mit $\alpha$ beginnen:

  1. Neben $\alpha$, entweder nach rechts oben oder links unten, liegen die beiden Nebenwinkel von $\alpha$. Der Winkel bei 1 ist übrigens auch ein Stufenwinkel von $\beta$.
  2. Direkt gegenüber von $\alpha$ liegt der Scheitelwinkel.
  3. Wenn du dir die hellblaue Gerade anschaust, welche parallel zu der dunkelblauen verläuft, erkennst du eben diese vier Winkel wieder: Ein Stufenwinkel zu $\alpha$ und
  4. der Scheitelwinkel dieses Stufenwinkels ist ein Wechselwinkel von $\alpha$.

  Ebenso kannst du bei $\beta$ vorgehen.

  1. Ein Nebenwinkel, dieser ist übrigens auch ein Stufenwinkel von $\alpha$, und
  2. der Scheitelwinkel von $\beta$.
  3. Hier ist ein Stufenwinkel von $\beta$ zu erkennen und
  4. der Scheitelwinkel dieses Stufenwinkels ist wiederum ein Wechselwinkel zu $\beta$.

• Leite die Werte für die verschiedenen Winkel her.

  Tipps

  Nebenwinkel liegen nebeneinander und Scheitelwinkel liegen sich gegenüber.

  Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$.

  Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

  Lösung

  Mit $\alpha_1=40^\circ$ können auch $\alpha_2$ sowie $\alpha_3$ berechnet werden:

  • $\alpha_3=\alpha_1=40^\circ$, da diese beiden Winkel Scheitelwinkel sind.
  • $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind Nebenwinkel, ergänzen sich also zu $180^\circ$. Damit erhältst du $40^\circ+\alpha_2=180^\circ$. Ziehe nun $40^\circ$ ab. Damit kommst du zu $\alpha_2=140^\circ$.

  Schauen wir uns nun $\gamma_3=80^\circ$ an:

  • Der Scheitelwinkel ist $\gamma_1=80^\circ$.
  • Ein Nebenwinkel ist $\gamma_2=180^\circ-80^\circ=100^\circ$.

  Bleibt noch der Winkel $\beta_1=120^\circ$:

  • Da $\beta_3$ der Scheitelwinkel ist, gilt $\beta_3=120^\circ$.
  • $\beta_2$ ist ein Nebenwinkel und damit ist $\beta_2=180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

• Ergänze die Erklärung zu den Winkelpaaren.

  Tipps

  Wenn sich zwei Geraden schneiden, zum Beispiel die rote und die blaue, dann entstehen

  • nebeneinander liegende Winkel, also Nebenwinkel, zum Beispiel $\alpha_1$ und $\beta_1$, sowie
  • sich gegenüber liegende Winkel, also Scheitelwinkel, zum Beispiel $\alpha_1$ und $\gamma_1$.

  Wenn zwei parallele Geraden, die rote und die violette, von einer weiteren Geraden geschnitten werden, entstehen Stufenwinkel und Wechselwinkel.

  $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind Stufenwinkel und $\gamma_1$ und $\alpha_2$ Wechselwinkel.

  Übertrage dieses Bild, also insbesondere die parallelen Geraden und die die beiden Geraden schneidende Gerade auf ein Blatt und miss die Winkel nach.

  Übrigens: Ein gestreckter Winkel beträgt $180^\circ$.

  Lösung

  Wenn sich zwei Geraden schneiden, zum Beispiel die rote und die blaue, dann heißen

  • die Winkel, die sich gegenüber liegen, Scheitelwinkel, diese sind gleich groß, und
  • die, die nebeneinander liegen, Nebenwinkel, deren Summe ist immer $180^\circ$.

  So sind

  • $\alpha_1$ und $\gamma_1$ Scheitelwinkel, also $\alpha_1=\gamma_1$, sowie
  • $\alpha_1$ und $\beta_1$ Nebenwinkel, also $\alpha_1+\beta_1=180^\circ$.

  Wenn zwei parallele Geraden, die rote und die violette, von einer weiteren Geraden geschnitten werden, erhält man Stufenwinkel und Wechselwinkel:

  • Stufenwinkel sind zum Beispiel $\alpha_1$ und $\alpha_2$. Stufenwinkel sind gleich groß. Es gilt somit $\alpha_1=\alpha_2$.
  • Wechselwinkel sind zum Beispiel $\gamma_1$ und $\alpha_2$. Auch diese Winkel sind gleich groß: $\gamma_1 =\alpha_2$.

  Zusammenfassend kannst du dir merken:

  • Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180^\circ$.
  • Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel sind jeweils gleich groß.

• Ermittle den fehlenden Winkel in einem Dreieck.

  Tipps

  Es gilt übrigens in jedem Dreieck, dass die Summe der drei Innenwinkel $180^\circ$ beträgt. Dies ist der Winkelsummensatz.

  Wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten wird, entstehen Stufen- und Wechselwinkel.

  Zum Beispiel sind

  • $\beta_2$ und $\delta_1$ Wechselwinkel und
  • $\beta_2$ und $\beta_1$ Stufenwinkel.

  Merke dir:

  • Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$.
  • Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel sind gleich groß.

  Lösung

  Da hat Paul sich ja einmal ein kniffliges Rätsel ausgesucht.

  Clever wie er ist, zeichnet er erst einmal eine Gerade, die parallel zu der violetten Seite des Dreiecks verläuft. So erhält er die Wechselwinkel $\alpha'$ zu $\alpha$ und $\beta'$ zu $\beta$.

  Er erinnert sich, dass Wechselwinkel gleich groß sind. Also ist

  • $\alpha'=\alpha=65^\circ$ und
  • $\beta'=\beta=35^\circ$.

  Nun schaut er sich sein Dreieck noch einmal ganz genau an: Er sieht, dass die drei Winkel $\alpha'$, $\beta'$ und $\gamma$ zusammen den gestreckten Winkel, also $180^\circ$, ergeben:

  $65^\circ+35^\circ+\gamma=180^\circ$.

  Nun kann er die bekannten Winkel abziehen:

  $\gamma=180^\circ-65^\circ-35^\circ=180^\circ-100^\circ=80^\circ$.

  Er überlegt sich, dass das ja eigentlich für beliebige Winkel in Dreiecken gelten muss:

  $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.

  Damit hat er Recht. Dies ist der Winkelsummensatz, welcher besagt, dass in jedem Dreieck die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.