Was ist ein Integral?

Was ist ein Integral? Übung

• Ergänze die Erklärung zur Flächenberechnung.

  Tipps

  Wenn du die Rechtecke so festlegst, dass sie immer über dem Funktionsgraphen sind, bestimmst du eine sogenannte Obersumme.

  Diese ist immer größer oder gleich dem tatsächlich gesuchten Flächeninhalt.

  Das hier betrachtete Intervall ist gegeben durch die Grenzen auf der $x$-Achse.

  Lösung

  Da das betrachtete Flächenstück durch einen „krummen“ Funktionsgraphen begrenzt ist, muss der Inhalt dieses Flächenstücks anders berechnet werden als mit den bisher bekannten Mitteln.

  Du könntest zum Beispiel das Flächenstück abschätzen. Dafür zeichnest du Gitternetzlinien in das Koordinatensystem, so dass du Einheitsquadrate erhältst. Jedes dieser Einheitsquadrate hat den Flächeninhalt $1$. Nun zählst du diese Einheitsquadrate.

  Dieses Verfahren wird dir allerdings nur eine ungefähre Lösung verschaffen, da die Quadrate die Fläche nicht exakt ausfüllen. Das Verfahren eignet sich aber durchaus zur Kontrolle.

  Bei der betrachteten Funktion beträgt der Flächeninhalt ungefähr $11$ Flächeneinheiten.

  Eine vielversprechende Möglichkeit sind sogenannte Unter- sowie Obersummen. Du unterteilst das betrachtete Intervall $[a;b]$ in $n$ gleich große Teilintervalle. Das hier betrachtete Intervall ist $[0;4]$.

  Untersummen

  • Zeichne Rechtecke ein, welche so breit sind wie das jeweilige Teilintervall und so hoch, dass sie gerade noch unterhalb des Funktionsgraphen liegen. Hierfür wählst du als Höhe den kleinsten Funktionswert auf dem betrachteten Intervall.
  • Die Summe der Rechteckflächen wird als Untersumme bezeichnet.
  • $U_n$ ist die Untersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleich große Teilintervalle.

  Obersummen

  • Ebenso kannst du Rechtecke einzeichnen, die gerade noch oberhalb des Funktionsgraphen liegen. Wähle hierfür den größten Funktionswert auf dem betrachteten Intervall.
  • Die Summe dieser Rechteckflächen wird als Obersumme bezeichnet.
  • $O_n$ ist die Obersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleich große Teilintervalle.

  Idee

  Sowohl die Ober- als auch die Untersumme wird immer genauer, je „feiner“ du die Einteilung vornimmst. Wenn die Anzahl der Rechtecke unendlich groß ist (dann ist die Einteilung unendlich fein), erhältst du die tatsächliche Fläche, die von dem Funktionsgraphen eingeschlossen wird.

  Zusätzliche Informationen:

  1. $U_n\le A\le O_n$: Die Unter- sowie Obersummen schließen also den tatsächlich gesuchten Flächeninhalt $A$ ein.
  2. $U_n$ ist eine monoton steigende Folge. Sie lautet $U_{n+1}\ge U_n$.
  3. $O_n$ ist eine monoton fallende Folge. Sie lautet $O_{n+1}\le O_n$.
  4. Schließlich gilt für immer kleiner werdende Teilintervalle $\lim\limits_{n\to\infty}U_n=A=\lim\limits_{n\to\infty}O_n$.

• Definiere, was ein Integral ist.

  Tipps

  Beachte: Die linke Intervallgrenze ist die untere Integrationsgrenze.

  Der Term $dx$ steht für das Diffential und zeigt die Integrationsvariable an.

  Lösung

  • Die Summe von Rechteckflächen, welche komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen, wird als Untersumme bezeichnet. $U_n$ ist die Untersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleichgroße Teilintervalle.
  • Die Summe von Rechteckflächen, welche komplett oberhalb des Funktionsgraphen liegen, wird als Obersumme bezeichnet. $O_n$ ist die Obersumme bei einer Unterteilung in $n$ gleichgroße Teilintervalle.

  Je feiner du die Unterteilung wählst, desto genauer wird die Ober- bzw. Untersumme. Dieser Idee folgend ist eine unendlich feine Unterteilung unendlich genau.

  Ein Grenzwert wird mathematisch mit Hilfe des Ausdrucks $\lim$ ausgedrückt. Dabei bedeutet der Ausdruck $\lim\limits_{n\to \infty}$ zum Beispiel, dass die Variable $n$ (also die Anzahl der Rechtecke) unendlich groß wird. Es gilt:

  $\lim\limits_{n\to\infty}U_n=A=\lim\limits_{n\to\infty}O_n$.

  Dieser Grenzwert von Ober- und Untersumme ist das bestimmte Integral.

  Genauer: Das bestimmte Integral von $f$ über dem Intervall $[a;b]$.

  Dies ist in dem oben aufgeführten Beispiel der gesuchte Flächeninhalt $A$.

  Es ist also $A=\int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx$.

  Hier siehst du einige Konventionen und Bezeichnungen:

  • Das Integralzeichen ist ein großer schmales $S$.
  • Unten steht die linke und oben die rechte Intervallgrenze.
  • $f(x)$ ist die zu integrierende Funktion, der Integrand.
  • $x$ ist die Integrationsvariable.
  • $dx$ ist das Differential. Daran kannst du auch die Integrationsvariable erkennen.
  • $a$ ist die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.

  In dem abgebildeten Beispiel gilt also $A=\int\limits_{0}^{4}~f(x)~dx$, wobei $f$ die Funktion zu dem dargestellten Funktionsgraphen ist.

• Stelle das bestimmte Integral auf.

  Tipps

  Hier siehst du das bestimmte Integral mit

  • den Integrationsgrenzen $a$ (untere) und $b$ (obere),
  • der zu integrierenden Funktion $f(x)$,
  • dem Differential $dx$ und
  • der daraus abzulesenden Integrationsvariablen $x$.

  Beachte: Die Integrationsgrenzen beziehen sich auf die Integrationsvariable $x$.

  Die untere Integrationsgrenze ist der linke Intervallrand und die obere der rechte.

  Lösung

  Wenn du einen Flächeninhalt (hier $A$) mit Hilfe eines Integrals berechnen sollst, musst du dir immer zunächst deutlich machen, was du kennst:

  • Die untere Integrationsgrenze ist der linke Intervallrand. Dieser ist hier $a=1$.
  • Die obere Integrationsgrenze ist der rechte Intervallrand. Dieser ist hier $b=3$.
  • Die zu integrierende Funktion ist $f$ mit $f(x)=x^2-2x+2$.

  Schließlich ist $A=\int\limits_{1}^{3}~\left(x^2-2x+2\right)~dx$.

  Wie du dieses bestimmte Integral schließlich berechnest, ist nochmal ein eigenes Thema.

• Ermittle den Wert der Unter- sowie Obersummen.

  Tipps

  • Der jeweils kleinste Funktionswert auf dem jeweiligen Teilintervall ist der Funktionswert am linken Intervallrand.
  • Der jeweils größte Funktionswert ist der am rechten Intervallrand.

  • Bei Unterteilung in zwei Teilintervalle erhältst du die Teilintervalle $[0;1]$ und $[1;2]$.
  • Bei Unterteilung in acht Teilintervalle erhältst du die Teilintervalle $[0;0,25]$; $[0,25;0,5]$; $[0,5;0,75]$; ... sowie $[1,75;2]$.

  Beachte: Egal wie fein du die Unterteilung wählst, es gilt $U_n\le A\le O_n$.

  Die Folge der Untersumme ist wachsend und die der Obersumme fallend.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du das Berechnen von Untersummen und Obersummen an einem konkreten Beispiel üben. Der jeweilige Index der Unter- oder Obersumme gibt die Anzahl der Teilintervalle an. Zum Beispiel steht $O_2$ für eine Obersumme mit $2$ Teilintervallen.

  Da die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$ auf dem Intervall monoton wachsend ist, gilt:

  • Der kleinste Funktionswert wird jeweils am linken Intervallrand angenommen.
  • Der größte Funktionswert wird jeweils am rechten Intervallrand angenommen.

  Nun kannst du die Unter- sowie Obersummen berechnen.

  Zwei Teilintervalle

  • Es ist $U_2=1\cdot f(0)+1\cdot f(1)=f(0)+f(1)=0^2+1+1^2+1=3$.
  • Es gilt $O_2=1\cdot f(1)+1\cdot f(2)=1^2+1+2^2+1=7$.

  Acht Teilintervalle

  Die Teilintervalle haben jeweils die Breite $\frac28=0,25$. Damit gilt für die Untersumme:

  $U_8=0,25\cdot (f(0)+f(0,25)+f(0,5)+...+f(1,75))=\frac{67}{16}=4,1875$.

  Für die Obersumme gilt entsprechend:

  $O_8=0,25\cdot (f(0,25)+f(0,5)+...+f(1,75)+f(2))=\frac{83}{16}=5,1875$.

  Du kannst hier folgende Ungleichung erkennen:

  $U_2\le U_8\le A\le O_8\le O_2$.

• Gib die Bedeutung der einzelnen Größen bei einem bestimmten Integral an.

  Tipps

  Übrigens: An $dx$ erkennst du auch, dass die Integrationsvariable $x$ ist.

  Wenn dort bspw. $dz$ steht, wird bezüglich $z$ integriert.

  Wenn das Intervall $[a;b]$ betrachtet wird, ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.

  Das Integralzeichen $\int$ zeigt an, dass integriert werden muss.

  Lösung

  Hier siehst du ein bestimmtes Integral.

  Schauen wir uns dieses Integral noch einmal etwas genauer an:

  • Das Integrationszeichen ist das langgezogene $S$. Dieses zeigt an, dass integriert werden soll
  • Die Funktion, die integriert werden soll, ist $f(x)$. Sie wird auch Integrand genannt.
  • Du musst in diesem Beispiel bezüglich $x$ integrieren. $x$ wird als Integrationsvariable bezeichnet. Woran kannst du eigentlich erkennen, dass bezüglich $x$ integriert wird?
  • Der Term $dx$ ist das sogenannte Differential. Es zeigt die Integrationsvariable $x$ an. Es ist durchaus möglich, dass dort eine andere Variable (zum Beispiel $z$) genutzt wird. Dann ist $z$ die Integrationsvariable.
  • Unten an dem Integrationszeichen steht $a$. Dies ist die untere Integrationsgrenze. Entsprechend ist $b$ die obere Integrationsgrenze.

• Leite den Wert des bestimmten Integrals als Grenzwert der Untersumme her.

  Tipps

  Jedes Teilintervall hat die Breite $\frac2n$. Diese Breite muss mit jedem Summanden in der Untersumme multipliziert werden.

  Achte auf die Grenzen der jeweiligen Summe. Zum Beispiel gilt:

  $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(i+1\right) = \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i\right)$.

  Die Obersumme der Funktion in dem Intervall ist wie folgt gegeben:

  $O_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2$.

  Lösung

  Das Intervall $[0;2]$ soll in $n$ gleichgroße Teilintervalle unterteilt werden. Jedes dieser Teilintervalle hat die Breite $\frac2n$.

  Untersummen

  Es ist $U_n=\frac2n\cdot \left(f\left(0\cdot \frac2n\right)+f\left(1\cdot \frac2n\right)+f\left(2\cdot \frac2n\right)+...+f\left((n-1)\cdot \frac2n\right)\right)$. Dies können wir auch mit Hilfe des Summenzeichens schreiben:

  $U_n = \frac2n\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left( f(i \cdot \frac{2}{n}) \right)$.

  Schauen wir uns nun einen beliebigen Summanden in der Klammer an:

  $f\left(i\cdot \frac2n\right)=\left(i\cdot \frac2n\right)^2+1=\frac{4}{n^2}\cdot i^2+1$.

  Die Untersumme kann nun bestimmt werden:

  $U_n=\frac2n\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{4}{n^2}\cdot i^2+1\right)$.

  Die Summe kann aufgeteilt werden:

  $U_n=\frac2n\cdot \left( \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{4}{n^2}\cdot i^2\right) + \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(1\right) \right)$.

  Es ist $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left(1\right)=n$. Nun kann die obige Summe durch Ausklammern noch umgeformt werden:

  $U_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(i^2\right)+2$.

  Verwende nun die Formel für die Summe der ersten $n$ Quadrate der natürlichen Zahlen. Achte hierbei darauf, dass die Grenzen der Summe nicht identisch mit den Grenzen in der anderen Summe sind. Die Grenzen müssen beim Einsetzen beachtet werden:

  $\sum\limits_{i=1}^{n}\left(i^2\right)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

  Schließlich kannst du die Untersumme wie folgt angeben:

  $U_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}+2$.

  Obersummen

  Auf die gleiche Weise kannst du die Obersumme berechnen:

  $O_n=\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2$.

  Grenzwertberechnung

  Die Grenzwertberechnung wird hier beispielhaft an der Obersumme durchgeführt. Diese verläuft bei der Untersumme analog und liefert den gleichen Grenzwert.

  Im Folgenden benötigen wir den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}$. Dieser kann wie folgt berechnet werden:

  $\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}&=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(2n^2+3n+1)}{n^3}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{n^2}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\left(2+\frac3n+\frac1{n^2}\right)}{n^2}\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac3n+\frac1{n^2}\right)\\ &=&2 \end{array}$

  Nun kann der Grenzwert der Obersummen berechnet werden:

  $\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac2n\cdot \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\right)&=&\frac86\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}+2\\ &=&\frac86\cdot 2+2\\ &=&\frac83+2\\ &=&\frac{14}3 \end{array}$

  Dies ist der gesuchte Flächeninhalt $A$.