Warum ist Minus mal Minus Plus?

Warum ist Minus mal Minus Plus? Übung

• Ergänze die Erklärung zu „minus mal minus“.

  Tipps

  Die Umkehrrechnung zu Plus ist Minus und umgekehrt.

  Du kannst dir das auch so vorstellen:

  • Minus bedeutet, dass eine Figur nach links schaut. Dann heißen positive Schritte, dass die Figur Schritte nach links geht und negative, dass die Figur Schritte rückwärts, also nach rechts, geht.
  • Plus bedeutet, dass eine Figur nach rechts schaut. Dann heißen positive Schritte, dass die Figur Schritte nach rechts geht und negative, dass die Figur Schritte rückwärts, also nach links, geht.

  Lösung

  Wenn man von $2$ ausgehend einen Schritt nach rechts geht, enspricht dies der Rechnung $2+1$. Das Ergebnis ist $3$. Geht man jetzt diesen Schritt zurück, bedeutet dies mathematisch $2+1-1$, man geht also von $3$ aus einen Schritt nach links und gelangt wieder zu $2$.

  Der zweite Fall ist hier im Bild zu sehen:

  • Der untere Pfeil zeigt einen Schritt von $2$ nach links an: $2-1$. Das Ergebnis ist $1$.
  • Der obere Pfeiel kehrt diesen Schritt um: Dies bedeutet $2-1-(-1)$. Das Ergebnis ist wieder $2$. Man ist also wieder einen Schritt nach rechts gegangen.

  Das heißt, dass $-(-1)$ dasselbe ist wie $+1$.

  An diesem Beispiel kann man schon sehen, dass „minus mal minus gleich plus“ ist.

• Stelle die Multiplikation graphisch dar.

  Tipps

  Der linke Teil der unteren Rechnung entspricht der oberen Rechnung.

  In den Klammern stehen negative Zahlen.

  Eine Gleichung drückt aus, dass der Term auf der linken Seiten den gleichen Wert wie der Term auf der rechten Seite annimmt (annehmen kann).

  Lösung

  Die drei blauen Pfeile mit der jeweiligen Länge $1$ zeigen nach links. Jeder dieser Schritte kann durch $-1$ ausgedrückt werden. Dies entspricht der Rechnung $2+3\cdot (-1)=-1$.

  Wenn man diese Rechnung umkehrt, kehren sich auch die Pfeile um. Wir erhalten die drei roten Pfeile: Die umgekehrte Rechnung lautet:

  $2+3\cdot(-1)-3\cdot (-1)$

  Die drei Pfeile, jeweils mit der Länge $1$, zeigen nach rechts. Das bedeutet, dass die Umkehrrechnung $-3\cdot (-1)$ dasselbe ist wie $+3\cdot 1$.

• Ordne den Pfeilen im Zahlenstrahl die zugehörige Rechnung zu.

  Tipps

  Folgende Informationen sind wichtig:

  • Wie viele Schritte gehen wir?
  • Wie groß ist ein Schritt?
  • In welche Richtung gehen wir?

  Diese Informationen finden wir in den Faktoren wieder. Der eine Faktor beschreibt die Anzahl der Schritte, der andere Faktor beschreibt die Größe und die Richtung eines Schrittes.

  Wir können die Schritte mathematisch auf verschiedene Weisen beschreiben.

  Ein Beispiel:

  $2+1= 2- (-1)$

  Umgangssprachlich sagen wir dazu: „Minus (mal) minus gleich plus.“

  Lösung

  Die Rechnungen von oben nach unten sind:

  • Startend bei $3$ zeigen zwei Pfeile der Länge $2$ nach links: $3+2\cdot (-2)$. Die erste $2$ sagt: Es sind zwei Schritte. Die zweite $2$ sagt: Die Schrittlänge ist $2$ und die Richtung ist „nach links“.
  • Von $-1$ ausgehend wird die Rechnung umgekehrt: $-1-2\cdot (-2)$. Das Minuszeichen vor der ersten $2$ bedeutet: Wir kehren die erste Rechnung um (Wir gehen wieder zurück.). Die erste $2$ heißt: Wir gehen zwei Schritte. $(-2)$ bedeutet: Die Schrittlänge ist $2$ und wir gehen nach links. Dies wird durch die Umkehrung allerdings umgekehrt.

  Zusammenfassend können wir $-1-2\cdot (-2)=3+2\cdot(-2)+2\cdot 2$ aufschreiben. Wenn dir das zu kompliziert ist, kannst du dir auch merken: „Minus (mal) minus gleich plus.“

  • Startend bei $-1$ zeigen vier Pfeile der Länge $1$ nach rechts: $-1+4\cdot 1$.
  • Diese Rechnung können wir auch wieder umkehren: $-1+4\cdot 1-4\cdot 1=-1$.

• Berechne das jeweilige Ergebnis, indem du erst die Produkte zusammenfasst.

  Tipps

  Hier siehst du ein Zwischenergebnis für die oberste Aufgabe

  $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=3-4+3\cdot 1=3-4+3=2$.

  Führe jede der Rechnungen Schritt für Schritt durch.

  Mache dir diese Rechnungen am Zahlenstrahl klar.

  Zum Beispiel ist $-2\cdot (-5)=2\cdot 5=10$.

  Lösung

  Wichtig: Bei solch komplizierteren und umfangreicheren Rechnungen ist es sinnvoll, die Rechnungen Schritt für Schritt durchzuführen:

  Schauen wir uns die Aufgabe $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)-2\cdot(-3)$ mal etwas genauer an:

  • $3+4\cdot(-1)=3-4=-1$
  • $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-1+3\cdot 1=-1+3=2$
  • $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)-2\cdot(-3)=2+2\cdot 3=2+6=8$

  Genauso können auch die weiteren Aufgaben gerechnet werden.

  Die übrigen Ergenisse sind:

  • $4-7\cdot 1-5\cdot(-2)-8\cdot2=4-7+10-16=-9$
  • $3+4\cdot(-2)-3\cdot 5+7\cdot(-3)=3-8-15-21=-41$
  • $12\cdot (-2)-4\cdot (-5)+8\cdot 3-2\cdot(-7)=-24+20+24+14=34$

• Stelle $3\cdot 2$ sowie $3\cdot (-2)$ am Zahlenstrahl dar.

  Tipps

  Beachte, dass die Rechnung ausgehend von $0$ betrachtet wird.

  • $2$ entspricht $2$ Einheiten nach rechts.
  • $-2$ entspricht $2$ Einheiten nach links.

  Der Faktor $3$ gibt an, wie oft die $2$ Einheiten (nach links oder rechts) gegangen werden sollen.

  Lösung

  Von $0$ aus startend bedeutet

  • „$3\cdot 2$“: Gehe dreimal zwei Einheiten nach rechts. Dies sind die drei blauen Pfeile.
  • „$3\cdot (-2)$“: Gehe dreimal zwei Einheiten nach links. Dies sind die grünen Pfeile.

  Was ist mit den anderen Pfeilen?

  • Die roten Pfeile stehen für $-6+3\cdot 2=-6+6=0$
  • und die violetten für $6+3\cdot (-2)=6-6=0$.

• Bestimme die Ergebnisse der Terme.

  Tipps

  Wenn du mehrere Zahlen miteinander multiplizierst, kannst du auch so vorgehen:

  • Multipliziere nur die Zahlen ohne die Vorzeichen.
  • Zähle nun, wie häufig das Minus vorkommt.

  „Minus mal minus ist plus“ und „minus mal plus ist minus“.

  Ist die Anzahl der Minuszeichen gerade, dann ist das Ergebnis positiv. Es ist negativ, wenn die Anzahl ungerade ist.

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)=-24$

  Im ersten Schritt rechnen wir das Produkt aus $2\cdot3\cdot4=24$ (ohne Vorzeichen).

  Im zweiten Schritt zählen wir die Minuszeichen: 3. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist also negativ: $-24$.

  Ebenso ist

  • $-1=-1$
  • $-(-1)=1$
  • $-(-(-1))=-1$
  • $-(-(-(-1)))=1$
  • ...

  Lösung

  Wenn man Produkte mit mehreren Faktoren berechnen möchte, kann man die Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren. Das Vorzeichen hängt dann von der Anzahl der Minuszeichen in dem Produkt ab.

  Ist die Anzahl der Minuszeichen gerade, dann ist das Ergebnis positiv. Es ist negativ, wenn die Anzahl ungerade ist.

  • $3\cdot(-2)\cdot4\cdot(-1)\cdot (-2)=-48$, da $3\cdot 2\cdot 4\cdot 1\cdot 2=48$ ist und die Anzahl der negativen Vorzeichen ungerade, nämlich $3$.
  • $-(-(-3)=-3$, da hier dreimal das Vorzeichen Minus vorkommt.
  • $2-3\cdot(-1)\cdot(-2)$: Zunächst wird das Produkt berechnet: $3\cdot 1\cdot 2=6$. Die Anzahl der Minus-Zeichen ist 3, also ungerade. Nun gilt $2-3\cdot(-1)\cdot(-2)=2-6=-4$.
  • $-2\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=12$, denn $2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12$ und die Anzahl der Minuszeichen ist $4$, also gerade.

  Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, Folgendes anzumerken:

  Man muss unterscheiden zwischen dem Operationszeichen (Rechenzeichen) $-$ und dem Vorzeichen.

  • Ein Rechenzeichen steht immer zwischen zwei Zahlen oder Termen: $2-4$ oder $3-x$.
  • Ein Vorzeichen zeigt an, ob eine Zahl positiv (das $+$-Zeichen wird nicht aufgeschrieben) oder negativ ist, zum Beispiel $-7$.