Warum ist Minus mal Minus Plus? 05:29 min
Transkript Warum ist Minus mal Minus Plus?
Hallo! Wenn du mal gelernt hast, dass Minus * Minus Plus ist, dann ist jetzt der Zeitpunkt gekommen, um sich zu überlegen, warum das so ist. Schauen wir uns erst mal an, worum es eigentlich geht. Wir können mit den positiven Zahlen anfangen und haben hier 3 * 2. Das bedeutet 3 * 2 Schritte auf der Zahlengeraden nach rechts gehen. Unser Model macht das hier mal vor. Eins zwei, eins zwei, eins zwei. Wir können auch 3 * (-2) rechnen. Und das bedeutet, 3 * 2 Schritte auf der Zahlengeraden nach links, also eins zwei, ein zwei, eins zwei. Was aber bedeutet (-3) * (-2)? Und vielleicht hast du, wie viele andere Leute auch, bei der Rechnung das Gefühl, dass das ein bisschen komisch ist. So nach dem Motto, 3 * 2 Schritte nach links gehen auf der Zahlengeraden ist ja kein Problem, aber (-3) * 2 Schritte nach links gehen, könnte schon ein bisschen komisch sein. Ist es aber nicht. Und um die Sache mal anzugehen, setzen wir unser Model auf die 2, einfach so als Startpunkt. Wir können Folgendes rechnen: 2 + 1. Das bedeutet auf der Zahlengeraden von 2 aus ein Schritt nach rechts gehen. Wir können diesen Schritt auch wieder abziehen und rechnen dann -1 und sind dann da wo wir vorher waren, gehen also einen Schritt nach links und sind wieder auf der 2. Machen wir das doch mal andersherum. Wir rechnen 2 - 1, das bedeutet auf der Zahlengeraden gehen wir von 2 aus einen Schritt nach links. Diesen Schritt möchten wir auch wieder abziehen können, um da hinzukommen wo wir vorher waren. Und das, was wir abziehen, ist halt der Schritt nach links, also der -1 Schritt. Um da hinzukommen wo wir vorher waren, müssen wir einen Schritt nach rechts gehen. Das heißt wenn wir -(-1) rechnen, ist das nicht anderes als plus 1. So, jetzt sind wir schon fast fertig. Wir haben aber eine Sache noch nicht besprochen, das sind nämlich Ausdrücke wie zum Beispiel (-3) * (-1), aber das kommt jetzt. Wir haben 2 + 3 * (-1), das bedeutet von der 2 aus gehen wir auf der Zahlengeraden 3 Schritte nach links, eins, zwei, drei. Wenn wir wieder auf die Ausgangsposition zurückkommen wollen, müssen wir diese Schritte wieder abziehen, das heißt wir rechnen minus das, was wir vorher gerechnet haben und das ist 3 * (-1). Da ist es. Um da hinzukommen wo wir vorher waren, müssen wir 3 Schritte nach rechts gehen. Das bedeutet, (-3) * (-1) ist nichts anderes als +3 * 1. In den letzten beiden Beispielen sind wir erst nach links gegangen und haben das dann wieder abgezogen. Aber auch wenn wir nicht erst nach links gehen, können wir (-3) * (-1) rechnen. Und wenn das mit der Mathematik irgendeinen Sinn haben soll, dann muss (-3) * (-1) immer das Gleiche bedeuten. Und wie wir gesehen haben, ist das +3 * 1. An der Begründung, warum Minus * Minus Plus ist ändert sich dadurch aber nichts, denn das hat mit dem Nach-Links-Gehen zu tun und zwar ist Minus * Minus Plus, weil wir nach rechts gehen müssen, um Schritte nach links abziehen zu können. So, damit sind wir hier fertig. Wir haben also gesehen Minus * Minus ist Plus, damit das Hündchen auch wieder zurückkommen kann. Viel Spaß damit. Tschüss.
Videobeschreibung
Dass Minus mal Minus Plus ist, ist nicht einfach so festgelegt worden, sondern es hat - wie fast alles in der Mathematik - einen Sinn. In der Mathematik bedeutet das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen das "Hin- und Hergehen" auf der Zahlengerade. Schritte nach rechts sind positive Zahlen, Schritte nach links sind negative Zahlen. Wenn wir Schritte, die wir nach links gegangen sind, wieder abziehen, gehen wir nach rechts. Und das ist das gleiche wie das Addieren von Schritten. Im Video kannst du sehen, wie das auf der Zahlengerade genau aussieht.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Warum ist Minus mal Minus Plus?
Warum ist Minus mal Minus Plus? Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Warum ist Minus mal Minus Plus? kannst du es wiederholen und üben.
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Ergänze die Erklärung zu „minus mal minus“.
Tipps
Die Umkehrrechnung zu Plus ist Minus und umgekehrt.
Du kannst dir das auch so vorstellen:
- Minus bedeutet, dass eine Figur nach links schaut. Dann heißen positive Schritte, dass die Figur Schritte nach links geht und negative, dass die Figur Schritte rückwärts, also nach rechts, geht.
- Plus bedeutet, dass eine Figur nach rechts schaut. Dann heißen positive Schritte, dass die Figur Schritte nach rechts geht und negative, dass die Figur Schritte rückwärts, also nach links, geht.
Lösung
Wenn man von $2$ ausgehend einen Schritt nach rechts geht, enspricht dies der Rechnung $2+1$. Das Ergebnis ist $3$. Geht man jetzt diesen Schritt zurück, bedeutet dies mathematisch $2+1-1$, man geht also von $3$ aus einen Schritt nach links und gelangt wieder zu $2$.
Der zweite Fall ist hier im Bild zu sehen:
- Der untere Pfeil zeigt einen Schritt von $2$ nach links an: $2-1$. Das Ergebnis ist $1$.
- Der obere Pfeiel kehrt diesen Schritt um: Dies bedeutet $2-1-(-1)$. Das Ergebnis ist wieder $2$. Man ist also wieder einen Schritt nach rechts gegangen.
An diesem Beispiel kann man schon sehen, dass „minus mal minus gleich plus“ ist.
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Stelle die Multiplikation graphisch dar.
Tipps
Der linke Teil der unteren Rechnung entspricht der oberen Rechnung.
In den Klammern stehen negative Zahlen.
Eine Gleichung drückt aus, dass der Term auf der linken Seiten den gleichen Wert wie der Term auf der rechten Seite annimmt (annehmen kann).
Lösung
Die drei blauen Pfeile mit der jeweiligen Länge $1$ zeigen nach links. Jeder dieser Schritte kann durch $-1$ ausgedrückt werden. Dies entspricht der Rechnung $2+3\cdot (-1)=-1$.
Wenn man diese Rechnung umkehrt, kehren sich auch die Pfeile um. Wir erhalten die drei roten Pfeile: Die umgekehrte Rechnung lautet:
$2+3\cdot(-1)-3\cdot (-1)$
Die drei Pfeile, jeweils mit der Länge $1$, zeigen nach rechts. Das bedeutet, dass die Umkehrrechnung $-3\cdot (-1)$ dasselbe ist wie $+3\cdot 1$.
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Ordne den Pfeilen im Zahlenstrahl die zugehörige Rechnung zu.
Tipps
Folgende Informationen sind wichtig:
- Wie viele Schritte gehen wir?
- Wie groß ist ein Schritt?
- In welche Richtung gehen wir?
Wir können die Schritte mathematisch auf verschiedene Weisen beschreiben.
Ein Beispiel:
$2+1= 2- (-1)$
Umgangssprachlich sagen wir dazu: „Minus (mal) minus gleich plus.“
Lösung
Die Rechnungen von oben nach unten sind:
- Startend bei $3$ zeigen zwei Pfeile der Länge $2$ nach links: $3+2\cdot (-2)$. Die erste $2$ sagt: Es sind zwei Schritte. Die zweite $2$ sagt: Die Schrittlänge ist $2$ und die Richtung ist „nach links“.
- Von $-1$ ausgehend wird die Rechnung umgekehrt: $-1-2\cdot (-2)$. Das Minuszeichen vor der ersten $2$ bedeutet: Wir kehren die erste Rechnung um (Wir gehen wieder zurück.). Die erste $2$ heißt: Wir gehen zwei Schritte. $(-2)$ bedeutet: Die Schrittlänge ist $2$ und wir gehen nach links. Dies wird durch die Umkehrung allerdings umgekehrt.
- Startend bei $-1$ zeigen vier Pfeile der Länge $1$ nach rechts: $-1+4\cdot 1$.
- Diese Rechnung können wir auch wieder umkehren: $-1+4\cdot 1-4\cdot 1=-1$.
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Berechne das jeweilige Ergebnis, indem du erst die Produkte zusammenfasst.
Tipps
Hier siehst du ein Zwischenergebnis für die oberste Aufgabe
$3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=3-4+3\cdot 1=3-4+3=2$.
Führe jede der Rechnungen Schritt für Schritt durch.
Mache dir diese Rechnungen am Zahlenstrahl klar.
Zum Beispiel ist $-2\cdot (-5)=2\cdot 5=10$.
Lösung
Wichtig: Bei solch komplizierteren und umfangreicheren Rechnungen ist es sinnvoll, die Rechnungen Schritt für Schritt durchzuführen:
Schauen wir uns die Aufgabe $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)-2\cdot(-3)$ mal etwas genauer an:
- $3+4\cdot(-1)=3-4=-1$
- $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-1+3\cdot 1=-1+3=2$
- $3+4\cdot(-1)-3\cdot(-1)-2\cdot(-3)=2+2\cdot 3=2+6=8$
Die übrigen Ergenisse sind:
- $4-7\cdot 1-5\cdot(-2)-8\cdot2=4-7+10-16=-9$
- $3+4\cdot(-2)-3\cdot 5+7\cdot(-3)=3-8-15-21=-41$
- $12\cdot (-2)-4\cdot (-5)+8\cdot 3-2\cdot(-7)=-24+20+24+14=34$
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Stelle $3\cdot 2$ sowie $3\cdot (-2)$ am Zahlenstrahl dar.
Tipps
Beachte, dass die Rechnung ausgehend von $0$ betrachtet wird.
- $2$ entspricht $2$ Einheiten nach rechts.
- $-2$ entspricht $2$ Einheiten nach links.
Der Faktor $3$ gibt an, wie oft die $2$ Einheiten (nach links oder rechts) gegangen werden sollen.
Lösung
Von $0$ aus startend bedeutet
- „$3\cdot 2$“: Gehe dreimal zwei Einheiten nach rechts. Dies sind die drei blauen Pfeile.
- „$3\cdot (-2)$“: Gehe dreimal zwei Einheiten nach links. Dies sind die grünen Pfeile.
- Die roten Pfeile stehen für $-6+3\cdot 2=-6+6=0$
- und die violetten für $6+3\cdot (-2)=6-6=0$.
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Bestimme die Ergebnisse der Terme.
Tipps
Wenn du mehrere Zahlen miteinander multiplizierst, kannst du auch so vorgehen:
- Multipliziere nur die Zahlen ohne die Vorzeichen.
- Zähle nun, wie häufig das Minus vorkommt.
Ist die Anzahl der Minuszeichen gerade, dann ist das Ergebnis positiv. Es ist negativ, wenn die Anzahl ungerade ist.
Schaue dir das folgende Beispiel an:
$(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)=-24$
Im ersten Schritt rechnen wir das Produkt aus $2\cdot3\cdot4=24$ (ohne Vorzeichen).
Im zweiten Schritt zählen wir die Minuszeichen: 3. Das Vorzeichen des Ergebnisses ist also negativ: $-24$.
Ebenso ist
- $-1=-1$
- $-(-1)=1$
- $-(-(-1))=-1$
- $-(-(-(-1)))=1$
- ...
Lösung
Wenn man Produkte mit mehreren Faktoren berechnen möchte, kann man die Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren. Das Vorzeichen hängt dann von der Anzahl der Minuszeichen in dem Produkt ab.
Ist die Anzahl der Minuszeichen gerade, dann ist das Ergebnis positiv. Es ist negativ, wenn die Anzahl ungerade ist.
- $3\cdot(-2)\cdot4\cdot(-1)\cdot (-2)=-48$, da $3\cdot 2\cdot 4\cdot 1\cdot 2=48$ ist und die Anzahl der negativen Vorzeichen ungerade, nämlich $3$.
- $-(-(-3)=-3$, da hier dreimal das Vorzeichen Minus vorkommt.
- $2-3\cdot(-1)\cdot(-2)$: Zunächst wird das Produkt berechnet: $3\cdot 1\cdot 2=6$. Die Anzahl der Minus-Zeichen ist 3, also ungerade. Nun gilt $2-3\cdot(-1)\cdot(-2)=2-6=-4$.
- $-2\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=12$, denn $2\cdot 1\cdot 2\cdot 3=12$ und die Anzahl der Minuszeichen ist $4$, also gerade.
Man muss unterscheiden zwischen dem Operationszeichen (Rechenzeichen) $-$ und dem Vorzeichen.
- Ein Rechenzeichen steht immer zwischen zwei Zahlen oder Termen: $2-4$ oder $3-x$.
- Ein Vorzeichen zeigt an, ob eine Zahl positiv (das $+$-Zeichen wird nicht aufgeschrieben) oder negativ ist, zum Beispiel $-7$.
coool gut erklert
Endlich. Die beste Erklärung bisher. Meine Tochter kann endlich wieder ruhig schlafen, weil sie weiß WARUM das eben so ist. Das Hündchen tat seiniges dazu! Vielen Dank.
gut erklärt
Gut erklärt!
cool