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Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen 05:24 min

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Transkript Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen

In diesem Video soll es um “Verteilungen und Verteilungsfunktionen” gehen. Zunächst die formale Definition: „Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer endlichen Ergebnismenge Omega, eine reelle Zahl P(A) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgenden drei Bedingungen genügt: (1) P(A) ≥ 0. Auch bekannt als “Nichtnegativität”. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses darf nicht negativ sein. (2) P(Omega) = 1. Die “Normiertheit”. Also, die Wahrscheinlichkeit, dass eins aller Ergebnisse eintritt, ist 100 Prozent. (3), P(A⋃B) = P(A) + P(B) , falls A⋂B die leere Menge ist. Also die “Additivität”. Ich kann also die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen addieren.“ Diese drei Bedingungen werden auch “Kolmogrow-Axiome” genannt. Wir haben also eine Funktion P, verschiedene Teilmengen, A1, A2 und so weiter und reelle Zahlen. Nun ordnet die Funktion P, der Teilmenge A1 die reelle Zahl P(A1) und der Teilmenge A2 die reelle Zahl P(A2) zu. Es wird also jeder Teilmenge ihre Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Wir wollen die Eigenschaften von Verteilungen betrachten. (1) P(A) ≤ 1, denn dies sind 100 Prozent und kein Ereignis kann mit einer Wahrscheinlichkeit von über 100 Prozent eintreten. P(Leere Menge) = 0, die leere Menge ist das unmögliche Ereignis und da dies nicht eintreten kann, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es eintritt 0. P(A quer) = 1 - P(A). Da A quer das Gegenereignis von A ist, muss A quer auch die Gegenwahrscheinlichkeit haben. P(A⋃B) = P(A) +P(B) - P(A⋂B). Wenn das A ist und das B ist, dann haben wir das Stückchen in der Mitte zweimal gezeichnet, denn es gehört zu A und zu B, also, müssen wir es noch einmal abziehen. Aus A enthalten in B folgt: P(A) ≤ P(B). Wenn also A in B enthalten ist, kann die Wahrscheinlichkeit für A gar nicht größer sein als B. P(A) ist gleich die Summe aller eiElement A über P({ei}). Wenn also beim Würfeln die Teilmenge A aller Augenzahlen die Zahlen 1, 3 und 5 beinhaltet, dann ist das gleich P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. Was gibt es aber für Verteilungen? Verteilungen sind entweder diskret oder stetig. Im Diskreten könnte man mit so einem Strich jedes einzelne Ergebnis darstellen. Wie der Name schon sagt, geht es bei stetigen Verteilungen nicht mehr. Da müssten wir quasi eine Zahlengerade durchziehen, um alle Ergebnisse darzustellen. Im diskreten Fall kann man die Wahrscheinlichkeiten als eine Summe angeben und im stetigen Fall brauchen wir dazu ein Integral, da wir infinitesimale Abschnitte addieren müssen. Kommen wir zum Rechnen mit Verteilungsfunktionen. Zum Ersten ist P(X≤b) = F(b). Aufgemalt sieht das so aus. Wir berechnen also die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse, die kleiner sind als B. Zweitens, P(X≥a) = 1 - F(a). In unserem Intervall sieht das so aus. Darum nehmen wir die 1 und subtrahieren den Teil von 0 bis a. Wir wenden also das Prinzip der Gegenwahrscheinlichkeit an. Drittens, P(a<X≤b) = P(X≤b) - P(X≤a) =F(b) - F(a). In unserem Intervall, 0 bis 1, wäre das jetzt also der Bereich zwischen a und b. Nehmen wir das Beispiel des Würfelns und würfeln eine Zahl zwischen 2 und einschließlich 5. Dann ist P(2<X≤ 5) = P(X≤ 5) - P(X≤ 2). Und das ist gleich 5/6 - 2/6, also,1/2. Also, die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 1, 2, 3, 4, 5 würfeln minus der Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 1 oder 2 würfeln. Ich hoffe, ich konnte euch einen kleinen Einblick in die Verteilungen und Verteilungsfunktionen geben und wünsche euch viel Spaß beim Üben.

3 Kommentare
  1. Default

    Der Mathematiker, auf den diese Axiomatik zurückgeht, heißt "Kolmogorov" (in transkribierter Weise) und nicht "Kolmogrov".

    Von Marc Gaudlitz 1, vor fast 2 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Itstudent,

    momentan gibt es dazu nur ein Video: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/die-normalverteilung . In diesem wird das Prinzip der Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit einem Integral erklärt. Es wird aber nicht tatsächlich ausgerechnet, sondern man benutzt schließlich Veretilungstabellen, um den Wert nachzuschauen. Vielleicht hilft auch noch dieses Video fürs Prinzip:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/die-poissonverteilung . Das dürfte dann erstmal alles sein.

    Viel Erfolg. Steve.

    Von Steve Taube, vor mehr als 8 Jahren
  3. Default

    Ich würde gerne noch ein Video über die Berechnung der W-keit bei stetigen Verteilungen(über das Integral) sehen.. Gibt es hier so was?

    Von Deleted User 8316, vor mehr als 8 Jahren