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Wahrscheinlichkeit abschätzen – Beispiel Fahrzeugkontrolle

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Wahrscheinlichkeit abschätzen – Beispiel Fahrzeugkontrolle
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wahrscheinlichkeit abschätzen – Beispiel Fahrzeugkontrolle

Diese Aufgabe wird so oder so ähnlich häufig gestellt, um das Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von relativen Häufigkeiten zu üben. Die Aufgabe lautet: Bei einer Fahrzeugkontrolle wiesen 23 von 178 Fahrzeugen Mängel auf. Am nächsten Tag sollen 800 Fahrzeuge kontrolliert werden. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man ein defektes Fahrzeug? b) Wieviele Fahrzeuge werden Mängel aufweisen? c) Drei Fahrzeuge konnten bei der bereits durchgeführten Fahrzeugkontrolle die Fahrt nicht fortsetzen. Wieviele Stellplätze braucht man morgen? In Aufgabe a) überträgt man einfach die relative Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit - immer unter der Voraussetzung, dass die relative Häufigkeit in der Nähe der Wahrscheinlichkeit liegt. Um Aufgabe b) zu lösen, kannst du die in a) ausgerechnete Wahrscheinlichkeit als Anteil defekter Fahrzeuge innerhalb aller Fahrzeuge verstehen. Die dann noch nötige Rechnung hast du schon oft im Zusammenhang mit Brüchen geübt, z.B. bei Aufgaben wie: Wieviel sind 2/3 von 100? In Aufgabe c) sind die Überlegungen aus a) und b) auf den neuen Zusammenhang zu übertragen.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Joachim, in diesem Video geht es um das Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten. Man erhält also nur ungefähre Lösungen. Natürlich müssen als Ergebnis trotzdem "ganze" Autos rauskommen. Bei 13,48 Autos ist das Ergebnis 13 etwas wahrscheinlicher als 14. Daher rundet man ab.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor 6 Monaten
  2. Wenn man die Lösung 13,48 auf ganze Fahrzeuge rundet, dann muss man doch aufrunden oder irre ich mich? Es sind ja nämlich mehr als 13 Fahrzeuge und das kann nur 14 sein
    Ich würde mich über eine Klarstellung freuen :)

    Von Joachim 14, vor 6 Monaten
  3. Ich fand eine Animation zu dem Thema auch ganz gut

    Von Berk Eich, vor 6 Monaten
  4. Hallo Joshua B.,
    kannst du genauer sagen, was dir an den Aufgaben nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug behandelt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
  5. Ich finde die Aufgaben nicht so schön

    Von Joshua B., vor mehr als einem Jahr
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Wahrscheinlichkeit abschätzen – Beispiel Fahrzeugkontrolle Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit abschätzen – Beispiel Fahrzeugkontrolle kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit eines defekten Fahrzeuges.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten bestimmter Ereignisse lässt sich oft nur bedingt rechnerisch ermitteln. So ist bei einer Fahrzeugkontrolle der tatsächliche Verlauf stets ungewiss und nicht für alle Zeit verbindlich.

    Hilfsweise soll jedoch hier davon ausgegangen werden, dass zumindest kurzfristig die Wahrscheinlichkeit in der Nähe der relativen Häufigkeit liegt.

    Somit kann die relative Häufigkeit zur Schätzung herangezogen werden.

    Zur Berechnung der relativen Häufigkeit teilst du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl.

    Lösung

    Zum Abschätzen der Wahrscheinlichkeit wird die relative Häufigkeit herangezogen, sofern die Wahrscheinlichkeit in deren Nähe liegt. Wenn wir dies annehmen, können wir die Wahrscheinlichkeit als Quotienten von absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl schätzen:

    $P(dF) \approx \frac{23}{178} \approx 0,13$

    Die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Fahrzeug liegt also bei ca. 13 Prozent.

  • Bestimme eine Schätzung für die Anzahl der Fahrzeuge, die am nächsten Tag die Fahrt nicht fortsetzen dürfen.

    Tipps

    Um die Anzahl zu bestimmen, musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit ermitteln.

    Hilfsweise kann hierfür die relative Häufigkeit herangezogen werden, in deren Nähe die Wahrscheinlichkeit liegt.

    Zur näherungsweisen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit $P$ ermittelst du die relative Häufigkeit, die sich als Quotient der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl berechnet.

    Die erwartete Anzahl bestimmst du letztlich als Produkt zwischen der Wahrscheinlichkeit $P$ und der zu kontrollierenden Gesamtzahl an Fahrzeugen.

    Lösung

    Zum Abschätzen der Wahrscheinlichkeit wird die relative Häufigkeit herangezogen, sofern die Wahrscheinlichkeit in deren Nähe liegt. Wenn wir dies annehmen, können wir die relative Häufigkeit und damit die Wahrscheinlichkeit als Quotienten der absoluten Häufigkeit und der Gesamtanzahl bestimmen.

    Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei schätzungsweise $\frac{3}{178}$, dass ein Fahrzeug nach der Kontrolle vor Ort geparkt werden muss.

    Um nun die voraussichtliche Anzahl der am nächsten Tag aller Voraussicht nach zu parkenden Fahrzeuge zu bestimmen, bedienst du dich der zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeit und der Gesamtzahl der zu kontrollierenden Fahrzeuge:

    $\frac{3}{178} \cdot 800 \approx 13,48$

    Es muss also mit ca. 13 Fahrzeugen gerechnet werden, die einen Parkplatz benötigen werden.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen giftigen Pilz.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten bestimmter Ereignisse lässt sich oft nur bedingt rechnerisch ermitteln. Hilfsweise soll jedoch hier davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit in der Nähe der relativen Häufigkeit liegt. Somit kann die relative Häufigkeit zur Schätzung herangezogen werden.

    Zur Berechnung der relativen Häufigkeit und damit zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit rechnest du:

    Absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl.

    Lösung

    Zum Abschätzen der Wahrscheinlichkeit wird die relative Häufigkeit herangezogen, sofern die Wahrscheinlichkeit in deren Nähe liegt. Wenn wir dies annehmen, können wir auch die Wahrscheinlichkeit als Quotienten von absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl bestimmen:

    Somit ergibt sich: $P(G) = \frac{3}{120} = 0,025$

    Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pilz ebenfalls giftig ist, liegt also bei 2,5 Prozent.

  • Bestimme die erwartete Anzahl gesammelter hochgiftiger Pilze am nächsten Tag.

    Tipps

    Um die erwartete Anzahl bestimmen zu können, musst du zuerst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass ein einzelner Pilz hochgiftig ist.

    Hilfsweise kann hierfür die relative Häufigkeit herangezogen werden, in deren Nähe die Wahrscheinlichkeit liegt.

    Die Vorschrift zur Berechnung der relativen Häufigkeit und damit zur näherungsweisen Bestimmung der Wahrscheinlichkeit lautet:

    Teile die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl.

    Die erwartete Anzahl bestimmst du letztlich als Produkt zwischen der Wahrscheinlichkeit und der Gesamtzahl an gesammelten Pilzen.

    Lösung

    Zum Abschätzen der Wahrscheinlichkeit wird die relative Häufigkeit herangezogen, sofern die Wahrscheinlichkeit in deren Nähe liegt. Wenn wir dies annehmen, können wir die Wahrscheinlichkeit als Quotienten aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl berechnen:

    $\frac{1}{120}$

    Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei $\frac{1}{120}$, dass ein hochgiftiger Pilz auftaucht.

    Um nun die erwartete Anzahl der hochgiftigen Pilze am nächsten Tag zu bestimmen, bedienst du dich der zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeit und der Gesamtzahl der gesammelten Pilze.

    $\frac{1}{120} \cdot 400 \approx 3,3$

    Es muss also damit gerechnet werden, dass ca. 3 Pilze hochgiftig sein werden.

  • Gib an, bei wie vielen Fahrzeugen am nächsten Tag mit Mängeln zu rechnen sein wird.

    Tipps

    Um die Anzahl der Fahrzeuge zu ermitteln, die am nächsten Tag mit Mängeln festgestellt werden, brauchst du die im Sachverhalt angegebene Wahrscheinlichkeit sowie die Gesamtzahl der zu kontrollierenden Fahrzeuge.

    Die zu bestimmende Anzahl bezeichnet man auch als Erwartungswert.

    Der Erwartungswert ergibt sich hier aus dem Produkt von Wahrscheinlichkeit und Gesamtzahl.

    Lösung

    Wir wollen den Erwartungswert, der am nächsten Tag aller Voraussicht nach als mangelhaft festzustellenden Fahrzeuge, bestimmen. Dazu bedienst du dich der gegebenen Wahrscheinlichkeit und der Gesamtzahl der zu kontrollierenden Fahrzeuge, indem du die beiden Werte miteinander mulitplizierst:

    $\frac{23}{178} \cdot 800 \approx 103,4$

    Es muss also mit ca. 103 defekten Fahrzeugen gerechnet werden.

  • Ermittle, welche Aussagen auf das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten zutreffen.

    Tipps

    Glücksspiele sind klassische Zufallsexperimente. Ein Rückgriff auf die relative Wahrscheinlichkeit ist hier nicht zwingend notwendig, denn ganz im Gegensatz zum Verhalten von Kunden gibt es hier keine schwierig kalkulierbaren Faktoren, die die Auswertung von Daten erforderlich machen würde.

    Die absolute Häufigkeit steht immer nur für eine Anzahl, während ein relativer Wert immer Bezug auf die Gesamtzahl nimmt.

    Lösung

    Das Schätzen der Wahrscheinlichkeit kommt freilich nur in den Bereichen zur Anwendung, in denen die Regeln des Zufalls nicht wirklich greifen:

    Dies betrifft vor allem Prozesse, die durch menschliches Verhalten gesteuert werden. Hier kann man häufig nur auf Erfahrungswerte setzen und diese mittels einer Wahrscheinlichkeitsschätzung in die Zukunft übertragen. Das ist natürlich immer wage, insbesondere wenn viel Zeit im Spiel ist. Deshalb kann eine geschätzte Wahrscheinlichkeit nie als „exakter” oder „absolut verlässlicher” Wert bezeichnet werden. Es bleibt immer eine näherungsweise Abschätzung mit mathematischen Mitteln.

    Reine Zufallsprozesse, wie etwa Lotto, Glücksrad u.s.w., unterliegen klaren Wahrscheinlichkeitsgrundsätzen, so dass die relative Häufigkeit hier nicht von Nöten ist.

    Ganz im Gegenteil: Die relative Häufigkeit nähert sich sogar der rechnerischen Wahrscheinlichkeit an, je mehr Versuche man unternimmt. Das besagt das Gesetz der großen Zahlen.

    Die relative Häufigkeit bestimmt man mit Hilfe der absoluten Häufigkeit:

    Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit zur Gesamtzahl.

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