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Volumen zusammengesetzter Körper 09:11 min

Textversion des Videos

Transkript Volumen zusammengesetzter Körper

Hallo. Seid ganz herzlich willkommen. Dieses Video heißt: Rauminhalt zusammengesetzter Körper. Ihr wisst schon, wie man das Volumen von Quadern und Würfeln bestimmt. Rauminhalt ist ein anderer Name für Volumen. Nachher könnt Ihr zusammengesetzte Körper in Quader und Würfel zerlegen und so das Volumen der zusammengesetzten Körper berechnen. Das Video besteht aus fünf Abschnitten. Erstens: Quader und Würfel. Zweitens: Das Zerlegungsprinzip. Drittens: Üben mit Bausteinen. Viertens: Der Eckbau. Und fünftens: Zusammenfassung. Erstens: Quader und Würfel. Wir kennen bereits für beide die Formeln für die Berechnung des Volumens. Für den Quader: V = a * b * c, ist gleich Länge mal Breite mal Höhe. Für den Würfel V = a³, a ist die Kantenlänge. Damit haben wir das Werkzeug in der Hand. Zweitens: Das Zerlegungsprinzip. Wir starten mit einem zusammengesetzten Körper. Den Körper kann man Zerlegen. In einen Quader und in einen Würfel. Der Quader hat ein bestimmtes Volumen VQ. Der Würfel hat das Volumen VW. Das Volumen des Quaders ist 45cm³. Das Volumen des Würfels beträgt 27cm³. V = 45 + 27. Das Volumen V des zusammengesetzten Körpers beträgt 72cm. V = 72cm³. Drittens: Üben mit Bausteinen. Hier ist ein zusammengesetzter Körper. Er besteht aus einem Quader und einem Würfel. Die Rauminhalte sind VQ und VW. Länge, Breite und Höhe des Quaders betragen: a = 20cm, b = 3cm, c = 6cm. Die Kantenlänge des Würfels beträgt a = 6cm. Wir rechnen: VQ = 20 * 3 * 6. Das sind VQ = 360cm³. VW = 6³ = 6 * 6 * 6. Manche kennen diese Kubikzahl. VW = 216cm³. Wir addieren beide Rauminhalte. V = 360 + 216. Wir erhalten für den zusammengesetzten Körper V = 576cm³. Ein neuer Körper. Er besteht aus zwei Quadern. Die Rauminhalte sind VQ1 und VQ2. Der linke Quader hat die Maße a = 3dm, b = 3dm und c = 6dm. Beim rechten Quader betragen sie a = 10dm, b = 3dm und c = 2dm. Wir rechnen: VQ1 = 3 * 3 * 6. Und erhalten VQ1 = 54dm³. Rechts erhalten wir für das Volumen: VQ2 = 10 * 3 * 2. Das sind VQ2 = 60dm³. Wir addieren beide Rauminhalte und erhalten V = 114dm³. Ein neuer Körper. Ihr habt sicher schon gesehen, dass er aus zwei Quadern besteht. Oben rechts, das ist kein Würfel. Das ist auch ein Quader. Die Rauminhalte bezeichnen wir mit VQ1 und VQ2. Die Maße könnten auch so geben sein: 18cm, 9cm, 18cm. Die Höhe beträgt 5cm. Wir notieren Länge, Breite und Höhe für den ersten Quader. VQ1 = 18 * 9 * 5. Wir schreiben um: = 2 * 9 * 9 * 5 und 2 * 5 * 9 * 9. VQ1 = 810cm³. b für den kleinen Quader ist: b = 18 - 9 = 9cm. Wir sehen, dass a = b ist. a = 9cm und die Höhe c = 5cm. Das Volumen VQ2 = 9 * 9 * 5. Also = 81 * 5, das sind VQ2 = 405cm³. Wir addieren die Rauminhalte: V = 810 + 405. Wir erhalten V = 1215cm³. Und jetzt zu einer Anwendung. Viertens: Der Eckbau. Ein Eckbau besteht, wenn Häuser um die Ecke gebaut wurden. Bestimme das Volumen des Eckbaus. Wir benötigen die Maße und verwenden unser kleines Holzmodell. Lange Seite 120m. Kürzere Seite 70m. Breite 15m. Die Höhe ist 30m. Wir erkennen zwei Quader. Diesen und diesen. Wir rechnen für den ersten Quader: VQ1 = 70 * 15 * 30. Für das Volumen erhalte ich VQ1 = 31500m³. Beim zweiten Quader muss ich bei der Länge rechnen: VQ2 = (120 - 15) * 15 * 30. Ich rechne schriftlich. Wir erhalten VQ2 = 47250m³. Die Rauminhalte werden addiert. V = 78750m³. Fünftens: Zusammenfassung: Das Volumen eines zusammengesetzten Körpers bestimmt man, indem man ihn zerlegt, in einen Quader und in einen Würfel. Das Volumen des Quaders ist VQ. Länge, Breite und Höhe sind a, b und c. VQ = a * b * c. Das Volumen für den Würfel ergibt sich aus der Kantenlänge a. Es ist gleich VW= a³. Wir addieren die Rauminhalte V = VQ + VW und sind fertig. Ein dickes Lob an alle Teilnehmer. Alles Gute, viel Erfolg. Tschüss.

28 Kommentare
  1. Danke für den Video. War sehr gut erklart !! Weiter so !! Super!! :)

    Von Sandra C., vor 3 Monaten
  2. schade das sie keine videos mehr machen :( Ihre videos wahren so gut

    Von Flan Chan, vor 10 Monaten
  3. Gutes video😍

    Von Schnatti1981, vor mehr als einem Jahr
  4. ein gutes video

    Von Michelle H., vor mehr als einem Jahr
  5. Bitte mehr Videos machen

    Von Leon S., vor fast 2 Jahren
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Volumen zusammengesetzter Körper Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen zusammengesetzter Körper kannst du es wiederholen und üben.

  • Ordne die Formel für den Rauminhalt bzw. das Volumen dem richtigen Körper zu.

    Tipps

    Welche Eigenschaften haben die Kanten eines Würfels?

    Für das Volumen braucht man Länge, Breite und Höhe eines Quaders.

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, musst du dich an die Eigenschaften von Quadern und Würfeln erinnern.

    Bei einem Quader entsprechen vier Kanten der Länge, vier Kanten der Breite und vier Kanten der Höhe. Diese werden mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Somit lautet die Formel für das Volumen von Quadern:

    $V=a \cdot b \cdot c$.

    Bei einem Würfel sind alle zwölf Kanten gleich lang. Alle Kanten werden mit $a$ bezeichnet. Das ergibt für die Volumenformel eines Würfels:

    $V=a \cdot a \cdot a=a^3$.

  • Berechne den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    In beiden Fällen geht es darum, Kantenlängen miteinander zu multiplizieren.

    $V_W=a \cdot a \cdot a=a^3$

    $V_Q=a \cdot b \cdot c$

    Lösung

    Fangen wir bei dem Quader an. Um seinen Rauminhalt auszurechnen, benötigen wir seine Länge, Breite und Höhe, also diejenigen Kanten, die man auch mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet.

    Die Formel für den Rauminhalt bzw. das Volumen eines Quaders lautet:

    $V_Q=a \cdot b \cdot c$.

    Wir setzen ein: $V_Q=20~cm \cdot 3~cm \cdot 6~cm=360~cm^3$.

    Beim Würfel ist es ganz ähnlich, nur dass hier alle Kanten gleich lang sind, sodass wir so rechnen müssen:

    $V_W=a \cdot a \cdot a= a^3$.

    Wir setzen nun die gegebene Kantenlänge $a$ ein:

    $V_W=6~cm \cdot 6~cm \cdot 6~cm=(6~cm)^3=216~cm^3$.

    Das Volumen des zusammengesetzten Körpers ergibt sich aus der Summe der Rauminhalte, die wir gerade berechnet haben:

    $V_K=360~cm^3 + 216~cm^3=576~cm^3$.

  • Bestimme die Rauminhalte beider Aquarien.

    Tipps

    Du kannst immer nur in einer Maßeinheit rechnen.

    Einheiten umrechnen:

    $1~m \hat{=} 10~dm \hat{=} 100~cm \hat{=} 1.000~mm$

    $1~dm^3 \hat{=} 1~Liter$

    Lösung

    Bei diesem Beispiel müssen wir zuerst alle Maßangaben in eine Einheit umwandeln. Da am Ende ein Wert in $Litern$ gebraucht wird und das genau der Einheit $dm^3$ entspricht, entscheiden wir uns für $dm$.

    Damit hätten wir folgende Angaben:

    $Länge_{groß}=6~dm$

    $Breite_{groß}=300~mm=3~dm$

    $Höhe_{groß}=45~cm=4,5~dm$

    Um das Volumen des großen Aquariums (des Quaders) auszurechnen, benötigen wir folgende Formel:

    $V_Q= a \cdot b \cdot c$.

    Wir setzen ein:

    $V_{Qgroß}=6~dm \cdot 3~dm \cdot 4,5~dm=18~dm^2 \cdot 4,5~dm=81~dm^3$.

    Somit hätten wir den Rauminhalt des großen Aquariums berechnet. Das kleine Aquarium soll jeweils die Hälfte der Kantenlängen des großen besitzen. Daher schreiben wir:

    $Länge_{klein}=4,5~dm : 2 =2,25~dm$

    $Breite_{klein}=6~dm : 2 = 3~dm$

    $Höhe_{klein}=3~dm : 2 = 1,5~dm$

    Nun berechnen wir das Volumen dieses Quaders:

    $V_{Qklein}=2,25~dm \cdot 3~dm \cdot 1,5~dm=6,75~dm^2 \cdot 1,5~dm= 10,125~dm^3$.

    Es gibt aber auch eine Regel, mit der du das Volumen des kleinen Aquariums anders ausrechnen kannst.

    Merke: Wenn sich alle Kantenlängen eines Quaders halbieren, teilt sich sein Volumen durch acht. Umgekehrt: Wenn ich alle Kantenlängen eines Quaders verdopple, verachtfacht sich sein Volumen!

    Das kann man hier sehr gut sehen. Da wir alle Kanten halbieren, können wir nach der Regel auch einfach das Volumen durch acht teilen:

    $81~dm^3 : 8=10,125~dm^3 $.

    Nun müssen wir aber noch das Volumen des zusammengesetzten Körpers ausrechnen und addieren dazu beide bereits berechneten Rauminhalte:

    $V_{gesamt}=81~dm^3 + 10,125~dm^3=91,125~dm^3$.

    Da $1~dm^3$ genau $1~Liter$ entspricht, passen etwas mehr als $90~Liter$ Wasser in die beiden Aquarien.

  • Ermittle das Gesamtvolumen dieses zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    Nicht alle Werte, die du benötigst, sind direkt ablesbar. Versuche zunächst, zu jedem einzelnen der drei Quader die passenden Kantenlängen zu ermitteln.

    $V_Q= a \cdot b \cdot c$ oder Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

    Das obere ist das größte und das linke das kleinste Gebäude.

    Die Länge des rechten und linken Quaders ist gleich groß und beträgt nicht $70~m$.

    Lösung

    Zunächst muss man sich die Werte erschließen, die nicht direkt angegeben sind. In dem Bild sind sie rot markiert. Es handelt sich dabei um die Länge des linken und rechten Quaders. Außerdem sind die Gebäude für die Rechnung in grün durchnummeriert. Bei allen Rechnung wird außer beim Ergebnis der Übersicht halber auf Einheiten verzichtet.

    Bei allen drei Gebäuden handelt es sich um Quader mit einer Höhe von $22~m$. Fangen wir mit dem ersten, dem linken Gebäude an. Den Quader nennen wir $Q1$ und das Volumen entsprechend $V_{Q1}$.

    Es ist $70 - 18=52~m$ lang, $20~m$ breit und $22~m$ hoch. Wir rechnen:

    $V_{Q1}= a \cdot b \cdot c=52 \cdot 20 \cdot 22=1~040 \cdot 22= 20~800+2~080=22~880~m^3$

    Nun zum rechten Gebäude. Den Quader nennen wir $Q2$ und das Volumen entsprechend $V_{Q2}$.

    Es ist ebenfalls $52~m$ lang und $22~m$ hoch, aber $25~m$ breit. Wir rechnen:

    $V_{Q2}=52 \cdot 25 \cdot 22=1~300 \cdot 22 = 26~000+2~600=28~600~m^3$.

    Nun zum oberen Gebäude. Den Quader nennen wir $Q3$ und das Volumen entsprechend $V_{Q3}$.

    Es ist $20 + 55 + 25=100~m$ lang, $18~m$ breit und ebenfalls $22~m$ hoch.

    Wir rechnen:

    $V_{Q3}=100 \cdot 18 \cdot 22= 1~800 \cdot 22 = 36~000+3~600=39~600~m^3$. Es ist also das größte der drei Gebäude bzw. das Gebäude mit dem größten Volumen.

    Um den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers zu bestimmen, addieren wir die Rauminhalte der drei Gebäude:

    $V_{gesamt}= V_{Q1} + V_{Q2} + V_{Q3}= 22~880 + 28~600 + 39~600=91~080~m^3$.

    Das gesamt Schulgebäude besitzt also ein Volumen von $91~080~m^3$. Nun bist du dran. Kannst du das Volumen deines Schulgebäudes auch berechnen?

  • Berechne den Rauminhalt bzw. das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    Was passiert mit dem Volumen, wenn ich die Körper wieder zusammensetze?

    Lösung

    Da es sich um einen zusammengesetzten Körper handelt, braucht man zunächst die Rauminhalte bzw. Volumen der Teilkörper. Diese sind in der Aufgabe bereits angegeben.

    Wenn wir den Quader und den Würfel jetzt zu einem Körper zusammensetzen möchten, müssen wir dazu ihre Rauminhalte bzw. Volumen addieren. Wir rechnen:

    $V=V_Q+V_W=45~cm^3+27~cm^3=72~cm^3$.

  • Gib die Anzahl der kleinen Würfel an.

    Tipps

    Bringe zuerst alle Maßangaben auf die gleiche Einheit.

    Wie viele kleine Würfel passen in den großen Quader? Berechne das Volumen des Quaders und eines Würfels.

    Zwei Möglichkeiten sind richtig.

    Lösung

    Um die Anzahl der kleinen Würfel herauszufinden, benötigen wir die Rauminhalte beider Körper.

    Fangen wir mit dem Quader an. Seine Länge, Breite und Höhe sind bereits angegeben, allerdings in verschiedenen Maßeinheiten. Wir passen an:

    $a=12~cm$

    $b=55~mm=5,5~cm$

    $c=0,8~dm=8~cm$

    (Du musst nicht in cm rechnen, du kannst auch alles in dm oder mm umwandeln, wichtig ist, dass alles einheitlich ist!)

    Nun berechnen wir den Rauminhalt des Quaders:

    $V_Q=a \cdot b \cdot c=12 \cdot 5,5 \cdot 8=12 \cdot 44=528~cm^3$.

    Das ist der Rauminhalt des Quaders. Nun zum Würfel. Da wir aber immer einheitlich rechnen, das heißt immer in gleichen Einheiten, müssen wir die Kantenlänge des Würfels noch anpassen:

    $a=20~mm=2~cm$.

    Jetzt können wir auch seinen Rauminhalt berechnen:

    $V_W=a^3=2^3=8~cm^3$.

    Nun, da wir beide Rauminhalte kennen, müssen wir nur noch $V_Q$ durch $V_W$ teilen, um zu erfahren, wie viele kleine Würfel in den Quader passen:

    $528~cm^3 : 8~cm^3=66$ Würfel.

    Es passen also $66$ Würfel in den großen Quader hinein.