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Volumen von Körpern 05:05 min

Textversion des Videos

Transkript Volumen von Körpern

Der Verrückte Hutmacher ist weltberühmt für seine nun ja Hüte. Berichte über seine Genialität haben auch die Königin erreicht. Die braucht eine Kopfbedeckung für eine prunkvolle Feier. Seine Schöpfungen sind stets das Gesprächsthema der ganzen Stadt. Um seine Meisterwerke der Königin vorstellen zu können, braucht er neue Hutschachteln. Dazu muss er die Volumina verschiedener Körper berechnen. Für den Spielkartenhut braucht er eine quaderförmige Schachtel. Für den Dreieckshut eine solche dreieckige Schachtel, auch Prisma genannt. Und für den Teekannenhut braucht er eine runde Schachtel, auch Zylinder genannt. Der Hutmacher verpackt also sein erstes Werk in einer quaderförmigen Hutschachtel. Helfen wir ihm dabei, die Volumina der Schachteln herauszufinden. Um das Volumen eines beliebigen dreidimensionalen Körpers herauszufinden, brauchst du zunächst dessen Grundfläche. Die multiplizierst du dann mit der Höhe des Körpers. Der erste Hut hat folgende Maße: Er ist 3 dm lang, 2,5 dm breit und 4 dm hoch. Wenn wir die ersten beiden Maße multiplizieren, erhalten wir die Größe der rechteckigen Grundfläche. 3 dm mal 2,5 dm ergibt eine Grundfläche von 7,5 Quadratdezimetern. Diesen Wert multiplizieren wird mit der Höhe von 4 dm und erhalten so ein Volumen von 30 Kubikdezimetern. Kubikdezimeter ist eine Einheit für ein Volumen, denn genau so, wie wir die Werte multiplizieren, müssen wir auch die Einheiten multiplizieren. Als Nächstes helfen wir dem Verrückten Hutmacher seinen verrückten Hut in eine dreieckige Schachtel zu stecken. Um das Volumen dieser Schachtel in Form eines dreieckigen Prismas zu finden, musst du die gleichen Schritte wie zuvor ausführen: Zuerst berechnest du die Grundfläche und multiplizierst sie dann mit der Höhe des Körpers. Die Schachtel hat folgende Maße: Die Grundseite des Dreiecks ist 6 dm lang, die Höhe des Dreiecks beträgt 4 dm und die Höhe der Schachtel 4,5 dm. Dieses Mal müssen wir zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ermitteln und das Ergebnis mit der Höhe der Schachtel multiplizieren. Wir kennen die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken: 1/2 mal Grundseite mal Höhe. Wir setzen unsere Werte ein und erhalten einen Flächeninhalt von 12 Quadratdezimetern für die Grundfläche. Den multiplizieren wir mit der Höhe des Körpers, also mit 4,5 dm, und erhalten so ein Volumen von 54 Kubikdezimetern. Besonders zufrieden ist der verrückte Hutmacher mit seiner letzten Kreation, die er in einer besonderen, zylinderförmigen Schachtel verstauen will. Dafür brauchen wir nur zwei Maße: Den Radius und die Höhe der Schachtel. Die Schachtel hat einen Radius von 25 cm und sie ist 51 cm hoch. Wie bei den anderen Beispielen müssen wir die Grundfläche mit der Höhe multiplizieren. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Kreis, also können wir die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises in unsere Formel für das Volumen eines Körpers einsetzen. Du weißt sicher noch, dass man den Flächeninhalt eines Kreises mit Pi mal r Quadrat berechnet. In diese Formel müssen wir nur unseren Wert für den Radius "r" einsetzen. So erhalten wir etwa 1963,5 Quadratzentimeter als Flächeninhalt des Kreises. Das multiplizieren wir mit der Höhe der Schachtel von 51 cm. Eine Schachtel für den Teekannenhut braucht also ein Volumen von 100.138,3 Kubikzentimetern. Fassen wir zusammen: Um das Volumen einfacher Körper zu berechnen, musst du zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen. Für jeden unserer Körper haben wir zunächst die Grundfläche ermittelt und sie dann mit der Höhe multipliziert. Den Flächeninhalt des Rechtecks berechnet man als Länge mal Breite. Den des Dreiecks als 1/2 mal Grundseite mal Höhe. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet Pi mal r Quadrat. Wenn wir diese Grundflächen mit der jeweiligen Höhe multiplizieren, erhalten wir das Volumen. Nun, da die Hüte verpackt sind, schauen wir mal, für welchen sich die Königin entschieden hat. Die Königin ist ganz vernarrt in den Teekannenhut, aber irgendetwas ist seltsam an diesem Hut.

Volumen von Körpern Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Körpern kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Berechnen der Volumen von Körpern.

    Tipps

    Bei der Berechnung von Volumen musst du immer drei Längen miteinander multiplizieren.

    Die Kreisflächen eines Zylinders sind zueinander kongruent.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Eine Volumeneinheit wird immer zur zweiten Potenz erhoben.“

    • Volumeneinheiten sind immer zur dritten Potenz erhoben. Das ist so, weil du bei der Berechnung immer drei Längen miteinander multiplizieren musst. Wenn du etwas dreimal mit sich selbst multiplizierst, dann kannst du es zur dritten Potenz erheben: $\text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^3$.
    „Das Volumen eines Zylinders kannst du nicht bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.“

    • Bei allen Körpern, bei denen zwei gegenüberliegende Flächen kongruent zueinander sind, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Das Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche berechnest du, indem du die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multiplizierst.“

    „Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du die Hälfte einer Seitenlänge mit der zugehörigen Höhe des Dreiecks multiplizierst:

    $A=\frac{1}{2} a \cdot h_a$.“

    • Hier kannst du eine beliebige Seitenlänge wählen, solange du mit der zugehörigen Höhe rechnest. Die Höhe ist die Länge, die senkrecht auf der Seite steht und in der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks endet.
    „Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit $A=\pi r^2$ berechnen.“

  • Bestimme das Volumen eines Quaders.

    Tipps

    Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

    Dazu musst du zuerst die Grundfläche berechnen. Die erste fehlende Länge kannst du aus der Zeichnung ablesen.

    Lösung

    Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.

    Dazu musst du zuerst die Grundfläche berechnen. Die erste fehlende Länge kannst du aus der Zeichnung ablesen.

    $A=2,5~\text{dm} \cdot 3~\text{dm}= 7,5~\text{dm}^2$

    Damit kannst du das Volumen bestimmen.

    $\begin{array}{&&} V &= G \cdot h\\ &= 7,5~\text{dm}^2 \cdot 4,5~\text{dm}\\ &= 30~\text{dm} ^3\\ \end{array}$

  • Berechne die Volumen verschiedener Körper.

    Tipps

    Hier bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche. Anschließend multiplizierst du diesen mit der Höhe des jeweiligen Körpers.

    Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.

    Lösung

    Bei allen Körpern, bei denen zwei gegenüberliegende Flächen kongruent zueinander sind, kannst du das Volumen bestimmen, indem du die Grundfläche mit der Höhe multiplizierst. Damit kannst du den Lückentext wie folgt vervollständigen:

    „Das Volumen dieses Prismas mit dreieckiger Grundfläche berechnet er, indem er die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multipliziert. Die Grundfläche berechnet sich durch:

    $G=\frac{1}{2} a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot 6~\text{dm} \cdot 4~\text{dm} =12~\text{dm} ^2$.

    Damit kann er das Volumen bestimmen:

    $V = G \cdot h= 12~\text{dm}^2 \cdot 4,5~\text{dm}= 54~\text{dm} ^3$“.

    • Hier bestimmst du zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche. Anschließend multiplizierst du diesen mit der Höhe des Körpers. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.
    „Das Volumen dieses Zylinders berechnet er, indem er die Grundfläche des Körpers mit seiner Höhe multipliziert. Die Grundfläche berechnet sich durch:

    $G=\pi r^2=\pi \cdot (25~\text{cm})^2 \approx 1963,5~\text{cm} ^2$“.

    • So bestimmst du die Fläche eines Kreises mit dem Radius $r$.
    „Damit kann er das Volumen bestimmen:

    $V = G \cdot h= 1963,5~\text{cm}^2 \cdot 51~\text{cm}=100138,3 ~\text{cm} ^3$.“

  • Erschließe das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

    Tipps

    Um das Gesamtvolumen zu berechnen, musst du zuerst die Teilvolumen der einzelnen Körper berechnen, aus denen die Figur aufgebaut ist.

    Das Gesamtvolumen kannst du durch Addition der Teilvolumen berechnen.

    Lösung

    Um das Gesamtvolumen zu berechnen, musst du zuerst die Teilvolumen, also die Volumen der Körper, aus denen sich der Gesamtkörper zusammensetzt, berechnen. Das Volumen des Würfels berechnest du wie folgt:

    $ V_W = G \cdot h = \underbrace{a \cdot a}_{\text{quadratische} \\ \text{Grundfläche}} \cdot \underbrace{a}_{\text{Höhe}} = 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 125~\text{cm}^3 $

    Das Volumen des Prismas mit dreieckiger Grundfläche ergibt sich durch:

    $ V_P = G \cdot h = \underbrace{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a}_{\text{dreieckige} \\ \text{Grundfläche}} \cdot \underbrace{a}_{\text{Höhe}} = \frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 37,5~\text{cm}^3 $

    Das Gesamtvolumen kannst du durch Addition der Teilvolumen berechnen:

    $V_{Ges}=V_W+V_P=125~\text{cm}^3 + 37,5~\text{cm}^3= 162,5~\text{cm}^3$

  • Ermittle das Volumen des Körpers.

    Tipps

    Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnest du mit der gegebenen Formel. Hier setzt du die Längen aus der Zeichnung ein.

    Lösung

    So kannst du die Berechnung durchführen:

    Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnest du mit der gegebenen Formel.

    $A= \frac{5}{2} \cdot g \cdot h_g $

    Diese Formel ergibt sich aus der Überlegung, dass du ein gleichmäßiges Fünfeck in fünf gleiche Dreiecke teilen kannst. Dann berechnest du den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke durch $A= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g $ und multiplizierst das mit fünf.

    In die Formel setzt du die Längen aus der Zeichnung ein.

    $\begin{array}{ll} A&= \frac{5}{2} \cdot g \cdot h_g\\ &= \frac{5}{2} \cdot 5~\text{m} \cdot 3,4~\text{m} \\ &=42,5~\text{m}^2\\ \end{array}$

    Anschließend multiplizierst du die Grundfläche mit der Höhe des Körpers. Dann erhältst du:

    $V=G \cdot h=42,5~\text{m}^2 \cdot 3~\text{m} = 127,5~\text{m}^3$.

  • Erschließe das Volumen dieser Körper.

    Tipps

    Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind.

    Die Fläche eines Kreises berechnest du durch:

    $A= \pi r^2$

    Lösung

    Um die Volumen der Körper zu berechnen, musst du zuerst die Grundfläche der Körper bestimmen. Anschließend multiplizierst du diese mit der Höhe des Körpers. So erhältst du:

    • Der Quader hat ein Volumen von:
    $\begin{array}{&&} V&= G \cdot h\\ &= a \cdot b \cdot c\\ &= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}\\ &= 60~\text{cm}^3\\ \end{array}$

    • Das Volumen des Würfels beträgt:
    $\begin{array}{&&} V&= G \cdot h\\ &= a \cdot a \cdot a\\ &= 6~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}\\ &= 216~\text{cm}^3\\ \end{array}$

    • Der Zylinder hat ein Volumen von:
    $\begin{array}{&&} V&= G \cdot h\\ &= \pi \cdot r^2 \cdot h\\ &= \pi \cdot (4~\text{cm})^2 \cdot 7~\text{cm} \\ &= 351,9~\text{cm}^3\\ \end{array}$

    • Das Volumen des Prismas mit dreieckiger Grundfläche beträgt:
    $\begin{array}{&&} V&= G \cdot h\\ &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \cdot h\\ &= \frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} \cdot 6~\text{cm} \\ &= 45~\text{cm}^3\\ \end{array}$