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Volumen von Kegeln

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André Otto
Volumen von Kegeln
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Volumen von Kegeln

Guten Tag und Herzlich Willkommen! In diesem Video geht es um das Kegelvolumen und die Herleitung der Formel. Um das Video zu verstehen, benötigst du ausreichend Kenntnisse über Reihen und Grenzwerte. Dir ist bereits bekannt, dass man einen Kegel von der Seite wie ein Dreieck darstellen kann. Wenn man ihn parallel zur Grundfläche durchschneidet, so ergibt sich bei jedem dieser Schnitte ein Kreis. Man müsste eine gute Näherungsformel für das Volumen eines Kegels erhalten, wenn man die Summe der Volumina vieler Zylinder mit niedriger Höhe bildet. Im Video wird dir basierend auf diesen Ideen die Volumenformel für einen Kegel hergeleitet.

Transkript Volumen von Kegeln

Guten Tag und herzlich willkommen.In diesem Video geht es um das Kegelvolumen, die Herleitung der Formel. Ihr wisst sehr gut, dass ihr einen Kegel von der Seite darstellen kann wie ein Dreieck. Wenn man ihn parallel zur Grundfläche durchschneidet, so ergibt sich nach jedem dieser Schnitte wieder ein Kreis. Aus dieser Tatsache resultiert die Idee für die Herleitung der Formel für das Kegelvolumen. Man stellt zunächst einmal eine Nährungsformel durch die Summe der Volumina vieler einzelner Zylinder dar. Diese einzelnen Zylinder sind praktisch Scheiben mit einer relativ geringen Höhe. Wenn man viele dieser einzelnen Zylinder aufsummiert, müsste man eine gute Nährung für die Formel des Volumens erhalten. Formal schreiben ich in vereinfachter Form: V ist etwa die Summe der Volumina der einzelnen Zylinder VZ.   Nehmen wir zunächst an, wir haben n Scheiben, also solchen kleinen Zylinder mit gleicher Höhe, dann ergibt sich für die Höhe jedes dieser Zylinder: hZ=h/n ,wobei h die Höhe des Kegels ist. Nehmen wir uns nun einen der beliebigen n-Zylinder raus. Sein Volumen beträgt dann:VZ=π (rZ)²×hZ . Das entspricht der Formel für das Volumen eines Zylinders. hZ ist  seine Höhe und die haben wir bereits dargestellt. Wir müssen nun noch versuchen rZ sinngerecht zu formulieren. Ich habe rZ in die Skizze zunächst sinngemäß in die Skizze eingetragen. Auf der anderen Seite kennen wir aber auch den Radius r unseres Kegels. Nach dem 2.Strahlensatz gilt nun:rZ/s=r/h , wobei s die in der Skizze dargestellte Strecke ist. Wir stellen um und erhalten:rZ=r×(s/h),  s=k×hZ, gerade k mal die Höhe eines Zylinders, k befindet sich in den Grenzen von 1 bin n und ist eine natürliche Zahl. Wir können dann schreiben:r×(k×hZ)/h=r×(k×h)/(h×n)Damit erhalten wir für rZ:rz=r×k/n . Wir nummerieren nun die Gleichungen und bezeichne sie als 1,2 und 3. Wir setzten nun die Werte für hZ und rZ aus den Gleichungen 1 und 2 in die Gleichung 3 ein. Somit ergibt sich für das Volumen einer Scheibe eines Zylinders VZ:VZ=π × r²×k²/n²×h/n.Daher ist es korrekter zu schreiben, VZ=π × r²×h×k²/n³ . Diese Gleichung bezeichne ich als Gleichung 4. Das Volumen des Kegels ergibt sich nun angenähert als summe der Volumina, der vielen einzelnen Zylinder, der vielen einzelnen Scheiben, also:V≈Σ ((k=1) bis n)VZk, und das ist gleich unter der Verwendung von Gleichung 4:  Σ ((k=1) bis n) π × r²×h×k²/n³ . Diese Summe sieht fürchterlich aus, ist es aber nicht. Denn wir sehen, dass π r²h - von mir eingekreist - so wie n³ im Nenner - eingekreist - wofür man 1/n³ im Nenner schreiben kann, von k nicht abhängen. Also kann man diese beiden Teiltermen als Faktoren vor das Summenzeichen schreiben. Wir erhalten somit: V≈π × r²×h×1/n³×Σ ((k=1) bis n)k² . Diese Gleichung bezeichnen wir als Gleichung 5. Für Σ ((k=1) bis n) k² kann man einen geschlossenen analytischen Ausdruck formulieren. Schaut in eurer Formelsammlung nach. Das ist nämlich genau:n(n+1)(2n+1)/6 . Diese Gleichung bezeichne ich als Gleichung 6. Jetzt setze ich den rechten Wert der Gleichung 6 in die Gleichung 5 ein. Ich schreibe:V≈π × r²×h×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6 . Ich schreibe etwas um und formuliere:V≈π × r²×h×(n(n+1)(2n+1))/(6n³) . Die letzte Gleichung bezeichne ich als Gleichung 7. Die Gleichung 7 ist eine Näherungsformel, sie wird genau, wenn n gegen große Zahlten strebt, wenn n gegen unendlich geht. Also setzten wir ganz einfach den Grenzwert an und erhalten:V=lim(n->unendlich)π × r²×h×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6n³. Ich möchte hier noch in der letzten Zeile bemerken, dass der Ausdruck π × r²×h von n nicht abhängig ist und daher im nächsten Schritt vor den Limes geschrieben werden kann. Somit schreiben wir:V=π × r²×hlim(n->unendlich)×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6n³. Um den Grenzwert zu bestimmen dividieren wir nun den Zähler und Nenner des Bruchs durch n³. Im Nenner beleibt dann einfach 6 stehen. Im zähler dividieren wir das n durch eines dieser ns und erhalten 1. Den Ausdruck (n+1) dividieren wir durch das zweite n und erhalten (1+1/n). und den Ausdruck (2n+1) dividieren wir durch das dritte n und erhalten (2+1/n). Für (n gegen unendlich) sehen wir schön, wohin die einzelnen Ausdrücke streben. Der Nenner strebt gegen 6, das ist klar, der zweite Ausdruck des Zählers ist eine 1, der zweite Term ist (1+1/n) für (n gegen unendlich) strebt er gegen 1, der zweite Klammerausdruck (2+1/n) strebt bei (n gegen unendlich) gegen 2. Somit erhalten wir: V= π × r²×h× (1×1×2)/6. Wir kürzen die 2 und erhalten so 1/3. Somit ergibt sich als abschießende Formel: V=1/3 π r²h . Das ist die Formel für das Volumen eines Kegels, die wir hiermit nachgewiesen haben. Ich danke für das Ausdauervermögen und die Aufmerksamkeit. Alles Gute, auf Wiedersehen.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Jetzt verstehe ich es, vielen Dank!

    Von Jessy ღ., vor fast 4 Jahren
  2. Hallo Jessika,
    falls du noch nichts zum Summenzeichen gefunden hast, hier ein paar ergänzende Informationen .

    Σ ist ein großes Sigma und wird als Summenzeichen benutzt. Es wird benutzt im Große Summen kurz zu schreiben. Dabei ist unten die Anfangszahl vom Index (die Zahl die sich bei jedem Summanden ändert) und oben die Endzahl gegeben.

    Zum Beispiel n=1 unten und 10 oben
    Σ n = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =55,
    das Summenzeichen erspart einem das aufschreiben jeder einzelnen Zahl.

    Viel Erfolg beim Lernen wünscht sofatutor!

    Von Karsten S., vor fast 4 Jahren
  3. Hallo,
    das ist das Summenzeichen, am besten Mal unter diesem Stichwort nach Beispielen suchen, damit versteht man die Notation am schnellsten.

    Gruß, ruhrschwabe

    Von Ruhrschwabe, vor fast 4 Jahren
  4. Aber was bedeutet Σ?

    Von Jessy ღ., vor fast 4 Jahren
  5. ehm sorry wie teile ich das video einfach http link kopieren und einfügen

    Von Ferayi, vor mehr als 7 Jahren
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Volumen von Kegeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Kegeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie das Volumen eines Kegels näherungsweise berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

    Hier siehst du einen Quader.

    Hier siehst du einen Zylinder.

    Ein Kreis ist eine Fläche und kein Körper.

    Lösung

    Wenn du $n$ Zylinder mit immer kleiner werdenden Radien übereinander legst, erhältst du näherungsweise einen Kegel. Das kannst du hier sehen. Ganz unten liegen zwei Zylinder. Das geht dann immer so weiter. In der Mitte sind weitere drei Zylinder zu sehen. Bis zur Spitze werden die Radien immer kleiner. Jeder dieser Zylinder hat die gleiche Höhe, nämlich $h_Z=\frac hn$. Dabei ist $h$ die Höhe des Kegels.

    Es ist also $V_{Kegel}\approx \sum\limits_{k=1}^n V_{Z_k}$.

    Um das Volumen jedes einzelnen Zylinders zu berechnen, benötigen wir noch den zugehörigen Radius $r_{Z_k}$. Hierfür verwenden wir einen Strahlensatz.

    Es ist $\dfrac{r_{Z_k}}{k\cdot h_Z}=\dfrac rh$.

    Multipliziere mit $k\cdot h_Z=k\cdot \frac hn$. So erhältst du

    $r_{Z_k}=\frac{r}{h}\cdot k\cdot \frac hn=r\cdot \frac{k}{n}$.

    Nun kannst du den Radius sowie die Höhe der einzelnen Zylinder in die Volumenformel für Zylinder $V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h$ einsetzen. Dies führt zu der Annäherung

    $V_{Kegel}\approx\sum\limits_{k=1}^n\pi\cdot r^2\cdot \dfrac{k^2}{n^2}\cdot \dfrac hn=\sum\limits_{k=1}^n\pi\cdot r^2\cdot \dfrac{k^2}{n^3}\cdot h$.

    Da sowohl $\pi\cdot r^2$ als auch $\frac1{n^3}\cdot h$ nicht von dem Summationsindex $k$ abhängen, erhältst du

    $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot \frac1{n^3}\cdot h\cdot\sum\limits_{k=1}^n k^2$.

  • Gib die Formel zur Volumenberechnung für einen Kegel an.

    Tipps

    Schau dir die Grenzwertberechnung an:

    $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1\cdot \left(1+\frac1n\right)\cdot\left(2+\frac1n\right)}{6}\right)$.

    Eine konstante Folge $c$ geht gegen $c$ für $n\to \infty$.

    Verwende die beiden folgenden Grenzwerte:

    • $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=1$ und
    • $\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2$.
    Lösung

    Wir beginnen mit der bereits bekannten Näherungsformel $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2$.

    Zunächst verwenden wir die Summenformel $\sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}6$ und setzen dies in die obige Näherung ein:

    $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}6$.

    Um das Volumen exakt zu berechnen, muss die Anzahl der verwendeten Zylinder immer größer werden. Mathematisch bedeutet dies, dass wir den Grenzwert bilden:

    $V_{Kegel}=\lim\limits_{n\to \infty} \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}= \lim\limits_{n\to \infty} \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}$.

    Da $\pi\cdot r^2\cdot h$ nicht von $n$ abhängt, berechnen wir den folgenden Grenzwert:

    $\begin{array}{rclll} \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}&=&\frac{1\cdot \left(1+\frac1n\right)\cdot \left(2+\frac1n\right)}{6}&&|\text{Kürzen}\\ &=&\frac{1\cdot 1\cdot 2}6\\ &=&\frac13 \end{array}$

    Nun sind wir fast fertig. Diesen Grenzwert können wir noch einsetzen und erhalten für das Volumen eines Kegel $V_{Kegel}=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$.

  • Berechne das Volumen des Kegels.

    Tipps

    Beachte: Der Radius wird quadriert in der Formel.

    Die Maßeinheit für das Volumen ist eine Längeneinheit hoch $3$.

    Lösung

    Beachte: Hier ist der Durchmesser des Kegels gegeben. Der Durchmesser ist der doppelte Radius. Es ist also $r=4,5~\text{cm}$. Nun kannst du das Volumen durch Einsetzen der bekannten Größen in die Formel $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$ berechnen:

    $\begin{array}{rcl} V&=&\frac13\cdot \pi\cdot (4,5~\text{cm})^2\cdot 12~\text{cm}\\ &=&81\cdot\pi~\text{cm}^3\\ &\approx& 254,5~\text{cm}^3 \end{array}$

  • Leite her, wie sich das Volumen eines Kegels ändert, wenn der Radius der Grundfläche oder die Höhe verändert wird.

    Tipps

    Ersetze jeweils in der Volumenformel $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$ den Radius beziehungsweise die Höhe durch das Vielfache.

    Beachte, dass der Radius quadriert wird. Die Höhe wird nicht potenziert.

    Schau dir ein Beispiel an: Der Radius wird vervierfacht.

    $V=\frac13\cdot \pi\cdot (4r)^2\cdot h$

    Achte darauf, dass beim Potenzieren eines Produktes alle Faktoren potenziert werden.

    Zum Beispiel ist $(4r)^2=4^2\cdot r^2=16r^2$.

    Lösung

    Veränderung der Höhe

    Da die Höhe nicht potenziert wird, ändert sich das Volumen in gleichem Maße wie die Höhe.

    • Verdoppelte Höhe: $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot 2\cdot h=2\cdot \frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$. Dies ist eine Verdoppelung des Volumens.
    • Verdreifachung der Höhe führt demzufolge zu einem dreifachen Volumen.
    Veränderung des Radius'

    Da der Radius in der Formel quadriert wird, wird auch eine Veränderung des Radius quadriert:

    • Verdoppelter Radius: $V=\frac13\cdot \pi\cdot (2r)^2\cdot h=\frac13\cdot \pi\cdot 4\cdot r^2\cdot h=4\cdot \frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$. Du siehst, das Volumen wird vervierfacht.
    • Verdreifachter Radius: Ebenso erhältst du hier $V=9\cdot \frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$, also eine Verneunfachung des Volumens.
  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders an.

    Tipps

    Beachte: Wenn du mit Längeneinheiten rechnest, musst du als Ergebnis diese Längeneinheit hoch $3$ erhalten.

    Das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge $a$ beträgt $V=a^3$.

    Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gegeben durch $A=\pi\cdot r^2$.

    Lösung

    Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis mit dem Radius $r$. Dieser hat den Flächeninhalt $A=\pi\cdot r^2$.

    Multipliziere diese Fläche mit der Höhe $h$ des Zylinders, so erhältst du die Volumenformel für einen Zylinder: $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.

  • Ermittle die fehlenden Größen.

    Tipps

    Verwende die Volumenformel $V=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Diese musst du gegebenenfalls umstellen.

    Da das jeweilige Volumen immer als Vielfaches von der Kreiszahl $\pi$ angegeben ist, kannst du die fehlenden Werte exakt, das heißt ohne Runden, berechnen.

    Alle Zahlen, welche du eintragen musst, sind natürliche Zahlen.

    Wenn du alle Ergebnisse addierst, kommst du auf $43$.

    Lösung

    Berechne das Volumen bei bekanntem Radius und bekannter Höhe

    Wenn du den Radius $r=2~\text{m}$ und die Höhe $h=12~\text{m}$ eines Kegels kennst, kannst du das Volumen durch Einsetzen dieser Größen in die hier zu sehende Formel berechnen:

    $\begin{array}{rcl} V&=&\frac13\cdot \pi\cdot (2~\text{m})^2\cdot 12~\text{m}\\ &=&16\cdot\pi~\text{m}^3\\ &\approx& 50,3~\text{m}^3 \end{array}$

    In den folgenden beiden Fällen musst du die Formel umstellen.

    Berechne die Höhe bei bekanntem Radius und bekanntem Volumen

    Setze $r=4~\text{m}$ und $V=80\cdot \pi~\text{m}^3$ in die Formel ein. Forme nun nach $h$ um:

    $\begin{array}{rclll} 80\cdot \pi~\text{m}^3&=&\frac13\cdot \pi\cdot (4~\text{m})^2\cdot h&|&\cdot \frac{3}{\pi}\\ 240~\text{m}^3&=&16~\text{m}^2\cdot h&|&:16~\text{m}^2\\ 15~\text{m}&=&h \end{array}$

    Berechne den Radius bei bekannter Höhe und bekanntem Volumen

    Setze $h=24~\text{m}$ und $V=1152\cdot \pi~\text{m}^3$ in die Formel ein. Forme dann nach $r$ um:

    $\begin{array}{rclll} 1152\cdot \pi~\text{m}^3&=&\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot 24~\text{m}&|&\cdot \frac{3}{\pi}\\ 3456~\text{m}^3&=&r^2\cdot 24~\text{m}&|&:24~\text{m}\\ 144~\text{m}^2&=&r^2&|&\sqrt{~~~}\\ 12~\text{m}&=&r \end{array}$

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