Volumen von Kegeln

Volumen von Kegeln Übung

• Beschreibe, wie das Volumen eines Kegels näherungsweise berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

  Hier siehst du einen Quader.

  Hier siehst du einen Zylinder.

  Ein Kreis ist eine Fläche und kein Körper.

  Lösung

  Wenn du $n$ Zylinder mit immer kleiner werdenden Radien übereinander legst, erhältst du näherungsweise einen Kegel. Das kannst du hier sehen. Ganz unten liegen zwei Zylinder. Das geht dann immer so weiter. In der Mitte sind weitere drei Zylinder zu sehen. Bis zur Spitze werden die Radien immer kleiner. Jeder dieser Zylinder hat die gleiche Höhe, nämlich $h_Z=\frac hn$. Dabei ist $h$ die Höhe des Kegels.

  Es ist also $V_{Kegel}\approx \sum\limits_{k=1}^n V_{Z_k}$.

  Um das Volumen jedes einzelnen Zylinders zu berechnen, benötigen wir noch den zugehörigen Radius $r_{Z_k}$. Hierfür verwenden wir einen Strahlensatz.

  Es ist $\dfrac{r_{Z_k}}{k\cdot h_Z}=\dfrac rh$.

  Multipliziere mit $k\cdot h_Z=k\cdot \frac hn$. So erhältst du

  $r_{Z_k}=\frac{r}{h}\cdot k\cdot \frac hn=r\cdot \frac{k}{n}$.

  Nun kannst du den Radius sowie die Höhe der einzelnen Zylinder in die Volumenformel für Zylinder $V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h$ einsetzen. Dies führt zu der Annäherung

  $V_{Kegel}\approx\sum\limits_{k=1}^n\pi\cdot r^2\cdot \dfrac{k^2}{n^2}\cdot \dfrac hn=\sum\limits_{k=1}^n\pi\cdot r^2\cdot \dfrac{k^2}{n^3}\cdot h$.

  Da sowohl $\pi\cdot r^2$ als auch $\frac1{n^3}\cdot h$ nicht von dem Summationsindex $k$ abhängen, erhältst du

  $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot \frac1{n^3}\cdot h\cdot\sum\limits_{k=1}^n k^2$.

• Gib die Formel zur Volumenberechnung für einen Kegel an.

  Tipps

  Schau dir die Grenzwertberechnung an:

  $\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1\cdot \left(1+\frac1n\right)\cdot\left(2+\frac1n\right)}{6}\right)$.

  Eine konstante Folge $c$ geht gegen $c$ für $n\to \infty$.

  Verwende die beiden folgenden Grenzwerte:

  • $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=1$ und
  • $\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2$.

  Lösung

  Wir beginnen mit der bereits bekannten Näherungsformel $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2$.

  Zunächst verwenden wir die Summenformel $\sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}6$ und setzen dies in die obige Näherung ein:

  $V_{Kegel}\approx \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}6$.

  Um das Volumen exakt zu berechnen, muss die Anzahl der verwendeten Zylinder immer größer werden. Mathematisch bedeutet dies, dass wir den Grenzwert bilden:

  $V_{Kegel}=\lim\limits_{n\to \infty} \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac1{n^3}\cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}= \lim\limits_{n\to \infty} \pi\cdot r^2\cdot h \cdot \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}$.

  Da $\pi\cdot r^2\cdot h$ nicht von $n$ abhängt, berechnen wir den folgenden Grenzwert:

  $\begin{array}{rclll} \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6n^3}&=&\frac{1\cdot \left(1+\frac1n\right)\cdot \left(2+\frac1n\right)}{6}&&|\text{Kürzen}\\ &=&\frac{1\cdot 1\cdot 2}6\\ &=&\frac13 \end{array}$

  Nun sind wir fast fertig. Diesen Grenzwert können wir noch einsetzen und erhalten für das Volumen eines Kegel $V_{Kegel}=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$.

• Berechne das Volumen des Kegels.

  Tipps

  Beachte: Der Radius wird quadriert in der Formel.

  Die Maßeinheit für das Volumen ist eine Längeneinheit hoch $3$.

  Lösung

  Beachte: Hier ist der Durchmesser des Kegels gegeben. Der Durchmesser ist der doppelte Radius. Es ist also $r=4,5~\text{cm}$. Nun kannst du das Volumen durch Einsetzen der bekannten Größen in die Formel $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$ berechnen:

  $\begin{array}{rcl} V&=&\frac13\cdot \pi\cdot (4,5~\text{cm})^2\cdot 12~\text{cm}\\ &=&81\cdot\pi~\text{cm}^3\\ &\approx& 254,5~\text{cm}^3 \end{array}$

• Leite her, wie sich das Volumen eines Kegels ändert, wenn der Radius der Grundfläche oder die Höhe verändert wird.

  Tipps

  Ersetze jeweils in der Volumenformel $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$ den Radius beziehungsweise die Höhe durch das Vielfache.

  Beachte, dass der Radius quadriert wird. Die Höhe wird nicht potenziert.

  Schau dir ein Beispiel an: Der Radius wird vervierfacht.

  $V=\frac13\cdot \pi\cdot (4r)^2\cdot h$

  Achte darauf, dass beim Potenzieren eines Produktes alle Faktoren potenziert werden.

  Zum Beispiel ist $(4r)^2=4^2\cdot r^2=16r^2$.

  Lösung

  Veränderung der Höhe

  Da die Höhe nicht potenziert wird, ändert sich das Volumen in gleichem Maße wie die Höhe.

  • Verdoppelte Höhe: $V=\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot 2\cdot h=2\cdot \frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$. Dies ist eine Verdoppelung des Volumens.
  • Verdreifachung der Höhe führt demzufolge zu einem dreifachen Volumen.

  Veränderung des Radius'

  Da der Radius in der Formel quadriert wird, wird auch eine Veränderung des Radius quadriert:

  • Verdoppelter Radius: $V=\frac13\cdot \pi\cdot (2r)^2\cdot h=\frac13\cdot \pi\cdot 4\cdot r^2\cdot h=4\cdot \frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$. Du siehst, das Volumen wird vervierfacht.
  • Verdreifachter Radius: Ebenso erhältst du hier $V=9\cdot \frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$, also eine Verneunfachung des Volumens.

• Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders an.

  Tipps

  Beachte: Wenn du mit Längeneinheiten rechnest, musst du als Ergebnis diese Längeneinheit hoch $3$ erhalten.

  Das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge $a$ beträgt $V=a^3$.

  Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis. Der Flächeninhalt eines Kreises ist gegeben durch $A=\pi\cdot r^2$.

  Lösung

  Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis mit dem Radius $r$. Dieser hat den Flächeninhalt $A=\pi\cdot r^2$.

  Multipliziere diese Fläche mit der Höhe $h$ des Zylinders, so erhältst du die Volumenformel für einen Zylinder: $V=\pi\cdot r^2\cdot h$.

• Ermittle die fehlenden Größen.

  Tipps

  Verwende die Volumenformel $V=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$.

  Diese musst du gegebenenfalls umstellen.

  Da das jeweilige Volumen immer als Vielfaches von der Kreiszahl $\pi$ angegeben ist, kannst du die fehlenden Werte exakt, das heißt ohne Runden, berechnen.

  Alle Zahlen, welche du eintragen musst, sind natürliche Zahlen.

  Wenn du alle Ergebnisse addierst, kommst du auf $43$.

  Lösung

  Berechne das Volumen bei bekanntem Radius und bekannter Höhe

  Wenn du den Radius $r=2~\text{m}$ und die Höhe $h=12~\text{m}$ eines Kegels kennst, kannst du das Volumen durch Einsetzen dieser Größen in die hier zu sehende Formel berechnen:

  $\begin{array}{rcl} V&=&\frac13\cdot \pi\cdot (2~\text{m})^2\cdot 12~\text{m}\\ &=&16\cdot\pi~\text{m}^3\\ &\approx& 50,3~\text{m}^3 \end{array}$

  In den folgenden beiden Fällen musst du die Formel umstellen.

  Berechne die Höhe bei bekanntem Radius und bekanntem Volumen

  Setze $r=4~\text{m}$ und $V=80\cdot \pi~\text{m}^3$ in die Formel ein. Forme nun nach $h$ um:

  $\begin{array}{rclll} 80\cdot \pi~\text{m}^3&=&\frac13\cdot \pi\cdot (4~\text{m})^2\cdot h&|&\cdot \frac{3}{\pi}\\ 240~\text{m}^3&=&16~\text{m}^2\cdot h&|&:16~\text{m}^2\\ 15~\text{m}&=&h \end{array}$

  Berechne den Radius bei bekannter Höhe und bekanntem Volumen

  Setze $h=24~\text{m}$ und $V=1152\cdot \pi~\text{m}^3$ in die Formel ein. Forme dann nach $r$ um:

  $\begin{array}{rclll} 1152\cdot \pi~\text{m}^3&=&\frac13\cdot \pi\cdot r^2\cdot 24~\text{m}&|&\cdot \frac{3}{\pi}\\ 3456~\text{m}^3&=&r^2\cdot 24~\text{m}&|&:24~\text{m}\\ 144~\text{m}^2&=&r^2&|&\sqrt{~~~}\\ 12~\text{m}&=&r \end{array}$