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Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3)

Willkommen zu meinem dritten Teil in der vierteiligen Videoreihe, in der die Anwendung der Strahlensätze geübt wird. Ich greife hierfür wieder auf meine Strahlensatzfigur zurück, an der wir schon die letzten beiden Filme gearbeitet haben. Ich möchte dir zeigen, welche Streckenverhältnisse gelten. Hierfür beginne ich mit dem Dreiecksabschnitt, der Strecke EB. An diesem Beispiel möchte ich dir eine Methode vorstellen, wie du schnell auf neue Gleichungen kommst. (Teil 3 von 4)

Transkript Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3)

Hallo! Es geht weiter um diese Figur hier und die Frage welche Streckenverhältnisse gelten hier und dazu möchte ich mal Folgendes zeigen: Ich möchte jetzt anfangen, nicht mit AE, wie ich das gerade gemacht habe in den anderen beiden Filmen, sondern mit ED, nämlich mit einem Dreiecksabschnitt. Und den möchte ich teilen durch die große Seite. Also Dreiecksabschnitt geteilt durch große Seite, durch große blaue Seite hier in dem Fall. Das ist ja die Referenzfigur hier, die kannst du schön auseinandernehmen, die nicht. Also ED, blauer Abschnitt, geteilt durch große blaue Seite. Große blaue Seite ist hier AD, da ist sie. ED / AD ist so groß wie, na ja da muss ich hier auch den gelben Abschnitt nehmen, gelber Dreiecksabschnitt geteilt durch große gelbe Seite. Ich kann die roten nicht benutzen, weil die roten hier nur als ganze Dreiecksseiten auftreten und nicht als Abschnitte. Also gelber Dreiecksabschnitt das ist BC und BC kann ich jetzt teilen durch die große gelbe Seite, in dem Fall also AC. So und jetzt gibt es einen Trick, wie du von dem Längenverhältnis zu einem weiteren Längenverhältnis kommen kannst, und zwar durch reine Rechnung. Nämlich, du kannst auch die beiden Brüche (das ist hier so ein Abteilungsstrich, damit du weißt, dass jetzt etwas Anderes kommt) einfach umdrehen und dann gilt diese Gleichung immer noch. Zum Beispiel kannst du eben auch schreiben: AD / ED und das ist das Gleiche wie AC / BC. Das sind die Streckenverhältnisse, die gleich sind. Das geht übrigens bei allen Streckenverhältnissen, die du jemals aufschreibst. Du kannst sie einfach umdrehen, beide Brüche umdrehen. Es bleibt weiterhin richtig. Dann hast du quasi pro Streckengleichung gleich 2 Streckengleichungen. Ich möchte es hier eben noch mal dran zeigen, was hier steht. AD, AD ist in dem Fall die große blaue Seite, da ist die große blaue Seite, geteilt durch ED. Das ist diese Strecke, also hier entsprechend der blaue Abschnitt. Große blaue Seite durch blauer Abschnitt ist wie große gelbe Seite durch gelber Dreiecksabschnitt. AC ist die große Seite hier geteilt durch BC. BC ist der Abschnitt hier und damit ist das richtig. Also Umdrehen führt zu neuen Gleichungen, die auch richtig sind. Es gibt noch eine Methode zur neuen Gleichung zu kommen. Das zeige ich im nächsten Film. Bis dahin! Tschüss!

Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensatzfigur – Gleichungen erkennen (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie das Verhältnis der Seitenlängen bestimmt werden kann.

    Tipps

    Das Verhältnis eines Dreiecksabschnittes zu der langen (oder kurzen) Seite des Dreiecks ist gleich dem des anderen Dreiecksabschnittes zu der langen (oder kurzen) Seite des entsprechenden Dreiecks.

    Die beiden Dreiecke $\Delta ABE$ sowie $\Delta ACD$ sind ähnlich zueinander.

    Lösung

    Man kann den Dreiecksabschnitt $\overline{ED}$ durch die entsprechende große Seite $\overline{AD}$ teilen. Dies kann man ebenso mit dem anderen Dreiecksabschnitt und der dazugehörenden langen Seite machen und erhält damit:

    $\frac{\overline{ED}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$.

  • Bestimme eine weitere korrekte Verhältnisgleichung am Beispiel der gegebenen Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Es gilt ganz allgemein, dass bei Gleichheit zweier Brüche auch die jeweiligen Kehrwerte identisch sind.

    Zum Beispiel ist $\frac64}=\frac32$

    und ebenso

    $\frac46=\frac23$.

    Bei der Bestimmung der Streckenverhältnisse ist die Reihenfolge, in welcher die Strecke aufgeschrieben wird, nicht von Bedeutung.

    Zum Beispiel:

    $\overline{AB} = \overline {BA}$

    Du kannst bei der Gleichung $\frac ab=\frac cd$ auch wie folgt umformen:

    $\begin{align*} \frac ab&=\frac cd&|&\cdot d\\ \frac ab\cdot d&=c&|&\cdot b\\ a\cdot d&=c \cdot b&|&:a\\ d&=\frac{c \cdot b}a&|&:c\\ \frac dc&=\frac{b}a. \end{align*}$

    Lösung

    Es gilt ganz allgemein, dass bei zwei identischen Brüchen auch die Kehrwerte dieser Brüche identisch sind.

    Wie bildet man den Kehrwert eines Bruches? Man vertauscht Zähler und Nenner des Bruches miteinander. Wichtig dabei ist, dass man dies auf beiden Seiten der Gleichung macht.

    Somit ist mit

    $\frac{\overline{ED}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$

    auch die Gleichung

    $\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$

    gültig.

  • Entscheide, welche der Verhältnisgleichungen korrekt sind.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse auch an diesen beiden ähnlichen Dreiecken klarmachen. Die Bezeichnung der Ecken ist angepasst an die Strahlensatzfigur oben.

    Es gilt, dass

    • entweder die Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck
    • oder die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreieck
    übereinstimmen.

    Zusätzlich ist das Verhältnis eines Dreiecksabschnittes zur zugehörigen größeren (oder kürzeren) Seite ebenso groß wie das des anderen Dreiecksabschnittes zu der entsprechend zugehörigen größeren (oder kürzeren) Seite.

    Wenn zwei Brüche identisch sind, so gilt dies auch für die Kehrwerte.

    Lösung

    Hier sind die ähnlichen Dreiecke zu erkennen, welche durch die oben zu sehende Strahlensatzfigur entstehen. Die Bezeichnungen der Eckpunkte stimmen überein:

    Entweder gilt, dass das Verhältnis gleichfarbiger Seiten der beiden Dreiecke zueinander übereinstimmen oder das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks mit dem der entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks.

    Somit gilt bei entsprechenden Farben, dass das Verhältnis der jeweils längeren zu der kürzeren blauen, roten oder gelben ist jeweils gleich:

    $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{BE}}$.

    Wenn man Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks jeweils mit dem Seitenverhältnis der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck vergleicht:

    • blau zu rot: $\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{CD}}$.
    • blau zu gelb: $\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$.
    • rot zu gelb: $\frac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$.
    Zusätzlich kann man noch für die Dreiecksabschnitte die folgenden Gleichungen aufstellen:
    • $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{ED}}$ sowie
    • $\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}$.
    Mit jedem dieser Verhältnisgleichungen gilt auch Gleichheit bei den jeweiligen Kehrwerten.

  • Leite Seitenverhältnisse aus der gegebenen Strahlensatzfigur her.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse in den farbigen ähnlichen Dreiecken klarmachen.

    Die Seitenverhältnisse bleiben auch identisch, wenn die Kehrwerte betrachtet werden.

    Die Dreiecksabschnitte sind $c-a$ sowie $d-b$.

    Lösung

    Man kann sich die jeweiligen Seitenverhältnisse in den farbigen Dreiecken anschauen und kann jeweils aufgrund der Eigenschaften ähnlicher Dreiecke die fehlenden Seiten herleiten.

    Entweder man bestimmt die Seitenverhältnisse einander entsprechender Seiten der beiden Dreiecke oder bildet das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck; dieses ist identisch mit dem der entsprechenden Seiten in dem anderen Dreieck:

    • Die Verhältnisse der langen gelben zu der kurzen sowie der langen blauen zu der kurzen sowie der langen roten zu der kurzen sind identisch:
    $~~~~~~~~~~~~~\frac fe=\frac db=\frac ca$.
    • Das Verhältnis der roten zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen: $\frac ba=\frac dc$.
    • Das Verhältnis der roten zu der gelben Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen: $\frac be=\frac df$.
    • Das Verhältnis der gelben zu der blauen Seite in dem kleinen Dreieck ist identisch zu dem in dem großen: $\frac ea=\frac fc$.
    Zusätzlich gilt hier für die Dreiecksabschnitte:
    • $\frac{c-a}{a}=\frac{d-b}{b}$ sowie
    • $\frac{c-a}{c}=\frac{d-b}{d}$.
    Jede dieser Gleichungen gilt auch für den Kehrwert.

  • Ergänze die Erklärung zu der Strahlensatzfigur.

    Tipps

    Beachte:

    Wenn gilt

    $\frac gh=\frac lk$, dann gilt auch:

    $\frac hg=\frac kl$.

    Du kannst dir merken, dass du mit jeder Gleichung aus den Strahlensätzen automatisch eine weitere Gleichung gefunden hast.

    Du kannst diese so aufstellen, dass bei gesuchten Größen die Gleichung möglichst einfach zu lösen ist.

    Ein Strahlensatz ist eine Gleichung von Seitenverhältnissen, da auf beiden Seiten der Gleichung Seitenverhältnisse stehen.

    Für die einzelnen Verhältnisse werden Seitenabschnitte oder ganze Seiten ins Verhältnis gesetzt.

    Lösung

    Wenn man Streckenverhältnisse aufgestellt hat, kann man bei diesen auch jeweils den Kehrwert betrachten. Auch bei den Kehrwerten gilt, dass diese identisch sind.

    Zum Beispiel ist das Verhältnis des Dreiecksabschnitts $\overline{ED}$ zur gesamten Seite $\overline{AD}$ ebenso groß wie das Verhältnis des Dreiecksabschnitts $\overline{BC}$ zur gesamten Seite $\overline{AC}$:

    $\frac{\overline{ED}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$

    und damit gilt auch die Gleichheit für die Kehrwerte:

    $\frac{\overline{AD}}{\overline{ED}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$.

  • Berechne die beiden fehlenden Strecken.

    Tipps

    Du kannst $y$ entweder berechnen, indem du die Länge der langen grünen Seite berechnest und davon $25$ subtrahierst.

    Du kannst auch den entsprechenden Dreiecksabschnitt der roten Seite berechnen und die Verhältnisse der Dreiecksabschnitte betrachten.

    Es gilt

    $\frac{22}{10}=\frac{33}x$.

    Du kannst diese Gleichung nach $x$ umstellen.

    Alle Lösungen sind ganzzahlig.

    Lösung

    Zur Berechnung von $x$ kann man das folgende Verhältnis verwenden: Die längere blaue Seite verhält sich zu der kürzeren blauen wie die längere rote zu der kürzeren roten:

    $\frac{22}{10}=\frac{33}x$.

    Nun wird mit $x$ multipliziert und durch $2,2$ dividiert und man erhält

    $x=\frac{33}{2,2}=15$.

    Damit ist der Dreiecksabschnitt der roten Seite gegeben durch $33-15=18$.

    Nun kann das Verhältnis der jeweiligen Dreiecksabschnitte zu den zugehörigen kürzeren Dreiecksseiten verwendet werden

    $\frac y{25}=\frac{18}{15}$.

    Durch Multiplikation mit $25$ erhält man

    $y=\frac{18}{15}\cdot 25=30$.

    Diese Länge hätte man auch erhalten, wenn man zuerst die lange grüne Seite berechnet hätte, diese ist $55$ lang und davon $25$ subtrahiert hätte.

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