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Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2)

Willkommen zum zweiten Teil unseres Übungsvideos zum Thema Trapeze und Strahlensätzen. Wir haben ein Trapez als Strahlensatzfigur gegeben. Einige Längen der Strecken sind bekannt. Gesucht ist die Länge der Strecke x. Um diese zu ermitteln, musst du Bezüge zwischen den Längen der verschiedenen Strecken mit Hilfe der Strahlensätze herstellen. Ich werde dir im Video ausführlich vormachen, wie du hierzu vorgehen musst. Viel Spaß nun aber mit dem Video! (Teil 2 von 2)

Transkript Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2)

Hallo hier ist also der zweite Teil dieser Strahlensatzaufgabe, das ist die Figur, die gegeben ist, gesucht ist das X. Ich habe schon gesagt Du kannst in den oberen Dreiecken den zweiten Strahlensatz erkennen oder Du kannst auch hier das mit ähnlichen Dreiecken machen und feststellen, dass diese ähnlichen Dreiecke hier auf diese obere Figur passen, also ab hier. Nun wir müssen uns noch überlegen, wie groß diese kleine Seite ist, um die Aufgabe lösen zu können, die ist 0,2 m groß. Ich habe gesagt, das ist hier 2 m, das ist 2,20m, dann ist das die Differenz aus beiden, dann mach ich jetzt keine eigene Rechnung zu, das kannst Du ruhig so sehen. Und ich möchte eine weitere Variable einführen, denn wir können ja hier diese Strecke direkt ausrechnen mit dem Strahlensatz, aber wir wollen eigentlich die Strecke X haben, da würde ich mich dann hinterher drum kümmern, wenn ich Y schon habe. Das darfst Du ruhig machen, Du darfst einfach Variablen einführen, ist überhaupt kein Problem. Ich möchte also hier den zweiten Strahlensatz wieder erkennen, bzw. so wie ich das hier mit den Dreiecken mache, große rote Seite geteilt durch kleine rote Seite. Die große rote Seite ist in dem Fall das Y, die kleine rote Seite ist hier 0,2 und das ist gleich große blaue Seite geteilt durch kleine blaue Seite. In dem Fall die große blaue Seite geht von hier bis da, das darf man auch im Kopf rechnen das ist 5+1=6. Die kleine blaue Seite in dem Fall ist diese Strecke hier, die ist 1 m. Ja dann muss ich das nur noch umformen. Also die gesamte Gleichung mit 0,2 multiplizieren. Das ist dann hier auf der Seite Y=6/10,2 wie rechnet man das, man macht es natürlich als Bruch. Du weißt ja direkt, dass 0,2=1/5 ist, und zwar musst Du dann 6, also 6=6/1, 61/5 rechnen, das sind also 6/5. 6/5 ist, na ja einmal geht die 5 in die 6 rein, bleibt Rest 1. Wir holen eine 0 runter beim schriftlichen Dividieren. Wir rechnen 10/5 und das geht 2 mal. Damit ist Y also gleich 1,2. Und jetzt wollen wir ja wissen, wie groß x ist und dazu muss ich mir nur noch überlegen, dass ja das x sich zusammensetzt aus dem y und dieser Differenz hier, also der Strecke von da bis da, die ist 2 m, das darf ich hier ja direkt sehen, die beiden sind ja parallel. Und die beiden Strecken sind auch parallel, deshalb sind die beiden gleich groß. Also wir haben y+2=x. Dann folgt also daraus, wenn ich jetzt einsetzte, für y: 1,2+2=3,2 das kann ich auch im Kopf und das ist =x. Ja, ich hab gerade festgestellt, von den Größenverhältnissen, so wie ich sie hier gezeichnet habe, kommt das nicht ganz hin, ich meine, wenn das jetzt 1,20m ist, dann können das hier keine 2m sein, das wäre dann etwas größer. Aber so ganz 100 prozentig genau muss das auch nicht sein. Wichtig ist, dass Du diese Struktur erkennst, dass Du die dann auch in anderen Anwendungsaufgaben immer wieder erkennst und die Rechnung, na ja die ist einfach, die sollte Dich nicht weiter in Schwierigkeiten bringen. Vielleicht noch zu der Variable, Du darfst in jeder Aufgabe immer irgendwelche Variablen einführen, wenn Dir das hilft, Du darfst andere Variablen benutzen, das ist überhaupt kein Problem, viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Schoki 1: Du musst beachten, dass 0,2=2/10 also gekürzt 1/5 ist. Wenn du also auf beiden Seiten mit 0,2 bzw. 1/5 multiplizierst, dann rechnest du auf der rechten Seite 6/1*1/5=6/5, denn bei der Multiplikation zweier Brüche rechnest du Zähler*Zähler und Nenner*Nenner. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  2. Irgendwie war es mir bei der Berechnung zu kompliziert und ich konnte nach dem "mal 0,2" nicht mehr folgen

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  3. Hat mir nicht geholfen.

    Von Laubrax, vor fast 5 Jahren
  4. Danke für das tolle Video, hat mir Super geholfen! :-)

    Von Armin Bartsch, vor fast 8 Jahren

Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Verhältnisgleichung zur Berechnung von $y$ an.

    Tipps

    Führe eine weitere Variable $y$ ein und betrachte das obere Dreieck.

    Hier siehst du das Dreieck, welches du zur Anwendung des Strahlensatzes verwenden kannst.

    Lösung

    In dem oberen Dreieck sind die Seitenlängen

    • $5+1=6$ für die rote Seite des großes Dreiecks und
    • $1$ für die rote Seite des kleinen Dreiecks sowie
    • $0,2$ für die gelbe Seite des kleinen Dreiecks
    bekannt. Gesucht ist die gelbe Seite $y$ des großen Dreiecks.

    Mithilfe der Strahlensätze kann die folgende Gleichung aufgestellt werden:

    $\large\frac{\text{gelbe Seite des großen Dreiecks}}{\text{gelbe Seite des kleinen Dreiecks}} = \frac{\text{rote Seite des großen Dreiecks}}{\text{rote Seite des kleinen Dreiecks}}$

    Setzt man die Werte in diese Gleichung ein, erhält man:

    $\large\frac y{0,2}=\frac 61$.

  • Berechne die Länge der Seite $x$.

    Tipps

    Wende die Strahlensätze auf das obere Dreieck an.

    Die Strahlensätze besagen, dass die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

    Beachte, dass der untere Teil von $x$ parallel zu einer bekannten Seite liegt.

    Lösung

    In dem oberen Dreieck gilt

    $\frac y{0,2}=\frac 61$.

    Um $y$ zu berechnen, muss mit $0,2$ multipliziert werden, also ist

    $y=\frac65=1,2$.

    $x$ setzt sich zusammen aus $y$ und $2$. Die $2$ kann man auf Grund der Parallelität erkennen:

    $x=y+2=1,2+2=3,2$.

  • Leite aus der Abbildung verschiedene Verhältnisgleichungen mit den Strahlensätzen her.

    Tipps

    Du kannst dir die Seitenverhältnisse anstatt mit den Buchstaben auch mit den entsprechenden Farben klarmachen.

    Beachte:

    Wenn $\large\frac gh=\frac lk$ gilt, dann gilt dies auch für den Kehrwert

    $\large\frac hg=\frac kl$.

    Lösung

    Man kann jeweils eine Seite

    • entweder durch eine andere aus dem gleichen Dreieck
    • oder durch die entsprechende aus dem anderen Dreieck
    teilen und dann prüfen, welches Seitenverhältnis mit diesem übereinstimmt. Dies kann man sich recht gut mit den ähnlichen Dreiecken und den farblich übereinstimmenden Seiten klarmachen.

    Relationen im gleichen Dreieck:

    • $\frac qr=\frac pn$: Klein grün verhält sich zu klein blau wie groß grün zu groß blau.
    • $\frac qk=\frac pl$: Klein grün verhält sich zu klein rot wie groß grün zu groß rot.
    • $\frac kr=\frac ln$: Klein rot verhält sich zu klein blau wie groß rot zu groß blau.
    Relationen zwischen einander entsprechenden Seiten in beiden Dreiecken:

    $\frac nr=\frac lk =\frac pq$. Die lange Blaue verhält sich zu kurzen Blauen wie die lange Rote zu der kurzen Roten wie die lange Grüne zu der kurzen Grünen.

    Alle Relationen gelten auch, wenn jeweils die Kehrwerte der Brüche betrachtet werden.

  • Berechne die beiden fehlenden Größen.

    Tipps

    Wenn eine Zahl außen steht, bezieht sie sich auf die gesamte Seite, innen nur auf den entsprechenden Abschnitt.

    Die Hilfsvariable $z$ wird von $35$ subtrahiert, um $y$ zu erhalten.

    Lösung

    Man kann mit der Seite $x$ beginnen.

    Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren Blauen gleich ist dem Verhältnis der längeren Roten zu der kürzeren Roten. Dies führt zu der Gleichung

    $\frac{21}{12}=\frac x{16}$.

    Durch Multiplikation mit $16$ erhält man $x=28$.

    Zur Berechnung von $y$ muss man noch eine Hilfsvariable $z$ für die kürzere grüne Seite einführen. $y$ ergibt sich dann als Differenz aus $35$ und diesem $z$. Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite gleich ist dem Verhältnis der längeren zur kürzeren grünen Seite. Dies führt zu der Gleichung:

    $\frac{21}{12}=\frac{35}z$.

    Wenn man auf beiden Seiten durch $\frac{21}{12}$ teilt und mit $z$ multipliziert, erhält man

    $z=35\cdot \frac{12}{21}=20$.

    Nun muss dieser Wert noch von $35$ subtrahiert werden und man erhält:

    $y=35-20=15$.

  • Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung der Seite $x$.

    Tipps

    Mithilfe dieser Strahlensatzfigur kann die fehlende Seite $y$ berechnet werden.

    Schaue dir das obere Bild genau an: Wie hängen $x$ und $y$ zusammen?

    Du musst in dieser Aufgabe keine Rechnungen durchführen, sondern nur erklären, welche Schritte durchgeführt werden müssen.

    Lösung

    Bei der hier zu sehenden Figur kann in dem oberen Dreieck der Strahlensatz angewendet werden.

    Zuerst muss man sich überlegen, wie groß die kleine senkrechte Seite ist: $2,2-2=0,2$.

    Es muss noch eine weitere Variable $y$ eingeführt werden für die längere senkrechte Seite.

    Es gilt $\frac y{0,2}=\frac 61$.

    Wenn man $y$ berechnet hat, erhält man $x$ durch:

    $x = y +2$, da sich die Strecke $x$ aus der Länge von $y$ und der Länge $2$ zusammensetzt.

  • Arbeite heraus, wie du die fehlende Größe $x$ berechnen kannst.

    Tipps

    Wie lang ist die längere rote Seite?

    In dieser Länge steckt auch die Unbekannte $x$.

    Verwende den folgenden Strahlensatz:

    Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite dem der längeren zu der kürzeren roten entspricht.

    Du erhältst eine Gleichung, in welcher das $x$ sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

    Die Lösung ist ganzzahlig. Du kannst diese mithilfe des verwendeten Strahlensatzes überprüfen.

    Lösung

    Die Schwierigkeit in dieser Aufgabe besteht darin, dass die unbekannte Größe zweimal vorkommt. Nichtsdestotrotz kann man auch hier einen Strahlensatz anwenden: Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite dem der längeren zu der kürzeren roten entspricht. Dies führt zu der folgenden Gleichung

    $\frac{25}{10}=\frac{x+30}{x}$.

    Diese Gleichung kann wie folgt gelöst werden:

    $\begin{align*} \frac{25}{10}&=\frac{x+30}{x}\\ 2,5&=\frac{x+30}{x}&|&\cdot x\\ 2,5x&=x+30&|&-x\\ 1,5x&=30&|&:1,5\\ x&=20. \end{align*}$

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