Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2)

Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (2) Übung

• Gib die Verhältnisgleichung zur Berechnung von $y$ an.

  Tipps

  Führe eine weitere Variable $y$ ein und betrachte das obere Dreieck.

  Hier siehst du das Dreieck, welches du zur Anwendung des Strahlensatzes verwenden kannst.

  Lösung

  In dem oberen Dreieck sind die Seitenlängen

  • $5+1=6$ für die rote Seite des großes Dreiecks und
  • $1$ für die rote Seite des kleinen Dreiecks sowie
  • $0,2$ für die gelbe Seite des kleinen Dreiecks

  bekannt. Gesucht ist die gelbe Seite $y$ des großen Dreiecks.

  Mithilfe der Strahlensätze kann die folgende Gleichung aufgestellt werden:

  $\large\frac{\text{gelbe Seite des großen Dreiecks}}{\text{gelbe Seite des kleinen Dreiecks}} = \frac{\text{rote Seite des großen Dreiecks}}{\text{rote Seite des kleinen Dreiecks}}$

  Setzt man die Werte in diese Gleichung ein, erhält man:

  $\large\frac y{0,2}=\frac 61$.

• Berechne die Länge der Seite $x$.

  Tipps

  Wende die Strahlensätze auf das obere Dreieck an.

  Die Strahlensätze besagen, dass die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten übereinstimmen.

  Beachte, dass der untere Teil von $x$ parallel zu einer bekannten Seite liegt.

  Lösung

  In dem oberen Dreieck gilt

  $\frac y{0,2}=\frac 61$.

  Um $y$ zu berechnen, muss mit $0,2$ multipliziert werden, also ist

  $y=\frac65=1,2$.

  $x$ setzt sich zusammen aus $y$ und $2$. Die $2$ kann man auf Grund der Parallelität erkennen:

  $x=y+2=1,2+2=3,2$.

• Leite aus der Abbildung verschiedene Verhältnisgleichungen mit den Strahlensätzen her.

  Tipps

  Du kannst dir die Seitenverhältnisse anstatt mit den Buchstaben auch mit den entsprechenden Farben klarmachen.

  Beachte:

  Wenn $\large\frac gh=\frac lk$ gilt, dann gilt dies auch für den Kehrwert

  $\large\frac hg=\frac kl$.

  Lösung

  Man kann jeweils eine Seite

  • entweder durch eine andere aus dem gleichen Dreieck
  • oder durch die entsprechende aus dem anderen Dreieck

  teilen und dann prüfen, welches Seitenverhältnis mit diesem übereinstimmt. Dies kann man sich recht gut mit den ähnlichen Dreiecken und den farblich übereinstimmenden Seiten klarmachen.

  Relationen im gleichen Dreieck:

  • $\frac qr=\frac pn$: Klein grün verhält sich zu klein blau wie groß grün zu groß blau.
  • $\frac qk=\frac pl$: Klein grün verhält sich zu klein rot wie groß grün zu groß rot.
  • $\frac kr=\frac ln$: Klein rot verhält sich zu klein blau wie groß rot zu groß blau.

  Relationen zwischen einander entsprechenden Seiten in beiden Dreiecken:

  $\frac nr=\frac lk =\frac pq$. Die lange Blaue verhält sich zu kurzen Blauen wie die lange Rote zu der kurzen Roten wie die lange Grüne zu der kurzen Grünen.

  Alle Relationen gelten auch, wenn jeweils die Kehrwerte der Brüche betrachtet werden.

• Berechne die beiden fehlenden Größen.

  Tipps

  Wenn eine Zahl außen steht, bezieht sie sich auf die gesamte Seite, innen nur auf den entsprechenden Abschnitt.

  Die Hilfsvariable $z$ wird von $35$ subtrahiert, um $y$ zu erhalten.

  Lösung

  Man kann mit der Seite $x$ beginnen.

  Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren Blauen gleich ist dem Verhältnis der längeren Roten zu der kürzeren Roten. Dies führt zu der Gleichung

  $\frac{21}{12}=\frac x{16}$.

  Durch Multiplikation mit $16$ erhält man $x=28$.

  Zur Berechnung von $y$ muss man noch eine Hilfsvariable $z$ für die kürzere grüne Seite einführen. $y$ ergibt sich dann als Differenz aus $35$ und diesem $z$. Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite gleich ist dem Verhältnis der längeren zur kürzeren grünen Seite. Dies führt zu der Gleichung:

  $\frac{21}{12}=\frac{35}z$.

  Wenn man auf beiden Seiten durch $\frac{21}{12}$ teilt und mit $z$ multipliziert, erhält man

  $z=35\cdot \frac{12}{21}=20$.

  Nun muss dieser Wert noch von $35$ subtrahiert werden und man erhält:

  $y=35-20=15$.

• Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung der Seite $x$.

  Tipps

  Mithilfe dieser Strahlensatzfigur kann die fehlende Seite $y$ berechnet werden.

  Schaue dir das obere Bild genau an: Wie hängen $x$ und $y$ zusammen?

  Du musst in dieser Aufgabe keine Rechnungen durchführen, sondern nur erklären, welche Schritte durchgeführt werden müssen.

  Lösung

  Bei der hier zu sehenden Figur kann in dem oberen Dreieck der Strahlensatz angewendet werden.

  Zuerst muss man sich überlegen, wie groß die kleine senkrechte Seite ist: $2,2-2=0,2$.

  Es muss noch eine weitere Variable $y$ eingeführt werden für die längere senkrechte Seite.

  Es gilt $\frac y{0,2}=\frac 61$.

  Wenn man $y$ berechnet hat, erhält man $x$ durch:

  $x = y +2$, da sich die Strecke $x$ aus der Länge von $y$ und der Länge $2$ zusammensetzt.

• Arbeite heraus, wie du die fehlende Größe $x$ berechnen kannst.

  Tipps

  Wie lang ist die längere rote Seite?

  In dieser Länge steckt auch die Unbekannte $x$.

  Verwende den folgenden Strahlensatz:

  Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite dem der längeren zu der kürzeren roten entspricht.

  Du erhältst eine Gleichung, in welcher das $x$ sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

  Die Lösung ist ganzzahlig. Du kannst diese mithilfe des verwendeten Strahlensatzes überprüfen.

  Lösung

  Die Schwierigkeit in dieser Aufgabe besteht darin, dass die unbekannte Größe zweimal vorkommt. Nichtsdestotrotz kann man auch hier einen Strahlensatz anwenden: Es gilt, dass das Verhältnis der längeren zu der kürzeren blauen Seite dem der längeren zu der kürzeren roten entspricht. Dies führt zu der folgenden Gleichung

  $\frac{25}{10}=\frac{x+30}{x}$.

  Diese Gleichung kann wie folgt gelöst werden:

  $\begin{align*} \frac{25}{10}&=\frac{x+30}{x}\\ 2,5&=\frac{x+30}{x}&|&\cdot x\\ 2,5x&=x+30&|&-x\\ 1,5x&=30&|&:1,5\\ x&=20. \end{align*}$