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Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1)

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Martin Wabnik
Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1)

Willkommen zu einem Übungsvideo zum Thema Strahlensätzen. Im Zusammenhang mit den Strahlensätzen kommt immer wieder eine bestimmte Figur vor - es ist ein Trapez mit einem Strich in der Mitte. Was ist denn aber ein Trapez? Zur Wiederholung: Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Der Strich durch das Trapez verläuft schließlich parallel zu den beiden parallelen Seiten des Trapezes. In der Zeichnung im Video wirst du schnell erkennen, dass es sich hierbei um eine Strahlensatzfigur handelt. (Teil 1 von 2)

Transkript Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1)

Hallo! Im Zusammenhang mit  den Strahlensätzen kommt immer wieder eine bestimmte Figur vor - es ist ein Trapez mit einem Strich in der Mitte. Nicht ganz in der Mitte, aber mit einem Zusatzstrich. Mal zur Wiederholung: Was ist ein Trapez? Ein Trapez ist ein Viereck mit 2 parallelen Seiten. Übrigens: Wenn Vierecke mehr parallele Seiten haben, sind es auch ein Trapeze. Zum Beispiel ist jedes Rechteck auch ein Trapez, jedes Rechteck hat sogar zwei Paare paralleler Seiten, aber damit sind auch 2 der Seiten parallel und deshalb ist es ein Trapez. Ich möchte mal hier das Trapez aufzeichnen, dafür brauch ich ein Lineal. Das ist die eine Seite des Trapezes, das ist die andere Seite, die parallel dazu ist. Und, dann muss ich die beiden nur noch hier verbinden. Hier unten, da wo jetzt der Stift ist und da wo jetzt der Stift ist, da sind die Winkel oft rechte Winkel, das muss aber nicht unbedingt so sein, es reicht, dass hier 2 Seiten parallel sind. In der Regel ist dann hier noch, hier zum Beispiel ist ein Strich, der parallel ist zu den beiden parallelen Seiten des Trapezes. So, eben Lineal säubern. Geht auch nur mit Boardmakern, sonst solltest du das nicht machen. Also: Hier siehst du nicht unbedingt 2 ähnliche Dreiecke, aber du kannst sie sehen, wenn du möchtest mit einer Hilfslinie. Denk bitte erst drüber nach, ich geb’ eben mal ein paar Angaben hierzu. Das können hier z.B. 1 Meter sein, das könnten hier 5 Meter sein. Also von hier bis hier ist 1 Meter, von da bis da sind es 5 Meter. Diese Strecke hier könnte 2 Meter sein z.B. und die hier 2 Meter und 20 cm. Und gesucht ist diese große Strecke hier, die soll jetzt mal x heißen. Und das ist hier die Figur wie sie dann komplett gegeben ist und hier sollst du eben mithilfe der Strahlensätze das x herausfinden oder diese gesuchte Strecke. Ja, ich hab’ schon von einer Hilfslinie gesprochen und die wird hier also eingefügt - es gibt mehrere Möglichkeiten diese Hilfslinie zu zeichnen, ich zeichne sie hier. Und zwar parallel zu dieser unteren Seite hier, also, ja.. die mach ich einfach ganz normal hier. Da ist die Hilfslinie. Und jetzt, fällt dir vielleicht auf, dass du eine Strahlensatzfigur wieder erkennst, und zwar hier in diesem oberen Teil. Ich leg mal die beiden Dreiecke so hin, dass du das gut erkennen kannst. Ja, die Ähnlichkeit, nicht im mathematischen Sinne gemeint ja hier diese beiden Dreiecke, dieses Dreieck und dieses Dreieck. Hier ist das kleine, hier ist das große Dreieck, und hier haben wir auch ein kleines und ein großes Dreieck, und wenn man die so hinlegt, dann kann man glaube ich die Strahlensatzfigur erkennen. Hier ist das kleine, hier ist das große Dreieck, und hier haben wir auch ein kleines und ein großes Dreieck, und wenn man die so hinlegt, dann kann man glaube ich die Strahlensatzfigur erkennen. Bis dahin viel Spaß. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. gutes video danke
    könnten sie vielleicht das nächste mal eine Aufgabe einbinden die man selber lösen kann

    Von Fiausch, vor mehr als 6 Jahren
  2. Nicht verstanden

    Von Deleted User 185772, vor fast 7 Jahren

Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze – Grundfigur für Anwendungen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu den Strahlensätzen.

    Tipps

    Hier werden der rote und der gelbe Strahl von zwei Parallelen (in blau) geschnitten.

    Das Verhältnis der langen blauen Seite zu der kurzen blauen ist das Gleiche wie das der langen gelben zu der kurzen gelben oder wie das der langen roten zu der kurzen roten.

    Ein Rechteck zeichnet sich dadurch aus, dass alle vier Winkel rechte Winkel sind.

    Lösung

    In verschiedenen Situationen ist ein Trapez gegeben. Das heißt, zwei Seiten sind parallel zueinander. Zusätzlich gibt es noch eine Strecke, welche innerhalb des Trapezes liegt und parallel zu den beiden parallelen Seiten ist.

    Wenn nun verschiedene Größen gegeben sind, wie in dem Bild zu erkennen, und eine weitere Größe berechnet werden muss, dann kann man

    • eine Hilfslinie (hier rot) einzeichnen und
    • dann den zweiten Strahlensatz anwenden.
    Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis einander entsprechender Seiten immer übereinstimmt.

    Wenn der obere Teil der unbekannten Strecke $x$ mit $y$ benannt wird, dann erhält man

    $\frac y{0,2}=\frac61$.

  • Gib an, mittels welcher Hilfslinie eine Strahlensatzsituation entsteht.

    Tipps

    Mehrere der zu sehenden Hilfslinien führen zu einer Strahlensatzsituation.

    Jedoch nicht jede dieser Hilfslinien ist dazu geeignet, die gesuchte Größe zu berechnen.

    Um die Größe $x$ zu berechnen, muss zunächst eine Teilstrecke dieser gesuchten Strecke berechnet werden.

    Die gesuchte Strecke ergibt sich dann als Summe aus der zuvor berechneten Größe und $2$.

    Lösung

    Bei vielen Aufgaben muss man eine Hilfslinie in einer Skizze einzeichnen, um so zu einer Strahlensatzsituation zu gelangen.

    Durch die hier zu sehende rote Hilfslinie erhält man die Situation, welche in den Strahlensätzen beschrieben wird:

    Zwei Strahlen, welche von einem Punkt ausgehen, werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Die beiden Strahlen sind die Verlängerungen der obere Seite des Trapezes und der roten Hilfslinie.

    Nun kann ein Strahlensatz angewendet werden.

  • Entscheide, welche der Aufgaben mit einem Strahlensatz gelöst werden kann.

    Tipps

    Beachte: Mit dem Strahlensatz werden Längen von Seiten berechnet.

    Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Eine Strahlensatzsituation liegt vor, wenn zwei Strahlen durch parallele Geraden geschnitten werden.

    Hier siehst du eine Strahlensatzsituation.

    Lösung

    Strahlensätze werden angewendet, wenn Seitenlängen berechnet werden sollen. Mittels dieser Seitenlängen können sicher weitere Aufgabenstellungen bearbeitet werden, aber zunächst geht es um Seitenlängen.

    Hier ist eine Strahlensatzsituation zu sehen:

    Zwei Strahlen (hier blau und rot) werden von zwei Parallelen (hier gelb) geschnitten.

    Es können dann Gleichungen mit den Verhältnissen einander entsprechender Seiten aufgestellt werden.

    Wenn also Winkel berechnet werden müssen, geht dies nicht direkt mit einem Strahlensatz.

    Auch ist nicht jedes Berechnen fehlender Seitenlängen automatisch eine Strahlensatzsituation. In dem orangefarbenen Bild wird der Satz des Pythagoras angewendet.

    Die Flächenberechnung in dem blauen Bild – dies ist ein rechtwinkliges Dreieck – kann wie folgt durchgeführt werden: Das Produkt der beiden Katheten wird halbiert. Auch hier ist kein Strahlensatz nötig.

  • Ermittle die Länge der verschiedenen Strecken.

    Tipps

    Beachte, dass du nur die entsprechenden Abschnittslängen eintragen sollst. Die entsprechenden Längen erhältst durch Subtraktion bekannter Längen.

    Zur Kontrolle kannst du immer die Abschnittslänge zu der übrigen Länge addieren.

    Wenn du die drei Werte ganz rechts addierst, erhältst du $250$.

    Beachte die jeweils parallelen Geraden.

    Zum Beispiel ist die eine grüne Hilfslinie gestrichelt verlängert.

    Lösung

    Um die oben beschriebene Aufgabe zu lösen, müssen zunächst zwei Hilfslinien eingeführt werden. Diese sind hier grün und durchgängig eingezeichnet.

    Es entsteht zweimal eine Strahlensatzsituation, die wir zum Ermitteln der gefragten Längen hier aber nicht brauchen.

    Um die Strahlensätze anwenden zu können, muss man sich klarmachen, wie lang die entsprechenden Streckenabschnitte sind.

    Von links nach rechts:

    • Der Streckenabschnitt an dem dritten Punkt beträgt $180-150=30$ Meter und
    • der an dem vierten Punkt $220-150=70$ Meter.
    • Der Streckenabschnitt am fünften Punkt beträgt $230-220=10$ Meter und
    • der an dem sechsten Punkt, ganz rechts, $250-220=30$ Meter.
    Zur Kontrolle können alle Abschnitte der rechten Strecke addiert werden: $150+70+30=250$ $\surd$.

  • Beschreibe, was ein Trapez ist.

    Tipps

    Hier siehst du verschiedene Vierecke.

    Das Trapez befindet sich ganz links und auch direkt in Pfeilrichtung darüber.

    Die Pfeile zeigen an, dass das entsprechende Viereck auch die entsprechende Eigenschaft hat.

    Zum Beispiel ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez, allerdings nicht jedes Trapez ein Parallelogramm.

    Dies ist ein Beispiel für ein Trapez.

    Hier siehst du ein Rechteck.

    Lösung

    Zunächst einmal ist ein Trapez ein Viereck.

    Die Besonderheit an einem Trapez besteht darin, dass zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein müssen.

    Zum Beispiel ist ein Rechteck ein besonderes Trapez. Eine Raute ist auch ein Trapez oder auch ein Parallelogramm. Ein Drache ist kein Trapez.

  • Ermittle die Länge der roten Strecke.

    Tipps

    Hier siehst du den linken Ausschnitt, mit welchem die entsprechende rote Länge $x$ berechnet werden kann.

    Verwende hierfür $\large{\frac{70}{30}=\frac x{100}}$.

    Hier siehst du den rechten Ausschnitt zur Berechnung der entsprechenden roten Länge, $160+x$.

    Verwende hierfür $\large{\frac{30}{10}=\frac{160+x}x}$.

    Die gesamte Länge erhältst du, indem du zu $100$ Metern die Längen der beiden schrägen Strecken addierst.

    Lösung

    Durch die linke durchgezogene grüne Hilfslinie entsteht eine Strahlensatzsituation.

    Das Verhältnis der großen zu der kleinen vertikalen Strecke entspricht dem der unbekannten großen roten zu der bekannten kleinen roten. Somit erhält man

    $\frac{70}{30}=\frac x{100}$.

    Nun kann man mit $100$ multiplizieren und erhält

    $x=\frac73\cdot 100=\frac{700}3$.

    Durch die rechte grüne durchgezogene Hilfslinie erhält man eine weitere Strahlensatzfigur. Hier stimmen wiederum die Verhältnisse der vertikalen zu denen der roten Strecken überein. Somit erhält man

    $\frac{30}{10}=\frac{160+x}x$.

    Multiplikation mit $x$ führt zu $3x=160+x$. Nun kann man auf beiden Seiten $x$ subtrahieren zu $2x=160$ und dann durch $2$ dividieren. Damit erhält man die Länge der rechten roten Strecke: $160+80=240$ Meter.

    Insgesamt erhält man für die rote Strecke

    $100+\frac{700}3+240=573,\bar3\approx 573,3$ Meter.

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