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Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1)

Willkommen zu meinem Video zu den Strahlensätzen. Strahlensätze gibt es zwei. Diese können dann noch einmal unterteilt und umgekehrt werden. Ich möchte das aber auf eine zentrale Idee herunterbrechen und nehme dazu die geometrische Figur des Dreiecks zur Hilfe. Nun möchte ich dir einmal zeigen, wie du mit den Strahlensätzen rechnen kannst. Hierfür solltest du fit im Bruchrechnen sein. Denn wir werden die Verhältnisse der Seiten in Brüchen ausdrücken. (Teil 1 von 2)

Transkript Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1)

Hallo! In dem letzten Film habe ich etwas über Strahlensätze gezeigt und habe die wesentlichen Ideen der Strahlensätze zusammengefasst in der einen Idee, nämlich ähnliche Dreiecke und die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken, die ja gleich sind. Das habe ich gemacht, weil es mehrere Strahlensätze gibt, zwei meistens, dann hat der 2. Strahlensatz noch eine 2. Version. Beide Strahlensätze bestehen jeweils aus ungefähr 3 Teilen, manchmal so, manchmal so beschrieben. Und diese 3 Teile haben noch 1., 2. Umkehrungen und noch verschiedene Versionen, und wann wo welcher Zusammenhang auftritt, habe ich selber nie auswendig gelernt, weil es ja diese eine Idee gibt, die fast alles zusammengefasst. Fast bedeutet nicht alles, und das, was diese Idee nicht zusammenfasst, das möchte ich jetzt mal zeigen, und zwar an diesen beiden Dreiecken, die ich dann schon mal eingesetzt habe. Die kann man so übereinanderlegen, und dann entsteht nämlich folgendes, das zeige ich mal von Nahem, damit du das sehr komfortabel sehen kannst. Wir haben also hier Dreiecksabschnitte, die entstehen, wenn ich diese beiden Dreiecke so übereinanderlege. Mit Dreiecksabschnitten ist gemeint, der Teil von hier bis hier, das ist der blaue Dreiecksabschnitt. Und der Teil von hier bis hier, dieser hier, das ist der rote Dreiecksabschnitt. Wenn die beiden Dreiecke so übereinanderliegen, haben wir keine gelben Dreiecksabschnitte, du siehst beide gelben Seiten komplett. Es gibt aber auch, wenn man die jetzt anders zusammenlegt, lege die mal auseinander und leg die mal so zusammen. Jetzt siehst du Dreiecksabschnitte, aber keine roten Dreiecksabschnitte mehr. Das ist eine ganze Seite, das ist auch eine ganze Seite. Das hier unten ist ein gelber Dreiecksabschnitt, von da bis da. Und das hier ist auch ein Dreiecksabschnitt, und zwar ein blauer. Von da bis da. Und weil es so schön ist, der Vollständigkeit halber auch, zeige ich das noch mal so rum. Jetzt siehst du keine blauen Dreiecksabschnitte mehr. Hier ist eine ganze blaue Seite, noch eine ganze blaue Seite, du siehst keinen Abschnitt. Hier siehst du einen Dreiecksabschnitt, der ist rot, von da bis da. Und hier siehst du auch einen Dreiecksabschnitt, der ist gelb. Und das kann man jetzt in den Strahlensätzen verwursten, da kann man nämlich auch mit rechnen, mit diesen Abschnitten. Und zwar gilt folgendes: die kleine rote Seite kannst du teilen durch den roten Dreiecksabschnitt. Und das ist genauso groß, wie die kleine blaue Seite geteilt durch den blauen Dreiecksabschnitt. Und das möchte ich jetzt mal aufschreiben. Wie rum nehme ich´s? So, glaub ich. Ich habe gesagt, kleine rote Seite, das nenne ich mal "kr" für klein und rot, geteilt durch den roten Abschnitt, Abschnitt wird hier selbstverständlich groß geschrieben. Und wir haben hier die kleine blaue Seite, hier also "kb" genannt, und die wird geteilt durch den blauen Abschnitt. Da halte ich das noch mal hoch. Das ist, ich glaube, ein Teil des 1. Strahlensatzes, der nicht mit kompletten Dreiecksseiten zu tun hat, sondern mit Dreiecksabschnitten. Hier sind die Dreiecksabschnitte, der Rote und der Blaue. Das geht natürlich auch mit anderen Abschnitten. Zum Beispiel, wenn wir das Dreieck, wenn man das Ganze hier so hält, die beiden Dreiecke, dann haben wir einen roten Abschnitt und einen gelben Dreiecksabschnitt. Zum Spaß schreibe ich das hier noch mal auf. Das ist ja jetzt eigentlich alles im Wesentlichen das Gleiche. Man könnte zum Beispiel jetzt schreiben: Kleine rote Seite geteilt durch roter Abschnitt ist wie kleine gelbe Seite, mach mal ein kleines "g" hier, also klein "k", klein "g" steht für kleine gelbe Seite, geteilt durch gelber Abschnitt. Das ginge natürlich auch mit gelb und blau. Das zeige ich jetzt nicht mehr. Wenn man die Dreiecke anders hinlegt, nämlich so, dann geht das auch mit gelb und blau. Aber ich denke, die Idee ist klar geworden. Und im nächsten Film zeige ich dann noch, was die große Seite damit zu tun hat und dann ist das Thema auch abgeschlossen. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Danke, danke danke - die Videos sind sehr hilfreich!!!

    Von Schoki 1, vor mehr als 4 Jahren
  2. Vielen Dank für die "kleinen" Hilfen, die mir eine "Große" sind!

    Von Bernadette W., vor fast 9 Jahren

Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Dreiecksabschnitte, welche zu sehen sind.

    Tipps

    Ein Dreiecksabschnitt liegt dann vor, wenn eine lange Dreiecksseite unterteilt wird in eine kürzere und ein Reststück. Dies ist der Dreiecksabschnitt.

    Bei ähnlichen Dreiecken ist immer eines der Dreiecke kleiner als das andere und kann somit in das andere Dreieck gelegt werden. Je nachdem, wie man das kleinere Dreieck legt, entstehen verschiedene Dreiecksabschnitte.

    Kein Dreiecksabschnitt liegt vor, wenn beide (sowohl die längere als auch die kürzere) Seiten komplett zu sehen sind.

    Lösung

    Als Beispiel ist die Lösung für das untere Bild hier zu sehen.

    Man kann sich zunächst anschauen, zu welcher Seite kein Dreiecksabschnitt zu erkennen ist: Dies ist die rote. Es sind sowohl die längere als auch die kürzere rote Seite zu sehen.

    Somit erkennt man hier einen gelben und einen blauen Dreiecksabschnitt. Diese sind in dem Bild besonders hervorgehoben.

    Ebenso kann man in dem oberen Bild den roten sowie gelben und in dem mittleren Bild den roten sowie blauen Dreiecksabschnitt erkennen.

  • Stelle die Gleichungen mit den Dreiecksabschnitten auf.

    Tipps

    Setze jeweils eine kleinere Seite ins Verhältnis zu dem entsprechenden Dreiecksabschnitt.

    Beachte, dass die entsprechenden Seiten (diese sind durch die Farbe zu erkennen) in Relation zueinander gesetzt werden.

    Die Anordnung in Zähler und Nenner muss jeweils übereinstimmen.

    Lösung

    Man kann auch Seitenverhältnisse mit den Dreiecksabschnitten formulieren. Dabei wird zu einer Seite jeweils der kleinere Teil sowie der Abschnitt betrachtet.

    In dem rechten Dreieck gilt: $\frac{\text{kr}}{\text{rA}}=\frac{\text{kb}}{\text{bA}}$.

    In dem linken Dreieck gilt: $\frac{\text{kr}}{\text{rA}}=\frac{\text{kg}}{\text{gA}}$.

  • Leite das Seitenverhältnis her.

    Tipps

    Mache dir zunächst klar, wie lang die entsprechenden Seiten oder Dreiecksabschnitte sind.

    Der Abschnitt links unten ist die kleine rote Seite. Dann ist der Teil, welcher diese Seite zu der langen ergänzt, der rote Abschnitt.

    Jetzt musst du dieses Bild noch mit dem obigen abgleichen.

    Lösung

    Die Lösung ist hier zu sehen.

    Zunächst kann man sich klarmachen, welches die kleinen Seiten und welches die zugehörigen Dreiecksabschnitte sind.

    • Die kleine rote Seite ist 4 Einheilten lang, der entsprechende Dreiecksabschnitt 8.
    • Die kleine gelbe Seite ist 6 Einheiten lang, der entsprechende Dreiecksabschnitt 12.
    Dies führt zu der Gleichung $\frac48=\frac 6{12}=\frac12$.

  • Ordne der jeweiligen Strahlensatzsituation die Gleichung zu.

    Tipps

    Schaue dir in jedem der Bilder an, welche der Seiten die kleine ist und welches der Dreiecksabschnitt.

    Hier siehst du die entsprechenden Bezeichnungen und Gleichungen.

    Es sind in jedem der Bilder nur die Seiten bezeichnet, um die es geht.

    Lösung

    Zunächst kann man sich bei jeder der gezeigten Situationen anschauen, welche der Seiten die kleine ist und welches der Dreiecksabschnitt.

    Somit kann unter Zuhilfenahme der nebenstehenden Skizze jeweils die Gleichung formuliert werden, von links nach rechts:

    • $\frac ab=\frac cd$
    • $\frac ba=\frac cd$
    • $\frac ba=\frac fe$
    • $\frac eb=\frac fa$

  • Gib die Besonderheiten von ähnlichen Dreiecken an.

    Tipps

    Dies ist die Situation eines Strahlensatzes. Dadurch entstehen zwei ähnliche Dreiecke.

    • Das kleinere mit der grünen, der orangen und der blauen Seite und
    • das größere mit den gleichfarbigen Seiten.

    Wenn in zwei Dreiecken die Seitenlängen übereinstimmen, nennt man diese Dreiecke kongruent oder auch deckungsgleich.

    Kongruente Dreiecke sind ein Sonderfall für ähnliche Dreiecke.

    Du kannst dir ähnliche Dreiecke vorstellen wie Dreiecke, die durch Streckung auseinander hervorgehen.

    Die beiden Dreiecke sind maßstabgetreu.

    Lösung

    Was sind ähnliche Dreiecke?

    In ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse überein.

    Dies ist gerade das, was Strahlensätze sagen.

    Zusätzlich haben ähnliche Dreiecke auch noch die Winkel gemeinsam.

    Ein Sonderfall ähnlicher Dreiecke sind kongruente Dreiecke. Kongruent bedeutet deckungsgleich. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie

    • in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS) oder
    • in zwei Seiten und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel (SWS) oder
    • von einer Seite und den beiden dieser Seite anliegenden Winkeln (WSW).

  • Berechne den roten Dreiecksabschnitt sowie die rote Gesamtseite.

    Tipps

    Die mit $x$ bezeichnete Seite ist der rote Dreiecksabschnitt.

    Wenn du dir diese Figur gespiegelt und gedreht vorstellst, hast du die oben zu sehende Situation.

    Die mit $y$ gekennzeichnete Seite ist die lange rote Seite.

    Beachte, es gilt der folgende Strahlensatz:

    $\large{\frac{\text{lange rote}}{\text{kurze rote}}=\frac{\text{lange gelbe}}{\text{kurze gelbe}}}$,

    dabei ist die lange gelbe Seite 20 Einheiten lang.

    Mit diesem Strahlensatz kannst du überprüfen, ob der Wert für $y$ korrekt ist. Du kannst diesen Wert auch damit berechnen.

    Lösung

    Zunächst kann die Länge des roten Dreiecksabschnittes $x$ berechnet werden. Es gilt

    $\frac {3,5}x=\frac5{15}$.

    Zunächst wird der Kehrwert gebildet

    $\frac x{3,5}=\frac{15}5$.

    Nun kann mit $3,5$ multipliziert werden und man erhält

    $x=\frac{15}5\cdot 3,5=3\cdot 3,5=10,5$.

    Die lange rote Seite ergibt sich, indem man die kleine rote und den entsprechenden Dreiecksabschnitt addiert:

    $y=3,5+10,5=14$.

    Nun kann man mit einem bereits bekannten Strahlensatz prüfen, ob dieses Ergebnis stimmt. Es muss gelten

    $\frac{20}5=4=\frac{14}{3,5}$ $\surd$

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