30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Strahlensätze 06:26 min

Textversion des Videos

Transkript Strahlensätze

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video Strahlensätze. In Technik und Bau findet man Abbildungen wie diese, doch die Darstellung ist nicht ganz beliebig. Durch die roten Pfeile werden 2 Strahlen gekennzeichnet, die ihren Ursprung dort haben, wo der grüne Pfeil hinweist. Die beiden Strahlen werden durch ein Parallelenpaar geschnitten, das durch die roten Pfeile gekennzeichnet wird. Nun wollen wir die Strahlenabschnitte kennzeichnen. Der Abschnitt s1 beginnt beim gemeinsamen Startpunkt der beiden Strahlen und endet beim Schnittpunkt des einen Strahls mit der 1. der beiden parallelen Geraden. Der Abschnitt S1 startet ebenfalls beim Ursprung der beiden Strahlen und endet beim Schnittpunkt des einen Strahls mit der 2. parallelen Geraden. Entsprechend ist s2 der Abstand zwischen dem Ursprung der beiden Strahlen und dem Schnittpunkt des 2. Strahls mit der 1. der parallelen Geraden. S2 ist der Abstand vom Ursprung der beiden Strahlen bis zum Schnittpunkt des 2. Strahls mit der 2. der parallelen Geraden. Nun beginnt der interessante Teil. Wir vermessen s1 und erhalten 25 cm. Wir vermessen s2 und wir erhalten 19 cm. Genauso messen wir S1 und S2 ab, und wir erhalten 50 cm und 38 cm. Interessant sind hier nicht die absoluten Mengen, sondern deren Verhältnisse. 50 cm/25 cm ergibt genau 2, und ebenso ergibt 38 cm/19 cm genau =2. Diese Ergebnisse kann man verallgemeinern. Es gilt nämlich: S1 verhält sich zu s1 wie S2 zu s2, und damit haben wir bereits den 1. Strahlensatz formuliert. Der 1. Strahlensatz lautet: Werden Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten, so ist der Quotient von gleichen Strahlenabschnitten auf verschiedenen Strahlen immer konstant. Anstelle eines exakten Beweises möchte ich eine plausible Begründung anführen. Wir können uns vorstellen, dass die abgebildete Figur aus 2 Dreiecken besteht, einem kleinen Dreieck, das durch die gelben Punkte gekennzeichnet wird, und einem großen Dreieck, das durch die blauen Eckpunkte begrent wird. Es ist offensichtlich, dass das kleine und das große Dreieck einen gleichen Winkel besitzen. Darüber hinaus besitzen beide Dreiecke einen 2. gleichen Winkel. Das folgt daraus, dass man es hier mit Stufenwinkeln zu tun hat. Auch der 3. Winkel ist gleich. Das folgt wieder aus dem Satz über Stufenwinkel. Da alle 3 Innenwinkel des kleinen und des großen Dreiecks gleich sind, sind beide Dreiecke ähnlich. Entsprechende Seiten stehen daher stets im gleichen Verhältnis. Von S1 und s1 beträgt das Verhältnis 2 und von S2 und s2 beträgt das Verhältnis ebenfalls 2. Für die weiteren Überlegungen wollen wir Umbenennungen durchführen. Den 25 cm langen Strahlenabschnitt wollen wir mit s bezeichnen, den 50 cm langen Strahlenabschnitt mit S. Der kleinere der beiden Geradenabschnitte soll p heißen, der größere der beiden Geradenabschnitte wird mit P bezeichnet. Wir messen wieder. p beträgt 16,5 cm, für P messen wir 33 cm.  Wir bilden nun 2 Verhältnisse. 25 cm/16,5 cm?1,52 und 50 cm/33 cm?1,52. Damit haben wir schon die gesuchte Gesetzmäßigkeit. s/p=S/P. Das ist bereits der 2. Strahlensatz. Der 2. Strahlensatz lautet: Wenn Strahlen mit gemeinsamem Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten werden, dann ist das Verhältnis aus Strahlenabschnitten und entsprechenden Geradenabschnitten immer konstant. Im Übrigen kann man hier auch mit der Ähnlichkeit argumentieren, denn S ist 2× länger als s, und P ist 2× länger als p. Also immer schön nach Strahlen, parallelen Geraden und ähnlichen Dreiecken schauen. Das wäre es schon wieder für heute. Alles Gute und viel Erfolg, tschüss!

15 Kommentare
  1. Hallo Vpechy,
    danke für dein Feedback. Bitte gib zu deiner Anmerkung noch die genaue Stelle an. Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 7 Monaten
  2. sie haben sich leider verrechnet ...

    Von Vpechy, vor 7 Monaten
  3. cool

    Von Leanderfortmann, vor mehr als einem Jahr
  4. Hat mir sehr geholfen, danke!
    :)

    Von Sandor9087, vor mehr als einem Jahr
  5. Hat mir leide nicht gehollfen

    Von A Bigorne, vor etwa 2 Jahren
  1. Danke. Besser als meine Lehrer in der schule:-)

    Von Jan Erik P., vor etwa 3 Jahren
  2. Sehr schön, ich habe beim Dreh sehr geschwitzt. Das hat sich dann wohl gelohnt ...
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 5 Jahren
  3. Danke hat mir sehr geholfen

    Von Ni.Ma .., vor fast 5 Jahren
  4. Centimeda:D

    Von Sophia Baehner, vor fast 5 Jahren
  5. Dankeschön für dieses tolle Video ! Es hat mir wirklich sehr geholfen!

    Von Mailone, vor etwa 5 Jahren
  6. Ich bitte darum, alle Fragen bezüglich vorhandener Videos DIREKT an sofatutor zu richten.

    Fragen? Ruf uns einfach an!
    030-515 88 22 20
    MO-FR und SO 10-19 UHR zum Festnetzpreis Beratung auch am Sonntag!

    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 5 Jahren
  7. Hallo, ich finde das video auch hilfreich hab aber trotzdem eine frage: gibt es auch ein video wo man eine strecke bestimmen muss?
    Danke schonmal im voraus

    Von Sandrien , vor mehr als 5 Jahren
  8. danke.

    Von Jakob 3, vor etwa 6 Jahren
  9. Super erklärt, danke :)

    Von Christine 4, vor etwa 6 Jahren
  10. Ausgezeichnet! Klar, deutlich, richtiges Sprechtempo. So kann man lernen. Danke.

    Von Libro E Musica, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Strahlensätze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Strahlensätze kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zum 1. Strahlensatz.

    Tipps

    Hier siehst du eine Abwandlung einer Strahlensatzfigur. Alle Geraden und Strahlen sind hier Strecken.

    Der gemeinsame Startpunkt ist hier $A$. Es gilt dann die folgende Gleichheit für die Seitenverhältnisse:

    $\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

    Du siehst hier zwei ähnliche Dreiecke. Bei ähnlichen Dreiecken sind alle drei Innenwinkel gleich groß.

    Die Verhältnisse einander entsprechender Seiten in ähnlichen Dreiecken sind immer gleich groß:

    $\frac{\text{gB}}{\text{kb}}=\frac{\text{gG}}{\text{kg}}=\frac{\text{gR}}{\text{kr}}$.

    Lösung

    Werden Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten, so ist der Quotient von gleichen Strahlenabschnitten auf verschiedenen Strahlen immer konstant.

    Dies kannst du mathematisch so schreiben:

    $\frac{S_1}{s_1}=\frac{S_2}{s_2}$

    In dem dargestellten Beispiel ist $S_1=50~\text{cm}$ und $s_1=25~\text{cm}$. Es gilt also:

    $\frac{S_1}{s_1}=\frac{50~\text{cm}}{25~\text{cm}}=2$.

    Weiter ist $S_2=38~\text{cm}$ und $s_2=19~\text{cm}$. Damit ergibt sich:

    $\frac{S_2}{s_2}=\frac{39~\text{cm}}{18~\text{cm}}=2$.

    Die Seitenverhältnisse stimmen überein.

  • Vervollständige die Begründung für den 1. Strahlensatz.

    Tipps

    Bei kongruenten Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang.

    Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich groß sind.

    Dies kannst du hier sehen: $\frac{\text{gB}}{\text{kb}}=\frac{\text{gG}}{\text{kg}}=\frac{\text{gR}}{\text{kr}}$

    Stufenwinkel sind in diesem Bild zum Beispiel $\beta_1$ sowie $\beta_2$. Stufenwinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Wir schauen uns einmal die beiden Dreiecke mit den gelben beziehungsweise violetten Eckpunkten an:

    • Den Winkel im Startpunkt der Strahlen haben die beiden Dreiecke gemeinsam.
    • Die am oberen Strahl anliegenden Winkel sind gleich groß, da sie Stufenwinkel sind.
    • Ebenso sind die an dem unteren Strahl anliegenden Innenwinkel gleich groß.
    • Die beiden Dreiecke stimmen somit in allen drei Innenwinkeln überein.
    Dreiecke, die in ihren drei Innenwinkeln übereinstimmen, werden ähnliche Dreiecke genannt.

    Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass das Verhältnis einander entsprechender Seiten immer gleich groß ist. Das bedeutet für die abgebildeten Seiten:

    $\frac{S_1}{s_1}=\frac{S_2}{s_2}$.

    Dies ist der erste Strahlensatz.

    Übrigens: Dreiecke heißen kongruent oder auch deckungsgleich, wenn man sie „übereinander legen“ kann. Das bedeutet, dass alle drei Seitenlängen gleich groß sind.

    Dann stimmen auch die Innenwinkel überein.

    Alle kongruenten Dreiecke sind also auch ähnlich. Umgekehrt gilt das nicht immer.

  • Gib den zweiten Strahlensatz an.

    Tipps

    In dieser Strahlensatzfigur sind zwei ähnliche Dreiecke erkennbar (gelbe Punkte und violette Punkte).

    Mit diesen kannst du die Strahlensätze erklären.

    In ähnlichen Dreiecken gilt, dass die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich sind.

    Du könntest den 2. Strahlensatz auch so formulieren:

    $\frac{P}{p}=\frac{S}{s}$.

    Lösung

    Die Strahlensätze sagen aus: Wenn Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt von parallelen Geraden geschnitten werden, dann ist das Verhältnis aus Strahlenabschnitten und entsprechenden Geradenabschnitten immer konstant.

    Für den zweiten Strahlensatz kannst du dies so aufschreiben: $\frac{s}{p}=\frac{S}{P}$.

    Du kannst diesen Strahlensatz auch so formulieren:

    $\frac{P}{p}=\frac{S}{s}$.

    Hier kannst du dir merken: Du hast immer Paare von Abschnitten. Dies sind einmal die Strahlenabschnitte $S$ sowie $s$ und die Geradenabschnitte $P$ sowie $p$. Das Verhältnis der jeweils längeren der beiden Seiten zu der kürzeren ist immer konstant.

  • Wende die Strahlensätze an, um die Abstände zu berechnen.

    Tipps

    Verwende den ersten Strahlensatz: Das Seitenverhältnis einander entsprechender Strahlenabschnitte ist immer gleich groß.

    So ist zum Beispiel $\frac{\overline{PL}}{\overline{PW}}=\frac{\overline{PM}}{\overline{PA}}$.

    Der zweite Strahlensatz sagt etwas über die Seitenverhältnisse der Geraden- sowie Strahlenabschnitte zueinander aus.

    Es gilt zum Beispiel $\frac{\overline{LM}}{\overline{PL}}=\frac{\overline{WA}}{\overline{PW}}$.

    Setze die jeweils bekannten Größen ein und forme dann nach der unbekannten Größe um.

    Lösung

    Der zweite Strahlensatz, welcher die Seitenverhältnisse von Geraden- sowie Strahlenabschnitten beschreibt, kann auch so formuliert werden:

    $\frac{\overline{LM}}{\overline{CJ}}=\frac{\overline{PL}}{\overline{PC}}$

    Hier siehst du nochmals allgemein formuliert, was die Strahlensätze für eine Aussage beinhalten:

    • Das Seitenverhältnis des längeren zu dem kürzeren Strahlenabschnitt ist auf beiden Strahlen bei einander entsprechenden Abschnitten gleich.
    • Ebenso ist das Seitenverhältnis des längeren zu dem kürzeren Geradenabschnitt gleich dem der entsprechenden Strahlenabschnitte auf jedem der beiden Strahlen.
    Das schauen wir uns nun an:

    Die Länge $\overline{PJ}$

    • Es gilt $\frac{\overline{PC}}{\overline{PW}}=\frac{\overline{PJ}}{\overline{PA}}$.
    • Setze die bekannten Größen ein. Es gilt $\frac{18~\text{m}}{12~\text{m}}=\frac{\overline{PJ}}{16~\text{m}}$.
    • Multipliziere nun mit $16~\text{m}$, so erhältst du $\overline{PJ}=24~\text{m}$.
    Die Länge $\overline{PM}$

    Du gehst hier ebenso vor:

    • Es gilt $\frac{\overline{PL}}{\overline{PW}}=\frac{\overline{PM}}{\overline{PA}}$.
    • Setze die bekannten Größen ein $\frac{30~\text{m}}{12~\text{m}}=\frac{\overline{PM}}{16~\text{m}}$.
    • Multipliziere nun mit $16~\text{m}$, so erhältst du $\overline{PJ}=40~\text{m}$.
    Die Länge $\overline{AW}$

    • Es gilt das Seitenverhältnis $\frac{\overline{LM}}{\overline{AW}}=\frac{\overline{PL}}{\overline{PW}}$.
    • Setze die bekannten Größen ein. Das ergibt $\frac{24~\text{m}}{\overline{AW}}=\frac{30~\text{m}}{12~\text{m}}$.
    • Die unbekannte Länge steht im Nenner. Bilde auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens den Kehrwert und multipliziere anschließend mit $24~\text{m}$.
    • Du erhältst so $\overline{AW}=9,6~\text{m}$.
    Die Länge $\overline{JC}$

    • Es gilt das Seitenverhältnis $\frac{\overline{LM}}{\overline{CJ}}=\frac{\overline{PL}}{\overline{PC}}$.
    • Setze die bekannten Größen ein. Du erhältst $\frac{24~\text{m}}{\overline{CJ}}=\frac{30~\text{m}}{18~\text{m}}$.
    • Da die unbekannte Länge im Nenner steht, kannst du zunächst den Kehrwert bilden und dann mit $24~\text{m}$ multiplizieren.
    • Du erhältst so $\overline{CJ}=14,4~\text{m}$.
  • Leite die Seitenverhältnisse mit Hilfe der Strahlensätze her.

    Tipps

    Der 1. Strahlensatz besagt, dass der längere Strahlenabschnitt des oberen Strahls, also $S_1$, sich zu dem kürzeren, also $s_1$, ebenso verhält wie die entsprechenden Strahlenabschnitte des unteren Strahls:

    $\frac{S_1}{s_1}=\frac{S_2}{s_2}$

    Der 2. Strahlensatz besagt, dass der längere Geradenabschnitt sich zu dem längeren Geradenabschnitt ebenso verhält wie die jeweils kürzeren Abschnitte:

    $\frac{P}{S}=\frac{p}{s}$

    Es muss nicht unbedingt das korrekte Seitenverhältnis angegeben sein.

    Lösung

    Hier kannst du die Lösung sehen:

    • Der längere blaue Strahlenabschnitt verhält sich zu dem kürzeren blauen wie der längere rote zu dem kürzeren roten. Es gilt $\frac ba=\frac dc$.
    • Der längere grüne Geradenabschnitt verhält sich zu dem längeren blauen Strahlenabschnitt wie der kürzere grüne Geradenabschnitt zu dem kürzeren blauen Strahlenabschnitt. Es gilt $\frac fb=\frac ea$.
    • Der kürzere grüne Geradenabschnitt verhält sich zu dem kürzeren roten Strahlenabschnitt wie der längere grüne Geradenabschnitt zu dem längeren roten Strahlenabschnitt. Es gilt $\frac ec=\frac fd$.
  • Berechne die fehlenden Größen.

    Tipps

    Berechne zunächst das Seitenverhältnis bei gegebenen Größen.

    Dieses Seitenverhältnis erhältst du wieder bei weiteren einander entsprechenden Seiten.

    Es gilt zum Beispiel $\frac{24~\text{m}}{25~\text{m}}=\frac{?~\text{m}}{50~\text{m}}$.

    Forme diese Gleichung nach dem Fragezeichen um. Dieses steht für die Länge des längeren Geradenabschnitts.

    Lösung

    Auf der Abbildung sind die beiden fehlenden Größen bereits eingetragen. Wie kannst du diese berechnen?

    Lass uns einmal mit den beiden Strahlen beginnen. Das Verhältnis des jeweils längeren Strahlenabschnitts zu dem jeweils kürzeren ist gleich. Das bedeutet hier:

    $\frac{50~\text{m}}{25~\text{m}}=\frac{?~\text{m}}{20~\text{m}}$

    Multiplikation mit $20~\text{m}$ führt zu:

    $?~\text{m}=\frac{50~\text{m}}{25~\text{m}}\cdot 20~\text{m}=2\cdot20~\text{m}=40~\text{m}$.

    Nun kommen wir zu dem längeren Geradenabschnitt. Es gilt, dass das Verhältnis dieses längeren Geradenabschnitts zu einem der längeren Strahlenabschnitte gleich dem des kürzeren Geradenabschnitts zu dem zugehörigen kürzeren Strahlenabschnitt ist:

    $\frac{?~\text{m}}{50~\text{m}}=\frac{24~\text{m}}{25~\text{m}}$

    Multipliziere nun mit $50~\text{m}$, so erhältst du:

    $?~\text{m}=\frac{24~\text{m}}{25~\text{m}}\cdot {50~\text{m}}=48~\text{m}$