Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen

Du kannst den Scheitelpunkt einer Funktion mit Nullstellen bestimmen. Verstehe den Zusammenhang zwischen Nullstellen und dem Scheitelpunkt, lerne die drei verschiedenen Fälle kennen und wie du den Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktform berechnest. Neugierig? Lies weiter!

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.7 / 12 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
sofatutor Team
Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Mache dir eine Skizze mit den drei verschiedenen Fällen für eine nach unten geöffnete Parabel.

    Lösung

    Wenn die Parabel genau eine Nullstelle $x_n$ hat, dann liegt der Scheitelpunkt der Parabel auf der $x$-Achse. Er hat die Koordinaten $S(x_n\vert 0)$.

    Wenn die Parabel zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$ hat, dann liegt der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt aus Symmetriegründen zwischen den beiden Nullstellen: ${x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}$. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten ${S(x_S\vert f(x_S))}$.

    Wenn eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat, dann liegt der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse. Man kann man die Schnittstellen der Parabel und einer zur $x$-Achse waagerechten Geraden $y=c$ berechnen. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel liegt aus Symmetriegründen zwischen den beiden Schnittstellen: ${x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}$. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten ${S(x_S\vert f(x_S))}$.

  • Tipps

    Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und kann mit der Formel für das arithmetischen Mittel berechnet werden:

    $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$.

    Die $y$-Koordinate erhalten wir durch Einsetzen in den Funktionsterm $y=f(x_S)$.

    Lösung

    • $f(x)=x^2+4x$ mit den Nullstellen: $x_1=-4$, $x_2=0$
    Berechne die $x$-Koordinate mit dem arithmetischen Mittel: $x_S=\frac{-4+0}{2}=\frac{-4}{2}=-2$.

    Damit kommt nur ein Scheitelpunkt in Frage. Wir berechnen dennoch zur Kontrolle die $y$-Koordinate durch Einsetzen: $f(-2)=(-2)^2+4\cdot (-2)=4-8=-4$

    $\implies S(-2\vert -4)$

    • $f(x)=x^2-8 x+7$ mit den Nullstellen: $x_1=1$, $x_2=7$
    $x_S=\frac{1+7}{2}=\frac{8}{2}=4$.

    $y=f(4)=(4)^2-8\cdot 4+7=16-32+7=-9$

    $\implies S(4\vert -9)$

    • $f(x)=x^2-2x$ mit den Nullstellen: $x_1=0$, $x_2=2$
    $x_S=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$.

    $y=f(1)=1^2-2\cdot 1=1-2=-1$

    $\implies S(1\vert -1)$

    • $f(x)=2x^2-4x$ mit den Nullstellen: $x_1=0$, $x_2=2$
    $x_S=\frac{2+0}{2}=\frac{2}{2}=1$.

    $y=f(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1=2-4=-2$

    $\implies S(1\vert -2)$

  • Tipps

    Achte beim Berechnen der Nullstellen auf die Vorzeichen!

    Lösung

    Berechnung der Nullstellen:

    $f(x)=0$

    $-x^2-2x+3=0 \quad \vert \cdot (-1)$

    $x^2+2x-3=0$

    $x_{1,2}=-1\pm \sqrt{4}$

    $x_1=1$ und $x_2=-3$

    Berechnung des Scheitelpunkts

    $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+(-3)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

    $y_S=f(-1)=-(-1)^2-2\cdot (-1)+3=-1+2+3=4$

    $S(-1\vert 4)$

  • Tipps

    Achte darauf, wie die einzelnen Schritte aufeinander aufbauen.

    Lösung

    Wir setzen die Funktion mit der Hilfsgeraden $y=34$ gleich:

    $2x^2-16x+34=34$.

    Dann formen wir die Gleichung in Normalform um:

    $2x^2-16x+34=34 \quad \vert -34$

    $2x^2-16x=0 \quad\vert :2$

    $x^2-8x=0$.

    Anschließend berechnen wir die Lösungen der Gleichung:

    $x_{1,2}=-(-4)\pm 4$

    $x_1=8 \text{ und } x_2=0$

    Aus den Lösungen berechnen wir das arithmetische Mittel:

    $x_S=\frac{8+0}{2}=4$.

    Als letztes bestimmen wir die $y$-Koordinate:

    $f(4)=2\cdot 4^2-16\cdot 4+34=2$

    Somit erhalten wir für den Scheitelpunkt die Koordinaten:

    $S(4\vert 2)$.

  • Tipps

    Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

    Berechne die $x$-Koordinate mit der Formel $\frac{x_1+x_2}{2}$.

    Berechne die $y$-Koordinate, indem du die $x$-Koordinate in den Funktiosnterm einsetzt.

    Lösung

    Der vertikale Achse durch den Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen $x_1=5$ und $x_2=9$.

    Wir berechnen die $x$-Koordinate mit der Formel $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$.

    Wir setzen $x_S=7$ in den Funktionsterm ein, um die $y$-Koordinate zu erhalten: $f(7)=7^2-14\cdot 7+45=-4$.

    Der Scheitelpunkt liegt bei $S(7\vert -4)$.

  • Tipps

    Hast du auf die Vorzeichen geachtet?

    Als Hilfsgerade verwenden wir den $y$-Achsenabschnitt, den wir berechnen, indem wir $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzen.

    Lösung

    Wir setzen die Funktion $f(x)$ mit der Hilfsgeraden $y=-5$ gleich:

    $-x^2+2x-5=-5$.

    Dann formen wir die Gleichung um:

    $-x^2+2x-5=-5 \quad \vert +5 $

    $-x^2+2x=0 \quad\vert x\text{ ausklammern}$

    $x(-x+2)=0$.

    Anschließend berechnen wir die Lösungen der Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:

    $x_1=0 \text{ und } x_2=2$

    Aus den Lösungen berechnen wir das arithmetische Mittel:

    $x_S=\frac{0+2}{2}=1$

    Als letztes bestimmen wir die $y$-Koordinate:

    $f(1)=-1^2+2\cdot 1-5=-4$

    Somit erhalten wir für den Scheitelpunkt die Koordinaten: $S(1\vert -4)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.385

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.226

Lernvideos

38.691

Übungen

33.496

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden