Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel (4) – Zusammenfassung

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel, Teil 4. In diesem Video möchte ich die einzelnen Schritte aufzählen und anhand von einem Beispiel noch einmal ausführen. Ich empfehle dringend, die Teile 1 bis 3 anzuschauen, weil dort wird erklärt, wie man zu diesen einzelnen Schritten kommt. Wenn wir vom Scheitelpunkt sprechen, so meinen wir immer den Scheitelpunkt einer Parabel. Ich habe hier die Funktionsgleichung einer Parabel ausgewählt, die bereits im Video 3 verwendet wurde. Ich denke, dass ich euch damit entgegenkomme. f(x) = 5x² + 25x + 40. Der erste Schritt des Formalismus besteht darin, dass man in der Funktionsgleichung das absolute Glied weglässt. Die neue Funktionsgleichung habe ich bezeichnet mit h(x). h(x) = 5x² + 25x. Der zweite Schritt ist die Bestimmung der Nullstellen der Funktion h(x). Wir setzen h(x) = 0 und erhalten 0 = 5x² + 25x. Nun können wir den größten Teil aus beiden Teiltermen ausklammern, das ist 5x. Wir erhalten somit 0 = 5x ( x + 5 ). Wir haben den Funktionsterm in eine Produkt ungewandelt, das den Wert 0 besitzt. Das ist nur dann richtig, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Entweder ist somit x = 0 oder x + 5 = 0. Als Lösungen der Gleichung erhalten wir somit: x1 = 0 und x2 = -5. Der dritte Schritt ist die Berechnung von xs. Ich habe in den Videos 1 bis 3, vor allen Dingen aber im Video 3, gezeigt, dass sich xs als arithmetisches Mittel aus den beiden Lösungen x1 und x2 ergibt, also xs = ( x1 + x2 ) /2 = ( 0 + (-5) ) / 2 = -5/2 = -2,5. Der vierte und abschließende Schritt des Formalismus besteht in der Berechnung von ys. ys ergibt sich als Funktionswert von f(xs) = f(-5/2) = 125/4 - 250/4 + 160/4, also ys = 35/4 = 8,75. Der Scheitelpunkt der Parabel hat somit die Koordinaten  -2,5 und 8,75. Nun möchte ich die Parabel noch in ein Koordinatensystem eintragen. Ich muss dafür die Achsen etwas skalieren, aber es ist möglich. Das größte Problem ist hier, in dem kleinen Drehraum die Schablone anzulegen. Das ist etwas so, als ob ein Elefant in einer Telefonzelle die Unterhosen wechselt. So sieht sie also aus, unsere Parabel, mit dem Scheitelpunkt S( -2,5 | 8,75 ). Ich danke für eure Aufmerksamkeit und wünsche euch alles Gute, und vielleicht sehen und hören wir uns bald wieder. Tschüss.