Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen
Du kannst den Scheitelpunkt einer Funktion mit Nullstellen bestimmen. Verstehe den Zusammenhang zwischen Nullstellen und dem Scheitelpunkt, lerne die drei verschiedenen Fälle kennen und wie du den Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktform berechnest. Neugierig? Lies weiter!
- Der Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt
- Fall 1: eine Nullstelle – Scheitelpunkt auf der Achse
- Fall 2: zwei Nullstellen – Scheitelpunkt liegt zwischen den Nullstellen
- Fall 3: keine Nullstellen – Konstruktion einer Hilfsgeraden
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Scheitelpunkt mithilfe der Nullstellen berechnen Übung
-
Benenne den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Scheitelpunkt.
TippsMache dir eine Skizze mit den drei verschiedenen Fällen für eine nach unten geöffnete Parabel.
LösungWenn die Parabel genau eine Nullstelle $x_n$ hat, dann liegt der Scheitelpunkt der Parabel auf der $x$-Achse. Er hat die Koordinaten $S(x_n\vert 0)$.
Wenn die Parabel zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$ hat, dann liegt der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt aus Symmetriegründen zwischen den beiden Nullstellen: ${x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}$. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten ${S(x_S\vert f(x_S))}$.
Wenn eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat, dann liegt der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse. Man kann man die Schnittstellen der Parabel und einer zur $x$-Achse waagerechten Geraden $y=c$ berechnen. Die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel liegt aus Symmetriegründen zwischen den beiden Schnittstellen: ${x_S=\frac{x_1+x_2}{2}}$. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten ${S(x_S\vert f(x_S))}$.
-
Berechne die Scheitelpunkte.
TippsDie $x$-Koordinate des Scheitelpunkts liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und kann mit der Formel für das arithmetischen Mittel berechnet werden:
$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$.
Die $y$-Koordinate erhalten wir durch Einsetzen in den Funktionsterm $y=f(x_S)$.
Lösung- $f(x)=x^2+4x$ mit den Nullstellen: $x_1=-4$, $x_2=0$
Damit kommt nur ein Scheitelpunkt in Frage. Wir berechnen dennoch zur Kontrolle die $y$-Koordinate durch Einsetzen: $f(-2)=(-2)^2+4\cdot (-2)=4-8=-4$
$\implies S(-2\vert -4)$
- $f(x)=x^2-8 x+7$ mit den Nullstellen: $x_1=1$, $x_2=7$
$y=f(4)=(4)^2-8\cdot 4+7=16-32+7=-9$
$\implies S(4\vert -9)$
- $f(x)=x^2-2x$ mit den Nullstellen: $x_1=0$, $x_2=2$
$y=f(1)=1^2-2\cdot 1=1-2=-1$
$\implies S(1\vert -1)$
- $f(x)=2x^2-4x$ mit den Nullstellen: $x_1=0$, $x_2=2$
$y=f(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1=2-4=-2$
$\implies S(1\vert -2)$
-
Berechne die Nullstellen und den Scheitelpunkt.
TippsAchte beim Berechnen der Nullstellen auf die Vorzeichen!
LösungBerechnung der Nullstellen:
$f(x)=0$
$-x^2-2x+3=0 \quad \vert \cdot (-1)$
$x^2+2x-3=0$
$x_{1,2}=-1\pm \sqrt{4}$
$x_1=1$ und $x_2=-3$
Berechnung des Scheitelpunkts
$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+(-3)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
$y_S=f(-1)=-(-1)^2-2\cdot (-1)+3=-1+2+3=4$
$S(-1\vert 4)$
-
Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung des Scheitelpunktes.
TippsAchte darauf, wie die einzelnen Schritte aufeinander aufbauen.
LösungWir setzen die Funktion mit der Hilfsgeraden $y=34$ gleich:
$2x^2-16x+34=34$.
Dann formen wir die Gleichung in Normalform um:
$2x^2-16x+34=34 \quad \vert -34$
$2x^2-16x=0 \quad\vert :2$
$x^2-8x=0$.
Anschließend berechnen wir die Lösungen der Gleichung:
$x_{1,2}=-(-4)\pm 4$
$x_1=8 \text{ und } x_2=0$
Aus den Lösungen berechnen wir das arithmetische Mittel:
$x_S=\frac{8+0}{2}=4$.
Als letztes bestimmen wir die $y$-Koordinate:
$f(4)=2\cdot 4^2-16\cdot 4+34=2$
Somit erhalten wir für den Scheitelpunkt die Koordinaten:
$S(4\vert 2)$.
-
Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Nullstellen.
TippsDer Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
Berechne die $x$-Koordinate mit der Formel $\frac{x_1+x_2}{2}$.
Berechne die $y$-Koordinate, indem du die $x$-Koordinate in den Funktiosnterm einsetzt.
LösungDer vertikale Achse durch den Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen $x_1=5$ und $x_2=9$.
Wir berechnen die $x$-Koordinate mit der Formel $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$.
Wir setzen $x_S=7$ in den Funktionsterm ein, um die $y$-Koordinate zu erhalten: $f(7)=7^2-14\cdot 7+45=-4$.
Der Scheitelpunkt liegt bei $S(7\vert -4)$.
-
Berechne den Scheitelpunkt für eine Parabel ohne Nullstellen.
TippsHast du auf die Vorzeichen geachtet?
Als Hilfsgerade verwenden wir den $y$-Achsenabschnitt, den wir berechnen, indem wir $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
LösungWir setzen die Funktion $f(x)$ mit der Hilfsgeraden $y=-5$ gleich:
$-x^2+2x-5=-5$.
Dann formen wir die Gleichung um:
$-x^2+2x-5=-5 \quad \vert +5 $
$-x^2+2x=0 \quad\vert x\text{ ausklammern}$
$x(-x+2)=0$.
Anschließend berechnen wir die Lösungen der Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x_1=0 \text{ und } x_2=2$
Aus den Lösungen berechnen wir das arithmetische Mittel:
$x_S=\frac{0+2}{2}=1$
Als letztes bestimmen wir die $y$-Koordinate:
$f(1)=-1^2+2\cdot 1-5=-4$
Somit erhalten wir für den Scheitelpunkt die Koordinaten: $S(1\vert -4)$.
9.385
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
8.226
Lernvideos
38.691
Übungen
33.496
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Flächeninhalt – Übungen
- Volumen Zylinder
- Potenzgesetze – Übungen
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Binomische Formeln – Übungen
- Raute
- Brüche umwandeln Übungen
- Parallelogramm
- Ungleichungen – Übungen
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Quadratische Gleichungen – Übungen
- Flächeninhalt