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Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2)

Weiter geht es mit dem zweiten Video über die Übungsvideo zum Satz des Pythagoras. Gegeben ist ein Trapez. Drei der Seitenlängen sind bekannt und die vierte wird gesucht damit der Trapezumfang berechnet werden kann. Wir haben das Trapez bereits in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Rechteck unterteilt. Indem wir die Seiten miteinander verglichen haben, erhielten wir die Seitenlängen der Katheten des rechtwinkligen Dreiecks. Sie betragen 12 cm und 8 cm. Nun muss nur noch mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Hypotenuse x berechnet werden.

Transkript Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2)

Hallo, nachdem wir also die Hilfslinie hier gezogen haben, sind wir jetzt eigentlich schon fast fertig. Der Rest ist, wie man so sagt, Pillepalle. Wir haben das rechtwinklige Dreieck und suchen die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Dann gehen wir so vor, wie wir das schon mal gemacht haben. Wir schreiben den Satz des Pythagoras hin: a2+b2=c2 - Das ist die allgemeine und übliche Form. Dann schreiben wir denselben Satz nochmal hin, und zwar mit den Bezeichnungen, die wir hier vorfinden. Eine Kathete hier ist 8 Längeneinheiten lang, die andere Kathete, die hier den rechten Winkel bildet mit dieser Kathete hier zusammen, ist 12 Längeneinheiten lang. Deshalb können wir die beiden Quadrate addieren und die Hypotenuse heißt x, also steht hier x2. Wir möchten jetzt nicht wissen wie groß x2, sondern wie groß x ist, deshalb können wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Ich sage es nochmal: Hier ist eine Summe. Du kannst nicht summandenweise die Wurzel ziehen. Auf gar keinen Fall! Dann kommt die Mathepolizei, wenn du es trotzdem tust. Du musst erst das gesamte Ergebnis ausrechnen und dann die Wurzel ziehen. Hier dürfen wir Wurzel aus x2 weglassen, und zwar, indem wir nur x hinschreiben, weil nämlich x positiv sein soll. Deshalb können wir das Wurzelgesetz anwenden, was wir ja hinlänglich schon gemacht haben. Nun, was steht hier: Wir haben eine Wurzel, aus, ja, was für einer Zahl? Es ist 82, das ist 64. 122, darf man auswendig wissen, dass haben wir in den Potenzgesetzen gemacht, ist 144. 64 und 144 sind zusammen 208. Das lassen wir so natürlich nicht stehen, das wäre unanständig, denn wir wollen noch teilweise die Wurzel ziehen. Wenn man nicht sofort sieht, welche Quadratzahlen sich in der 208 alles rumtummeln, dann macht man natürlich eine Primfaktorzerlegung. Das hasst du mal gemacht, als du klein warst, da hast du eine Primfaktorzerlegung gemacht. Nur mal kurz zur Wiederholung: Eine Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt von Primzahlen. Ich mache hier ein Beispiel, und zwar für die 208. Du kommst zu der Primfaktorzerlegung, indem du diese Zahl, in dem Fall 208, der Reihe nach durch die Primzahlen teilst, so lange, bis das letzte Ergebnis eine Primzahl ist. Die kleinste Primzahl ist die 2. Ich kann die 208 durch 2 teilen, es kommt 104 raus. 104 kann ich durch 2 teilen, es kommt 52 raus. Ich kann die 52 durch 2 teilen, es kommt 26 raus. Ich kann die 26 durch 2 teilen, es kommt 13 raus. Das Ergebnis ist eine Primzahl. Das letzte Ergebnis beim durch 2 teilen: 13 - das ist eine Primzahl. Deshalb steht hier 2×2×2×2×13 - das ist zusammen 208 und das ist ein Produkt, indem nur Primzahlen vorkommen. Jetzt kann ich teilweise die Wurzel ziehen: Hier steht nämlich 4×4, 2×2 ist ja 4, klar, 4×4. Aus 4×4 kann ich die Wurzel ziehen - das ich 4. Deshalb steht hier als ganzes, Gleichheitszeichen brauche ich noch, 4×\sqrt(13)=x. Das ist das exakte Ergebnis. Wenn du einfach so die Aufgabe gestellt bekommst, dann ist das exakte Ergebnis gefragt. Sollte ein Näherungswert gefragt sein, kannst du gerne deinen Taschenrechner benutzen. Ich mache es hier nicht, ich suche das exakte Ergebnis. Auch dein Taschenrechner kann \sqrt(13) nicht exakt ausrechnen, weil die \sqrt(13) eine irrationale Zahl, die nämlich unendlich nichtperiodische Nachkommastellen hat, und das kann dein Taschenrechner nicht anzeigen. Also hier mit dem Ergebnis verabschiede ich mich. Bis bald. Tschüss.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. It's absolutely Amazingg (toll)

    Von Zbolt, vor 12 Tagen
  2. Super Video!

    Von Tvisha/Tanvi.M, vor 2 Monaten
  3. DAnke endlich verstehe ich es. Lg Zombie

    Von Tvisha/Tanvi.M, vor 2 Monaten
  4. DAnke endlich verstehe ich es. Lg Felix

    Von Stj, vor mehr als 3 Jahren
  5. Die Fragen sollten etwas anspruchsvoller werden! Aber das Video ist super gelungen!

    Von Hanglethanh01 1, vor mehr als 7 Jahren
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Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks an.

    Tipps

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

    Lösung

    Ein rechtwinkliges Dreieck besteht immer aus zwei Katheten und einer Hypotenuse. Dabei ist die Hypotenuse immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck und besagt: Wenn man die Katheten des Dreiecks quadriert und dann die quadrierten Werte addiert, dann erhält man das gleiche, als wenn man die Hypotenuse quadriert.

    In unserem Beispiel ist die Seite $c$ die längste Seite des Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist also die Hypotenuse.

    Die beiden Katheten bilden immer den rechten Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Hier also die Seiten $a$ und $b$.

  • Gib zu den rechtwinkligen Dreiecken jeweils den korrekten Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt: Quadriert man die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und addiert die Ergebnisse, so erhält man das Gleiche, als wenn man die Hypotenuse quadriert.

    Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Außerdem ist die Hypotenuse die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

    Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die Seiten, die am rechten Winkel anliegen.

    Lösung

    Zunächst bestimmen wir die Seiten und den Satz des Pythagoras für ein allgemeines rechtwinkliges Dreieck:

    1. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist immer die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. In diesem Beispiel also die Seite $c$.

    Die Katheten liegen im rechtwinkligen Dreieck immer direkt am rechten Winkel an. Die Katheten sind also hier die Seiten $a$ und $b$.

    Der Satz des Pythagoras für dieses Dreieck lautet:

    $a^2+b^2=c^2$

    Man könnte auch sagen:

    Kathete1$^2+~$Kathete2$^2=~$Hypotenuse$^2$

    2. Genauso funktioniert es auch für die zweite Aufgabe:

    Hier sind die beiden Katheten gegeben. Die eine hat eine Länge von $8$; die andere eine Länge von $12$ Längeneinheiten. Also ist die Hypotenuse die Seite $x$. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der Satz des Pythagoras lautet für dieses Dreieck also:

    $8^2+12^2=x^2$

    Die beiden Katheten können dabei natürlich vertauscht werden, denn es gilt:

    $a+b=b+a$

    Außerdem gilt:

    $a^2+b^2=b^2+a^2$

    Diese Gleichheit gilt jeweils wegen des Kommutativgesetzes der Addition.

  • Ermittle die fehlende Seite des Trapezes.

    Tipps

    Der allgemeine Satz des Pythagoras lautet:

    $a^2+b^2=c^2$

    Man kann auch sagen:

    Kathete1$^2 +$ Kathete2$^2 =$ Hypotenuse$^2$

    Die Hypotenuse liegt im rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Katheten bilden den rechten Winkel.

    Lösung

    Für dieses Dreieck lautet der Satz des Pythagoras:

    $3^2+4^2=x^2$

    Vereinfachen wir die linke Seite dieser Gleichung, erhalten wir:

    $9+16=25=x^2$

    Da wir $x$ berechnen wollen und nicht $x^2$, müssen wir noch die Wurzel ziehen. Also erhalten wir:

    $x=\sqrt{25}=5$

    Also hat die fehlende Seite eine Länge von $5$ Längeneinheiten.

  • Berechne die fehlende Seite und den Umfang des Trapezes.

    Tipps

    Der allgemeine Satz des Pythagoras lautet:

    $a^2+b^2=c^2$

    Hierbei ist $c$ die Hypotenuse. $a$ und $b$ sind die beiden Katheten.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

    Vereinfache das Ergebnis möglichst weit, indem du teilweise die Wurzel ziehst. Zerlege hierfür die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren.

    Am Beispiel sieht das teilweise Wurzelziehen durch die Primfaktorzerlegung so aus:

    $\sqrt{180}=\sqrt{2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}= 2\cdot 3\cdot \sqrt5 =6\cdot \sqrt5$

    Lösung

    Die Fläche ist ein Trapez, welches aus einem rechtwinkligen Dreieck und einem Rechteck zusammengesetzt ist.

    Wendet man den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck an, erhält man:

    $10^2+14^2=x^2$

    Die Summanden kann man natürlich vertauschen; also könnte man auch schreiben:

    $14^2+10^2=x^2$

    Berechnet man nun die linke Seite der Gleichung, so sieht die neue Gleichung wie folgt aus:

    $296=x^2$

    Nun zieht man die Wurzel und erhält:

    $\sqrt{296}=x$

    Da $296$ keine Quadratzahl ist, können wir nicht die Wurzel ziehen. Aber das Ergebnis kann vereinfacht werden, indem man teilweise die Wurzel zieht. Dazu zerlegt man die $296$ in Primfaktoren. Das ergibt:

    $296=2\cdot148=2\cdot 2\cdot 74 =2\cdot 2\cdot 2 \cdot 37$

    Also kann man auch schreiben:

    $\sqrt{296} = \sqrt{2\cdot 2\cdot 2 \cdot 37}$

    Zieht man hier teilweise die Wurzel ($2\cdot2=4$ und $\sqrt4=2$) erhält man:

    $2\cdot \sqrt{2 \cdot 37} = 2\cdot \sqrt{74} \approx 17,2$

    Also gilt: $x \approx 17,2$ Längeneinheiten.

    Um den Umfang $u$ zu berechnen, addiert man alle Seitenlängen des Trapezes und erhält:

    $u=10+12+14+12+17,2=65,2$.

  • Beschrifte das rechtwinklige Dreieck.

    Tipps

    Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus einer Hypotenuse und zwei Katheten.

    Spitze Winkel sind kleiner als $90°$.

    Lösung

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden Katheten bilden den rechten Winkel ($90°$) im rechtwinkligen Dreieck.

  • Bestimme die fehlende Seite $x$ sowie den Umfang $u$ der gegebenen Fläche.

    Tipps

    Die gegebene Fläche ist ein Trapez. Versuche durch Hilfslinien die Fläche günstig in zwei Teilflächen einzuteilen.

    Konstruiert man sich eine günstige Hilfslinie, die parallel zur rechten Seite des Trapezes verläuft, wird das Trapez in zwei Teilflächen eingeteilt. Was sind dies für Flächen und wie lang sind die Seiten der neuen Flächen?

    Durch die Hilfslinien wird das Trapez in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Rechteck unterteilt.

    Nun kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die fehlende Seite zu berechnen.

    Lösung

    Mithilfe einer Hilfslinie, die parallel zur rechten Seite des Trapezes verläuft, wird das Trapez in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Rechteck unterteilt.

    Um die fehlende Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, muss man zunächst die anderen beiden Seiten des Dreiecks bestimmen.

    Da die rechte Teilfläche ein Rechteck ist und in einem Rechteck die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, ist die untere Seite dieses Rechtecks (genau wie die obere Seite) $4$ Längeneinheiten lang.

    Genauso funktioniert es mit der linken Seite des Rechtecks, die auch gleichzeitig eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ist (in der Zeichnung grün markiert). Die ist also genau wie die rechte Seite des Rechtecks $8$ Längeneinheiten lang.

    Nun fehlt nur noch die zweite Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Diese Kathete bildet zusammen mit der unteren Seite des Rechtecks die Grundseite des ganzes Trapezes.

    Die Grundseite des Trapezes ist $10$ Längeneinheiten und die untere Seite des Rechtecks $4$ Längeneinheiten lang, also kann man die gesuchte Kathete berechnen durch:

    $10 - 4 = 6$

    Nun hat man zwei Seitenlängen ($6$ und $8$ Längeneinheiten) des rechtwinkligen Dreiecks und kann die fehlende Seite $x$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dieser lautet für dieses Dreieck:

    $8^2+6^2=x^2$

    Berechnet man die linke Seite dieser Gleichung, erhält man:

    $64+36=100=x^2$

    Nun muss man noch die Wurzel ziehen und erhält:

    $\sqrt{100}=10=x$

    Also ist die gesuchte Seite $10$ Längeneinheiten lang.

    Um den Umfang zu berechnen, addiert man alle Seiten des Trapezes und erhält:

    $u=4+8+10+10=32$.

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