30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1)

Bewertung

Ø 4.1 / 10 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1)

Willkommen zu einer Übungsaufgabe zum Satz des Pythagoras. Die Bearbeitung der Aufgabe ist auf zwei Videos aufgeteilt. Sie wird verdeutlichen, wann und wie der Satz des Pythagoras in der Geometrie angewendet werden kann. Hierfür habe ich eine Aufgabe vorbereitet, die zunächst kein Dreieck, sondern ein Trapez thematisiert. Gegeben ist nämlich ein Trapez und drei seiner Seitenlängen – welche, kannst du der Skizze im Video entnehmen. Gesucht ist die fehlende Seite x damit der Umfang des Trapezes berechnet werden kann.

Transkript Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1)

Hallo, hier ist eine typische Aufgabe zur Anwendung des Satzes des Pythagoras. Wir haben ein Trapez gegeben, die Seitenlängen sind hier 16, 12 und 8 Längeneinheiten. Dieses Trapez hat hier unten 2 rechte Winkel. Daher weiß ich auch, dass es ein Trapez ist, denn diese beiden Seiten sind parallel, deshalb, weil hier unten zwei rechte Winkel sind. Und zu bestimmen ist diese Seite x. Das ist natürlich richtig, es ist hier kein rechtwinkliges Dreieck gegeben, zunächst einmal, sondern ein Trapez. Und die Idee, die du jetzt bitte haben sollst an dieser Stelle ist, wie kann ich jetzt den Satz des Pythagoras trotzdem anwenden? Und da muss man eben eine Idee haben. Ich hoffe, du hast sie. Denke bitte erst selber nach und gucke vielleicht erst hinterher diese Lösung an. In der Zwischenzeit, während du dir das überlegst, kann ich ja noch einmal etwas dazu sagen, was ein Trapez ist. Ein Trapez ist ein Viereck mit 2 parallelen Seiten, ein Viereck mit 2 parallelen Seiten, und das ist die Mindestanforderung an ein Trapez. Das bedeutet, auch wenn zum Beispiel ein Parallelogramm, wenn das 2 Paare paralleler Seiten hat, kann ja passieren, beziehungsweise beim Parallelogramm muss es ja auch so sein, dann ist die Bedingung, dass 2 Seiten parallel sind, auch erfüllt. Damit ist also jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Übrigens, Rechtecke auch, Rechtecke haben parallele Seiten, deshalb sind 2 Seiten parallel, also mindestens 2 Seiten sind parallel, und deshalb ist jedes Rechteck auch ein Trapez. Hier haben wir aber nur 2 Seiten, die parallel sind und anzuwenden ist jetzt der Satz des Pythagoras und die Frage ist jetzt: Wie macht man das? Nun, hier kommt die Idee. Du brauchst eine Hilfslinie, und zwar hier. Die male ich jetzt mal eben ganz salopp hier an. Ja, die sollte eigentlich, es ist eine gerade Strecke, nicht wahr, ist jetzt nicht so schlimm. Diese Strecke hier ist parallel zu dieser. So wollte ich das gezeichnet haben. Dann ist hier auch ein rechter Winkel. Hier ist ein Rechteck entstanden. Diese Seite hier, diese, von dort bis dort, ist genauso groß wie die, also auch 8 Längeneinheiten. Darf ich hier dranschreiben, ich schreibe das innen dran. Innen bedeutet, die Strecke, die hier gezeichnet ist, mit den 8 Längeneinheiten, die geht von dieser Begrenzung bis zu dieser Begrenzung. Wenn also dieser Teil hier 8 Längeneinheiten ist, die ganze Seite 16 Längeneinheiten ist, dann bleibt hier oben noch für diese Strecke, von dort bis dort, bleiben noch 8 Längeneinheiten übrig. Und, weil wir hier ein Rechteck vorfinden, wissen wir auch, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Das heißt, ich weiß jetzt auch, dass diese Hilfslinie, die ich eingezeichnet habe, 12 Längeneinheiten hat und siehe da, eine kleine Hilfslinie hat geholfen, und ich habe ein rechtwinkliges Dreieck, in dem ich hier dieses x suche, nämlich die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck. Ja, und wie man das dann noch ausrechnet, das zeige ich im zweiten Teil. Bis dahin viel Spaß, tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Toll

    Von Zbolt, vor 12 Tagen
  2. Toll

    Von Tvisha/Tanvi.M, vor 2 Monaten
  3. Toll

    Von H. B., vor mehr als 11 Jahren

Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Trapezumfang berechnen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu der Aufgabenstellung.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Oft ist es sinnvoll, eine Hilfslinie in eine Figur so einzutragen, dass man ein oder mehrere rechtwinklige Dreiecke erhält. Die entsprechenden Seitenlängen sollen aus der gegebenen Figur gut erkennbar sein.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegt gegenüber dem rechten Winkel die längste Seite. Dies ist die Hypotenuse.

    Lösung

    Dieses Trapez ist eine recht typische Anwendung für den Satz des Pythagoras. Nun kann man sich fragen, wie man denn den Satz des Pythagoras anwenden soll? Dieser gilt doch nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wo ist hier ein rechtwinkliges Dreieck?

    Dafür muss man eine Hilfslinie einzeichnen.

    Dann kann man erkennen, dass dadurch ein rechtwinkliges Dreieck entstanden ist, deren Hypotenuse die gesuchte Länge $x$ ist. Die gestrichelte Hilfslinie ist eine Kathete des Dreiecks.

  • Bestimme die Seitenlänge $x$ im Trapez mithilfe der angedeuteten Linie.

    Tipps

    Die Bezeichnungen an der linken Seite beziehen sich immer auf die Abschnitte.

    Beachte, dass das untere Viereck ein Rechteck ist. Das bedeutet, dass die einander gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind.

    Du erkennst den rechten Winkel in einem Dreieck an dem Punkt.

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.
    • Die Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Lösung

    In dieser (nicht maßstabgetreuen) Skizze sind die entsprechenden Größen zu erkennen.

    Das obere Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel ist an dem Punkt zu erkennen. Diesem Winkel gegenüber liegt die Hypotenuse, die gesuchte Seite $x$.

    Die gestrichelte Hilfslinie ist eine der beiden Katheten. Das Viereck, welches durch die Hilfslinie entsteht, ist ein Rechteck. Das bedeutet, dass die einander gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind. Somit ist die Hilfslinie $12$ Einheiten lang. Die linke Seite des Rechtecks ist ebenso lang wie die rechte, also $8$ Einheiten.

    Mit dieser Angabe kann die Länge der zweiten Kathete des Dreiecks berechnet werden: $16-8=8$ Einheiten.

  • Entscheide, bei welchen Dreiecken Hilfslinie und Beschriftung zur Berechnung der Höhe dienen.

    Tipps

    Durch Einzeichnen einer Hilfslinie sollte ein rechtwinkliges Dreieck entstehen.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang, in einem gleichschenkligen nur zwei Schenkel.

    Die Höhe vom Punkt $C$ auf die Grundseite teilt diese in zwei gleich große Abschnitte. Dies gilt bei gleichseitigen Dreiecken für jede der drei Höhen.

    Lösung

    Die beiden gleich langen Schenkel haben jeweils die Länge von $12$ Einheiten. Die Grundseite ist $8$ Einheiten lang. Die Höhe auf die Grundseite teilt diese in zwei Hälften, jeweils mit einer Länge von $\frac82=4$ Einheiten.

    Somit entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem

    • die Hypotenuse $12$ Einheiten und
    • eine der beiden Katheten $4$ Einheiten lang ist.
    Die Länge der anderen Kathete ist gesucht.

    Bei den gleichseitigen Dreiecken ist die Hilfslinie ebenso einzuzeichnen. Hier könnte man jede der drei Höhen verwenden, da ja alle gleich lang sind. Zu beachten ist nur, dass auch hier die Seite, auf welcher die Höhe steht, halbiert wird zu $6$ Einheiten.

  • Entscheide, wie die Hilfslinie eingetragen werden muss und welche Größen bereits bekannt sind.

    Tipps

    Beachte: Es soll der Satz des Pythagoras angewendet werden. Das bedeutet, dass du die Hilfslinie so eintragen musst, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.

    In dem resultierenden rechtwinkligen Dreieck liegt die unbekannte Größe dem rechten Winkel gegenüber.

    Hier siehst du an einem Beispiel, wie die Hilfslinie eingezeichnet werden muss.

    Die Längen der Katheten in dem rechtwinkligen Dreieck kannst du entweder ablesen ($12$) oder berechnen ($8=16-8$).

    Lösung

    Beispielhaft ist ein Trapez mit Hilfslinie hier zu sehen.

    Bei dem obigen Trapez ist die gesuchte Seite $x$ nach Einzeichnen einer Hilfslinie die Hypotenuse des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks.

    Ziel ist es also, durch Einzeichnen einer Hilfslinie ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten.

    Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, müssen in dem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen bekannt sein. Dies sind jeweils die Kathetenlängen. Dabei ist die Hilfslinie, eine der beiden Katheten, $8$ Einheiten lang. Die Länge der anderen Kathete lässt sich als Differenz zweier bekannter Längen berechnen $12-8=4$.

  • Gib an, was ein Trapez ist.

    Tipps

    Dies ist das Haus der Vierecke: Ganz links befindet sich ein Trapez, dem Pfeil folgend aber auch darüber. Wenn du von einem Viereck über Pfeile zu einem Trapez gelangst, ist dies ebenfalls ein Trapez.

    Hier siehst du zum Beispiel ein gleichschenkliges Trapez.

    Jedes Quadrat ist ein Trapez. Jedoch ist nicht jedes Trapez ein Quadrat.

    Lösung

    Nun beschäftigen wir uns schon in einigen Aufgaben mit Trapezen. Was ist eigentlich ein Trapez?

    Zunächst einmal ist ein Trapez ein Viereck, aber nicht irgendein Viereck: In einem Trapez sind zwei einander gegenüber liegende Seiten parallel zueinander.

    Somit ist sicher jedes Parallelogramm ein Trapez. Denn in einem Parallelogramm sind die jeweils gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander. Aber nicht jedes Trapez ist ein Parallelogramm.

    Auch ein Rechteck ist ein Trapez. Ein Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm. Zusätzlich zu der Parallelität der Seiten gibt es nur rechte Winkel, also $90^\circ$. Allerdings gilt auch hier: Nicht jedes Trapez ist ein Rechteck.

    Da ein Quadrat auch ein Rechteck ist, ist jedes Quadrat auch ein Trapez.

    Nun schauen wir uns noch andere Vierecke an:

    • Die Raute ist ein spezielles Parallelogramm und somit auch ein Trapez.
    • Im Drachenviereck sind die einander gegenüber liegenden Seiten nicht zwingend parallel. Somit ist ein Drachenviereck kein Trapez.

  • Berechne den Umfang des Trapezes.

    Tipps

    Verwende den Satz des Pythagoras für die Berechnung der Länge $x$.

    Dieser Satz besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Löse die Gleichung, welche du mit dem Satz des Pythagoras erhältst, nach $x$ auf.

    Wenn du die unbekannte Länge berechnet hast, kannst du den Umfang berechnen, indem du alle Seitenlängen addierst.

    Lösung

    $x$ ist die Hypotenuse in dem oberen rechtwinkligen Dreieck. Die Längen der beiden Katheten sind bekannt: $8$ sowie $12$.

    Nun kann der Satz des Pythagoras verwendet werden:

    $8^2+12^2=x^2$.

    Die linke Seite kann berechnet werden: $64+144=208$.

    Also gilt: $208=x^2$.

    Durch Ziehen der Wurzel erhält man: $x\approx 14,4$.

    Zu guter Letzt können alle Seitenlängen addiert werden zu

    $16+12+8+14,4=50,4$.

    Dies ist der gesuchte Umfang des Trapezes.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.797

Lernvideos

44.123

Übungen

38.769

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden