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Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1)

Willkommen zu einer Übungsaufgabe zum Satz des Pythagoras. Die Bearbeitung der Aufgabe ist auf zwei Videos aufgeteilt. Sie wird dir verdeutlichen, wann und wie du den Satz des Pythagoras in der Geometrie anwenden kannst. Hierfür habe ich eine Aufgabe zu einem Dreieck vorbereitet. Allerdings handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck. Gegeben sind die Längen zweier Seiten mit 9 cm und 8 cm und gesucht ist die Länge der dritten Seite. Zusätzlich ist uns die Information gegeben, dass die Höhe des Dreiecks h_x 7 cm beträgt.

Transkript Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1)

Hallo! Hier ist eine typische Aufgabe zum Satz des Pythagoras. Wir haben ein Dreieck gegeben. Das ist kein rechtwinkliges Dreieck. Wir haben eine Höhe gegeben hier, das sind 7 Längeneinheiten, 9 und 8 Längeneinheiten.So sagt man das, es ist egal, ob es sich um Dezimeter, Meter oder Zentimeter oder Ellen oder Speichen handelt, es ist völlig egal - Hauptsache, die Zahlen stimmen. Und wir sollen jetzt hier dieses x berechnen. Da sollst du bitte selber eine Idee haben, führe sie aus, rechne es aus und guck vielleicht hinterher die Lösung an, denn jetzt kommt das, was ich mir dazu überlegt habe. Das ist also Folgendes: Erst mal muss man das Problem hier erkennen: Es geht also darum, das x zu berechnen und die Seite x ist nicht Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Das heißt, wir können also direkt den Satz des Pythagoras so nicht anwenden. Was wir aber können, ist, wir können ja diese Seite x aus diesen Teilen hier zusammensetzen. Und die möchte ich jetzt einfach mal bezeichnen. Das ist einmal das p und das q. Übrigens: Man hat sich darauf geeinigt, wenn dieses p in dem Dreieck steht, dann ist gemeint die Strecke von hier bis dort (also diese innere Begrenzung), wenn das x außen steht, dann meint man die ganze Seite. Dieses q meint auch nur die Seite, die hier von diesen beiden Strichen begrenzt wird, also innen begrenzt wird. Nun ist ja schnell erkennbar, das also p+q=x ist. Wenn ich also weiß, wie groß p ist, wenn ich weiß, wie groß q ist, dann ist mir auch völlig klar, wie groß das x ist. P und q sind beide Seiten rechtwinkliger Dreiecke. Hier ist der rechte Winkel eingezeichnet, das ist ein rechtwinkliges Dreieck und q ist eine Kathete in diesem rechtwinkligen Dreieck. Hier ist selbstverständlich auch ein rechter Winkel, wenn da ein rechter Winkel ist. Damit ist p Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, da ist es. Und deshalb, weil wir hier 2 Seiten des rechtwinkligen Dreiecks kennen und hier auch 2 Seiten des rechtwinkligen Dreiecks kennen, können wir das ausrechnen. Und das mach ich jetzt mal vor. Du kannst den Satz des Pythagoras wieder so hinschreiben, wie du ihn normalerweise kennst vermutlich: a2+b2=c2. Und dann kannst du den Satz hinschreiben mit den Bezeichnungen, die du hier in der Aufgabe vorfindest. Wir wissen: Der Satz wird enden auf 82, denn hier ist die Hypotenuse, die liegt diesem rechten Winkel gegenüber. Also 82 wird es sein. Hier haben wir die Addition der beiden Kathetenquadrate. Die eine Kathete heißt q, also haben wir hier q2+72 - ja, hier ist der rechte Winkel, diese Seite und diese hier liegen an diesem rechten Winkel an, bilden diesen rechten Winkel, deshalb sind es die beiden Katheten. So, diese Gleichung möchte ich jetzt nach q auflösen. Zunächst einmal rechne ich -7 auf beiden Seiten. Dann steht hier q2=82-72. Ich weiße noch einmal darauf hin, du kannst jetzt nicht erst 8-7 rechnen und dann quadrieren; du müsstest bitte erst die 8 quadrieren, dann die 7 quadrieren und die Ergebnisse voneinander abziehen. Ansonsten wäre das Ergebnis ja 1 (8-7, wenn man das erst ausrechnet und dann quadriert, ist das ja 1). Das ist aber das falsche Ergebnis, das machen wir nicht. Ich kann aus beiden Seiten die Wurzel ziehen, dann habe ich hier q alleine stehen. Aufgrund eines Wurzelgesetzes, was wir schon besprochen haben oder was du hoffentlich auch in der Schule gehabt hast und verstanden hast, kommt die ganze rechte Seite unter eine Wurzel. So, und dann können wir das ausrechnen: 82=64, 72=49, von 49 bis 64 fehlen (49+5=54, +10=64) 15. Also, 15 kommt heraus, wir brauchen die Wurzel aus 15. Das kann man nicht mehr anders schreiben, damit ist q=\sqrt15. Jetzt habe ich es doch noch hingekriegt, das auszurechnen. Ja, das kann man nicht weiter vereinfachen, das ist das Ergebnis. Im 2. Teil kommt dann die Sache, wie wir p ausrechnen. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. danke, danke hat mir echt weiter geholfen. Tolles video!

    Von Korkmazelif, vor 7 Monaten
  2. super

    Von Melanie Obach, vor fast 2 Jahren
  3. Hat sehr geholfen

    Von Nabilmechehrawi, vor mehr als 3 Jahren
  4. Tolles Video :)

    Von Derschs, vor mehr als 6 Jahren
  5. Danke, Danke! Hat mir echt geholfen :)

    Von Deleted User 162343, vor mehr als 7 Jahren
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Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Seite berechnen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung von $x$.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Schau dir das Bild an. Die eingezeichnete Höhe steht senkrecht auf der unbekannten Seite $x$.

    Die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

    Lösung

    Das abgebildete Dreieck ist nicht rechtwinklig.

    • Die Höhe hat $7$ [LE],
    • und die beiden bekannten Seiten $8$ und $9$ [LE].
    Wie lang ist die Seite $x$?

    Der Satz des Pythagoras kann nicht direkt angewendet werden. Wenn man die Seite $x$ in zwei Teile $p$ und $q$ teilt, so erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke, in welchen jeweils der Satz des Pythagoras angewendet werden kann.

  • Stelle die Gleichung für $q$ auf und löse diese nach $q$.

    Tipps

    Mache dir in dem schraffierten Dreieck klar, welche Seite Hypotenuse ist und welche Kathete.

    Die unbekannte Seite ist eine Kathete.

    Das Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Das schraffierte Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Hypotenuse hat die Länge $8$, die eine Kathete die Länge $7$ und die andere ist unbekannt: $q$.

    Der Satz des Pythagoras führt zu der Gleichung:

    $q^2+7^2=8^2$.

    Diese Gleichung wird nun nach $q$ aufgelöst:

    $\begin{align*} q^2+7^2&=8^2&|&-7^2\\ q^2&=8^2-7^2&|&\sqrt{}\\ q&=\sqrt{8^2-7^2}\\ &=\sqrt{15}. \end{align*}$

  • Erläutere, wie die unbekannte Länge $x$ aufgeteilt werden kann, um den Satz des Pythagoras anzuwenden.

    Tipps

    In einem Trapez sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander.

    Die Höhe kann auch an einer anderen Stelle parallel zu der angegebenen eingezeichnet werden.

    $x$ wird in drei Teile zerlegt.

    Lösung

    Hier ist die gesuchte Aufteilung der Seite $x$ zu erkennen:

    • Da bei einem Trapez zwei Seiten parallel zueinander sind, stimmen die Höhen in ihrer Länge überein.
    • Das Teilstück, welches zwischen den Höhen eingezeichnet ist, hat die gleiche Länge wie die obere Seite des Trapezes.
    • Berechnet werden müssen noch, jeweils mit dem Satz des Pythagoras, die Seiten $p$ und $q$.
    Wenn diese berechnet sind, ist $x=p+5+q$.

  • Berechne die Länge der Seite $x$.

    Tipps

    Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden.

    Zum Beispiel ist dem linken rechtwinkligen Dreieck $p$ die unbekannte Kathete.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Du musst die Gleichung, welche du nach dem Satz des Pythagoras erhältst, jeweils nach der Unbekannten umstellen.

    Lösung

    Hier ist die Aufteilung der Seite $x$ zu erkennen. Berechnet werden müssen also die beiden Teilstücke $p$ und $q$. Hierfür wird jeweils der Satz des Pythagoras verwendet:

    Zu $p$

    $p^2+9^2=12^2$. Diese Gleichung kann nach $p$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} p^2+9^2&=12^2&|&-9^2\\ p^2&=12^2-9^2&|&\sqrt{~}\\ p&=\sqrt{12^2-9^2}\\ p&=\sqrt{63}. \end{align*}$

    Zu $q$

    $q^2+9^2=10^2$. Diese Gleichung kann nach $q$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} q^2+9^2&=10^2&|&-9^2\\ q^2&=10^2-9^2&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{10^2-9^2}\\ q&=\sqrt{19}. \end{align*}$

    Nun kann $x$ berechnet werden:

    $x=\sqrt{63}+5+\sqrt{19}\approx17,3$ [LE].

  • Gib den Satz des Pythagoras wieder.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an und die Hypotenuse diesem Winkel gegenüber.

    Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist angegeben mit: $a^2+b^2=c^2$.

    Dies ist nur bedingt richtig. Es muss gelten:

    • $a$, $b$ und $c$ sind Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und
    • $c$ ist die Hypotenuse.
    Man kann sich den Satz des Pythagoras auch in der Form:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    merken. Durch die Angabe von Katheten und Hypotenusen muss es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, da diese Seite nur in einem solchen Dreieck so bezeichnet werden.

  • Ermittle die Gesamtlänge der Schwimmstrecke.

    Tipps

    Die Länge von zwei Seiten ist bereits bekannt. Du musst also die Länge von $p$ berechnen.

    Um $p$ zu berechnen, musst du $q$ von $x$ subtrahieren.

    $x$ und $q$ können jeweils mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

    Lösung

    Da bereits zwei Längen bekannt sind, muss nur noch $p$ berechnet werden. Dies ist die Differenz von $x$ und $q$.

    In den folgenden Rechnungen werden die Längeneinheiten weggelassen.

    Zu Berechnung von $x$

    $x^2+100^2=200^2$. Diese Gleichung kann nach $x$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} x^2+100^2&=200^2&|&-100^2\\ x^2&=200^2-100^2=30000&|&\sqrt{~}\\ x&=\sqrt{30000}\\ \end{align*}$

    Zu Berechnung von $q$

    $q^2+100^2=140^2$. Diese Gleichung kann nach $q$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} q^2+100^2&=140^2&|&-100^2\\ q^2&=140^2-100^2=9600&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{9600}\\ \end{align*}$

    Nun kann $p$ berechnet werden:

    $p=x-q=\sqrt{30000}-\sqrt{9600}\approx75,2$.

    Nun kann diese Länge zu den bereits bekannten addiert werden:

    $200+140+75,2=415,2$.

    Die Gesamtlänge des Schwimmkurses beträgt $415,2~m$.

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