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Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1)

Willkommen zu einer Übungsaufgabe zum Satz des Pythagoras. Im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras gibt es immer wieder eine Schrankaufgabe und um die mal zu erläutern, habe ich dieses Video vorbereitet. Dazu stellen wir uns ein Zimmer vor, indem wir uns einen Schrank liegend aufbauen wollen. Da der Schrank sehr groß ist, kann es möglich sein, dass man den Schrank aufgebaut nicht mehr aufstellen kann. Um zu berechnen, ob du den Schrank aufgebaut noch im Zimmer hinstellen kannst, benötigst du die Angaben über Höhe, Tiefe und Breite des Schrankes und des Zimmers.

Transkript Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1)

Hallo! Im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras gibt es immer wieder eine Schrankaufgabe und um die mal zu erläutern, habe ich da mal was vorbereitet. Und zwar soll das jetzt mal ein Zimmer darstellen. Ja, hier ist der Zimmerboden, hier ist die Zimmerdecke, hier sind irgendwelche Wände und das haben wir jetzt mal so aufgeschnitten und gucken in dieses Zimmer rein. Eine weitere Hauptrolle spielt ein Schrank. Ja, das sieht jetzt fast genauso aus ... Also, das ist ein Schrank, hier sind die Schranktüren, die kannst du jetzt nicht sehen, und man stellt sich also vor, dieser Schrank wird liegend aufgebaut und dann gekippt und dann steht er so. Ja? Wir sehen den Schrank jetzt von der Seite, wie gesagt hier sind die Schranktüren. So wird er erst mal aufgebaut und dann so aufgestellt. Ich darf das sagen, ich habe lange genug in der Möbelspedition gearbeitet, ich habe sogar eine Schulung gemacht im Schränkeaufbauen, so werden Schränke nicht aufgebaut. Schränke werden - also so, dass man sie erst hinlegt und dann aufstellt ... Normalerweise werden Schränke im Stehen aufgebaut, dann ist das auch kein Problem, man kann Schränke aufbauen, die direkt bis unter die Zimmerdecke gehen - kein Thema, weil sie eben im Stehen aufgebaut werden, normalerweise zumindest. Wir haben hier jetzt das Problem, dieser Schrank passt liegend in dieses Zimmer. Dieser Schrank passt stehend in dieses Zimmer. Wenn ich den Schrank aber kippen will, dann geht das nicht, weil die Deckenhöhe nicht hoch genug ist oder der Schrank zu groß ist, wie auch immer man das sehen will. Ich kann den auch hinlegen und dann aufstellen wollen, das geht auch nicht, der stößt gegen die Zimmerdecke. Was kann man machen? Hier kann man, wenn man die Maße des Schrankes hat, kann man vorher ausrechnen, ob man den so und so dann kippen kann, ob man den so aufstellen kann. Für die Schrankmaße braucht man, normalerweise glaube ich ist angegeben Breite, Höhe, Tiefe. Breite ist klar, wenn hier der Schrank ist, da sind die Türen, das ist die Schrankbreite. Das hier ist die Schrankhöhe. Und wenn du jetzt hier tief reingreifst in den Schrank, ja, ganz tief kannst du reingreifen, das ist die Schranktiefe. Da geht die ganze Hand rein. Jetzt ... Wenn wir also wissen, wie hoch der Schrank ist und wie tief der Schrank ist, können wir vorher berechnen, ob man den Schrank so hinlegen kann und dann kippen kann und so aufstellen kann. Und eine Idee sollst du jetzt dabei haben. Überleg dir das bitte selber, ansonsten ... Nicht, mach den Film aus. Ich bin nicht sauer, wenn du den Film ausmachst. Hauptsache, du überlegst selber, denn hier zeige ich jetzt die Lösung, wie man das machen kann. Man muss sich also vorstellen: Wenn dieser Schrank jetzt hier gekippt wird - ich mache das mal ohne dieses Zimmer -, wenn der Schrank also so gekippt wird, dann hat er hier irgendwo eine höchste Stelle und die Frage ist, wie kann ich ermitteln, wie hoch diese höchste Stelle ist? Da, ist sie ... ungefähr. Und was du hier sehen sollst, und das ist wieder der eigentliche Sinn dieser Aufgabe, ist so eine Pythagorasfigur. Ja, ich muss eben mal gucken, wierum ich das mache, so mache ich das. Hier ist die Pythagorasfigur. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Schränke haben hier ja normalerweise rechte Winkel. Du kannst diese Figur hier so dransetzen und siehst jetzt, wenn der Schrank also gekippt ist und hier an der höchsten Stelle ist, dann ist die höchste Stelle so hoch, wie die Diagonale lang ist. Diese gelbe Diagonale hier des Schrankes, das ist die größte Höhe, die er erreicht beim Kippen. Ja, ich kann es vielleicht noch mal so zeigen. Wenn hier dieses Dreieck also steht, das ist die größte Höhe, die erreicht wird, das ist die Schrankdiagonale. Nun, wenn du also die Maße des Schrankes gegeben hast, kannst du mithilfe des Satzes des Pythagoras auch diese Diagonale ausrechnen und weißt dann, ob du den Schrank so aufstellen kannst. Im nächsten Film zeige ich das mit den Maßen. Also, Zimmerhöhe soll sein 2,50 Meter, Schrankmaß ist hier 2,40 Meter Höhe, 65 Zentimeter Tiefe - und damit kannst du das mal selber versuchen zu rechnen. Und ansonsten, wenn du nicht weiter kommst, kannst du den nächsten Film gucken, dann erkläre ich, wie das geht. Bis dann, Tschüß.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. tolles video, ich habe es sehr gut verstanden

    Von Tvisha/Tanvi.M, vor 2 Monaten
  2. ich find den Typ total unwitzig.. das video hat nichts gebracht

    Von Cbk13, vor mehr als 3 Jahren

Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Fragestellung mathematisch relevant ist.

    Tipps

    Wenn du dieses Blatt Papier in eine Richtung drehst, kannst du die Fragestellung gut nachvollziehen. Dies ist mit Sicherheit leichter, als den Schrank selbst zu kippen.

    Man kann vorher klären, ob das Kippen möglich ist. Insofern hat dies natürlich recht viel mit Mathematik zu tun.

    Versuche dies doch einmal mit einem Schuhkarton. Was fällt dir dabei auf?

    Lösung

    Natürlich baut man einen Schrank nicht immer auf dem Boden liegend auf und kippt ihn dann so, dass er aufrecht im Zimmer steht. Denn dann müsste entweder der Schrank recht klein sein oder das Zimmer sehr hoch. Wenn beides nicht der Fall ist und man trotzdem wissen möchte, ob man den Schrank per Kippen aufstellen kann, dann kann man sich fragen, wie lang die längste Strecke des Schrankes beim Kippen ist.

    Die Fragestellung Kann ich ermitteln, wie hoch die höchste Stelle beim Kippen des Schrankes ist? führt zu der Diagonalen eines rechtwinkligen Dreiecks.

  • Beschreibe, mit welchem Satz man dieses Problem lösen kann.

    Tipps

    Hier siehst du eine Skizze für den gekippten Schrank.

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es

    • eine Hypotenuse, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, sowie
    • zwei Katheten, welche den rechten Winkel einschließen.

    Du kannst die gesuchte Länge berechnen, indem du die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Höhe sowie Tiefe ziehst.

    Lösung

    Wenn man einen Schrank durch Kippen in einem Zimmer aufstellen möchte, so kann dies nur gelingen, wenn der beim Kippen entstehende höchste Punkt niedriger ist als das Zimmer. Anstatt also den Schrank erst einmal auf dem Boden liegend aufzubauen und dann festzustellen, dass er nicht mehr kippbar ist, kann man sich vorher eine mathematische Fragestellung überlegen.

    Die höchste Stelle beim Kippen ergibt sich durch den Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Von Katheten und Quadraten spricht man nur im Zusammenhang mit rechtwinkligen Dreiecken.

    Man müsste also ein rechtwinkliges Dreieck betrachten. Die bei einem Schrank gegebene Höhe und Tiefe sind dann die Katheten und die gesuchte maximale Höhe beim Kippen die gestrichelte Diagonale, die Hypotenuse. Dies ist in der Abbildung zu erkennen.

  • Beschrifte die Strecken im Dreieck.

    Tipps

    Ein rechter Winkel wird mit einem Punkt gekennzeichnet.

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es

    • eine Hypotenuse und
    • zwei Katheten.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und die Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Hier kannst du alle Bezeichnungen in einem rechtwinkligen Dreieck nachvollziehen.

    Lösung

    Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, ist es sinnvoll, sich zunächst klarzumachen, welche der Seiten Katheten sind und welche die Hypotenuse.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und die Katheten an diesem an.

    Dies ist in diesem Bild gut nachvollziehbar.

    Für den gekippten Schrank gilt dann

    • Die gesuchte maximale Höhe (mit $d$ bezeichnet) ist die Hypotenuse,
    • Die Höhe (zwei parallele Seiten) sowie die Tiefe (ebenfalls zwei parallele Seiten) sind die Katheten.
    • Der jeweilige rechte Winkel ist an dem Punkt erkennbar. Er wird von den beiden Katheten eingeschlossen.

  • Leite die Gleichung mit dem Satz des Pythagoras her.

    Tipps

    Beim Satz des Pythagoras steht die Hypotenuse auf einer der beiden Seiten der Gleichung allein.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Viele merken sich den Satz des Pythagoras so, wie hier zu sehen.

    Dies gilt jedoch

    • nur in rechtwinkligen Dreiecken und auch
    • nur, wenn $a$ und $b$ die Katheten sind und $c$ die Hypotenuse ist.

    Lösung

    Hier ist ein Ausschnitt aus dem obigen Bild zu sehen.

    Die Seite $d$ liegt dem rechten Winkel gegenüber, dies ist also die Hypotenuse.

    Sowohl die Höhe als auch die Tiefe liegen an dem rechten Winkel an, dies sind also die Katheten.

    Wenn dies klar ist, kann man die entsprechende Gleichung mit dem Satz des Pythagoras formulieren. Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Somit gilt

    $\text{Höhe}^2+\text{Tiefe}^2=d^2$.

  • Nenne die Voraussetzung dafür, dass der Satz des Pythagoras angewendet werden kann.

    Tipps

    Hier siehst du den Satz des Pythagoras anschaulich.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    In welchen Dreiecken spricht man von Katheten und Hypotenuse?

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem Dreieck mit einem Winkel von $90^\circ$. Sie liegt diesem Winkel gegenüber.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird oft mit $a^2+b^2=c^2$ angegeben. Doch stimmt dies hinsichtlich der Streckenbezeichnungen sicher nicht immer.

    Es müssen nämlich $a$, $b$ und $c$ Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck sein und zum anderen müssen $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse sein. In allen anderen Fällen ist die obige Aussage nicht richtig.

    Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, ist es deshalb sinnvoll, sich zunächst klarzumachen, welche der Seiten Katheten sind und welche die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und die Katheten an diesem an.

    Und dann lautet der Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

  • Prüfe, ob der Schrank in dem Zimmer gekippt werden kann.

    Tipps

    Fertige dir zunächst eine Skizze an.

    So könnte deine Skizze aussehen. Die maximale Kipphöhe ist unbekannt: $d$.

    Verwende den Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen.

    Lösung

    Es ist häufig sinnvoll, sich eine Skizze anzufertigen. Hier ist der gekippte Schrank zu sehen. Die Höhe und die Tiefe sind eingezeichnet. Die maximale Kipphöhe ist die senkrechte Diagonale dieses Rechtecks. Durch diese Diagonale entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

    Dabei ist die gesuchte Diagonale $d$ die Hypotenuse und die beiden gegebenen Größen, nämlich Höhe und Breite des Schrankes, sind die Katheten. Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $2,25^2+1,2^2=d^2$.

    Diese Gleichung kann nun nach $d$ umgeformt werden:

    $\begin{align} 2,25^2+1,2^2&= d^2\\ 6,5025&= d^2&|&\sqrt{~}\\ 2,55&= d. \end{align}$

    Die maximale Kipphöhe beträgt also $2,55$ Meter. Da Pauls Zimmer mit $2,6$ Metern höher ist, kann der Schrank in seinem Zimmer gekippt werden.

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