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Satz des Pythagoras – Erklärung

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Erklärung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Erklärung

Der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten mathematischen Sätze der Welt. Pythagoras hat 600 Jahre vor Christus gelebt und sich durch seine Erkenntnisse in der Geometrie einen Namen gemacht. Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreieckige – also Dreiecke, die einen Winkel mit 90 Grad besitzen. Für diese Dreiecke hat Pythagoras einen Zusammenhang zwischen den einzelnen Seiten ( den zwei Kathede und der Hypotenuse ) der rechtwinkligen Dreiecke erkannt – nämlich: Kathede ² + Kathede ² = Hypotenuse ².

Transkript Satz des Pythagoras – Erklärung

Hallo, der Satz des Pythagoras ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik. Und gleich wirst Du wissen, worum es dabei geht. Es geht nämlich um rechtwinklige Dreiecke, und rein zufällig habe ich da mal eines vorbereitet.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel hier innen drin. Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90°, wenn du ein Geodreieck hast, kannst du das hier so reinlegen mit dieser Spitze, und dann passt das genau, das ist ein rechter Winkel, ein 90°-Winkel. Übrigens in einem Dreieck gibt es nur immer einen einzigen rechten Winkel, du kannst es ja mal ausprobieren, ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln zu zeichnen, mit zwei 90°-Winkeln, es wird dir nicht gelingen, außer vielleicht in der nicht-euklidischen Geometrie, aber das ist eine völlig andere Baustelle, darum soll es hier jetzt nicht gehen.

Also, in einem Dreieck gibt es nur einen einzigen rechten Winkel, übrigens ich drehe dieses Dreieck hier die ganze Zeit auch deshalb, weil ich das nämlich kenne, dass Schüler meinen, ein rechtwinkliges Dreieck müsse immer so aussehen, oder vielleicht so. Aber es kann auch so aussehen oder so im Raum liegen, irgendwie, das ist völlig egal, der rechte Winkel, dieser rechte Winkel geht dadurch nicht kaputt. Ich kann es auch drehen, und der rechte Winkel ist immer noch da.

Kathete und Hypotenuse

Da diese Dreiecke mit einem rechten Winkel oder kurz "rechtwinklige Dreiecke" etwas Besonderes sind, was besonderes wie du und ich, deshalb haben die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks besondere Namen. Und die möchte ich jetzt mal aufschreiben: Und zwar haben wir für diese grüne Seite - also diese grüne Seite und diese blaue Seite, die bilden ja zusammen diesen rechten Winkel hier, diesen 90°-Winkel. Und die grüne Seite heißt Kathete, das schreibe ich auch in grün, Kathete, mit "th", es gibt also eine Kathete. Hier die grüne Kathete und noch eine blaue Kathete in diesem Dreieck, meistens sind die ja gleichfarbig, nicht wahr? Aber hier haben wir zwei unterschiedliche Farben, deshalb schreibe ich jetzt die andere Kathete auch in Blau. Das bedeutet also, eine Kathete ist eine Seite, die am rechten Winkel anliegt. Hier ist der rechte Winkel, da ist die grüne Kathete und da ist die blaue Kathete. Katheten sind also die Seiten, die am rechten Winkel sind.

Die andere Seite hier, diese rote Seite ist auch eine besondere Seite, denn sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Hier ist der rechte Winkel und dort ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Davon gibt es dann immer nur eine, und die heißt Hypotenuse. Die ist in diesem Fall hier rot, deshalb schreibe ich auch hier in rot, mit Ypsilon, "Hypotenuse"!

Der Satz des Pythagoras

Und jetzt passiert das Interessante: Jetzt kommen wir zum eigentlichen Satz des Pythagoras, das war bisher nur die Voraussetzung: Wir brauchen ein rechtwinkliges Dreieck, mit diesen beiden Katheten und der Hypotenuse. Jetzt könnte ich Folgendes machen, ich könnte die Seitenlängen nachmessen, rein zufällig habe ich da mal ein Lineal vorbereitet, und hier könnte ich zum Beispiel feststellen, dass die Seitenlänge, die grüne Seitenlänge hier, 16 cm ist. Dann wäre es also möglich, diese Seitenlänge zu quadrieren. In dem Fall also 16×16 zu rechnen, oder einfach: Kathete zum Quadrat.

Gemeint ist natürlich nicht, dass ich hier diese Kathete kaputtmache und ein Quadrat draus mache, sondern die Seitenlänge wird quadriert, Seitenlänge mal Seitenlänge, das ist die Seitenlänge zum Quadrat, oder kurz eben "Kathete zum Quadrat". Ich kann die andere Kathete auch nachmessen, die ist jetzt vielleicht hier 29, kann ich bei den dicken Strichen hier sowieso nicht genau nachmessen, aber auch diese Seitenlänge könnte ich quadrieren. Tja, da schreibe ich hier auch noch dieses Quadrat dran, und ich könnte beide addieren. Einfach nur so, reine Willkür bis hierhin.

Außerdem könnte man nun die Hypotenuse nachmessen, das sind hier etwa 31. Die Hypotenusenlänge, die kann ich auch quadrieren. Einfach nur so, das darf man machen. Und jetzt kommt der große Clou dabei: Wenn man nämlich das hier gemacht hat, beide Katheten quadriert und addiert und die Hypotenuse quadriert hat, dann stellt man fest, dass beide gleich sind. Das heißt, die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Und das ist der Satz des Pythagoras. Es gibt viele Beweise dazu, die möchte ich hier nicht zeigen, es gibt viel zu erzählen dazu, zu dem Herrn Pythagoras, der Grieche war, wie er gelebt hat und wie er auf den Satz gekommen ist und so weiter. Das soll aber hier nicht das Thema sein, sondern nur dieser Satz an sich. Übrigens schreibe ich hier nicht a² + b² = c², weil ich das kenne, das sich immer wieder vertan wird mit dem, was "a", "b" und "c" bedeutet, deshalb schreibe ich hier die Bedeutungen auf. Die Katheten und die Hypotenuse können heißen, wie sie wollen, die müssen nicht "a", "b" und "c" heißen.

Ja, ich glaube, mehr ist dazu nicht zu sagen: Die Seitenlängen quadrieren, die beiden Kathetenquadrate addieren, das ist gleich dem Hypotenusenquadrat, also Seitenlänge der Hypotenuse quadrieren und dann ist das beides gleich. Es ist so schön, ich weiß gar nicht, wie ich jetzt aus der Nummer jetzt rauskommen will, weil das eine so wunderbare Sache ist. Einfach deshalb halte ich das immer wieder hoch, weil es so schön ist, aber ich glaube, ich höre dann jetzt einfach auf. Ich glaub, du hast alles verstanden. Bis bald, tschüss!

59 Kommentare

59 Kommentare
  1. Muss ein Referat über Pythagoras machen und ich glaube das ist bisher das Video wo ich es am besten verstanden habe und es verständlich und kurzweilig erklärt wurde, danke ;)

    Von Jonadsmiley, vor 7 Monaten
  2. sehr gutes video
    hat mir sehr geholfen
    bitte mehr davon

    Von Melanie Obach, vor fast 2 Jahren
  3. coles video hat uns gut geholfen :D

    Von Poopalheike, vor etwa 2 Jahren
  4. gut

    Von Bitawahedi 1, vor etwa 2 Jahren
  5. gutes video

    Von Wiktorluka, vor etwa 2 Jahren
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Satz des Pythagoras – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Tipps

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an. Die verbleibende Seite ist die Hypotenuse.

    Lösung

    Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen. Der rechte Winkel ist an dem Punkt zu erkennen.

    Gegenüber von dem rechten Winkel liegt die längste Seite des Dreiecks (rot). Diese wird als Hypotenuse bezeichnet.

    Die beiden Seiten, welche an dem rechten Winkel anliegen (grün und blau), heißen Katheten.

  • Gib den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt. Diese Seite wird als Hypotenuse bezeichnet.

    Konstruiere ein Dreieck mit den folgenden Seitenlängen:

    • $3$ Maßeinheiten,
    • $4$ Maßeinheiten und
    • $5$ Maßeinheiten.
    Was fällt dir auf?

    Jede Kombination aus natürlichen Zahlen $x$, $y$ und $z$, welche

    $x^2+y^2=z^2$

    erfüllt, wird als pythagoreisches Tripel bezeichnet.

    Hier siehst du den Satz des Pythagoras veranschaulicht.

    Wenn die rote und die grüne Fläche addiert werden, erhält man die blaue.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras ist sicher einer der bekanntesten Sätze in der Mathematik.

    Dieser Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er sagt etwas über die Beziehung der beiden Katheten und der Hypotenuse zueinander aus.

    Was sind Katheten? Und was ist die Hypotenuse?

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden übrigen Seiten sind Katheten. Sie liegen dem rechten Winkel an.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  • Bestimme jeweils die Katheten und die Hypotenuse.

    Tipps

    Es genügt jeweils, sich die Hypotenuse klarzumachen. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

    Es gibt eine Hypotenuse und zwei Katheten.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Hier siehst du nochmal im Überblick die verschiedenen Bezeichnungen.

    Lösung

    Hier ist ein Überblick über ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen. Der rechte Winkel ist an dem Punkt zu erkennen.

    Die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Dies ist die längste Seite in dem Dreieck.

    Die beiden übrigen Seiten liegen dem rechten Winkel an. Das sind die Katheten.

    Es genügt also, sich zu überlegen, welche der Seiten die Hypotenuse ist. Die beiden übrigen sind die Katheten.

    Schauen wir uns die Dreiecke in den Aufgaben an. Der Einfachheit halber benennen wir nur die Hypotenusen. Diese haben die Seitenbenennung (von oben nach unten):

    • $b$,
    • $a$ und
    • $c$.

  • Leite zu jedem der Dreiecke den Satz des Pythagoras her.

    Tipps

    Mache dir zunächst jeweils klar, welche der Seiten die Hypotenuse ist. Diese liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Das Quadrat der Hypotenuse steht auf der rechten Seite der jeweiligen Gleichung allein.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Man macht sich also zunächst klar, welche Seiten Katheten sind und welche die Hypotenuse ist. Das Quadrat der Hypotenuse steht dann auf einer Seite allein.

    In dem oberen Dreieck ist die Hypotenuse $l$, also gilt $k^2+h^2=l^2$.

    In dem mittleren Dreieck ist die Hypotenuse $a$, also gilt $b^2+c^2=a^2$. Hier kann man auch gut erkennen, dass man sich den Satz des Pythagoras besser nicht mit $a^2+b^2=c^2$ merken sollte.

    In dem unteren Dreieck ist $k$ die Hypotenuse. Somit gilt $m^2+n^2=k^2$.

  • Beschreibe, was vorausgesetzt wird, damit der Satz des Pythagoras gilt.

    Tipps

    Hier ist der Satz des Pythagoras anschaulich.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    In welchen Dreiecken spricht man von Katheten und Hypotenuse?

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Lösung

    Oft wird auf die Frage nach dem Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ geantwortet. Doch stimmt dies sicher nicht immer.

    Zum einen müssen dann $a$, $b$ und $c$ Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck sein und zum anderen müssen $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse sein. In allen anderen Fällen ist die obige Aussage nicht richtig.

    Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, ist es deshalb sinnvoll, sich zunächst klarzumachen, welche der Seiten Katheten sind und welche Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und die Katheten an diesem an.

    Und dann lautet der Satz des Pythagoras:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

  • Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.

    Tipps

    Die drei Zahlen $3$, $4$ und $5$ erfüllen den Satz des Pythagoras. Ein solches Zahlentripel für drei Zahlen heißt pythagoreisches Zahlentripel.

    Wenn du ein pythagoreisches Zahlentripel gefunden hast, so hast du gleich unendlich viele weitere. Du musst jede Seitenlänge mit der gleichen Zahl multiplizieren.

    Wenn keine Gleichheit vorliegt, ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.

    Lösung

    Nun wurde der Satz des Pythagoras ausgiebig geübt:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Dieser Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Ansonsten spricht man auch nicht von Katheten und Hypotenuse.

    Umgekehrt sagt der Satz des Pythagoras auch: Wenn die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten eines Dreiecks gleich dem Quadrat der längsten Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

    Dies kann man sich recht gut an einem Dreieck mit den Seitenlängen $3$, $4$ und $5$ klarmachen.

    Es gilt $3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Wenn man sich ein solches Dreieck konstruiert, kann man erkennen, dass es einen rechten Winkel hat. Dieser liegt gegenüber der längsten Seite.

    • $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. Damit ist auch das Dreieck mit den Seiten $6$, $8$ und $10$ rechtwinklig.
    • Jedes Dreieck, dessen Seiten $3k$, $4k$ und $5k$ mit $k\in \mathbb{R^+}$ sind, ist rechtwinklig.
    • Das Dreieck mit den Seiten $4$, $12$ und $13$ ist ebenfalls rechtwinklig, da $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ist.
    • Das Dreieck mit den Seiten $8$, $15$ und $17$ ist auch rechtwinklig. Denn es gilt $8^2+15^2=64+225=289=17^2$.

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