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Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen

Herzlich willkommen zu einem weiteren Video zum Satz des Pythagoras. In diesem Video wollen wir folgendes Problem thematisieren: Angenommen es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, von dem die Länge einer der Katheten ( 4 dm ) und der Hypotenuse ( 5 dm ) bekannt sind. Gesucht wird nun die Länge der zweiten Kathete. Hierfür können wir nicht einfach den Satz des Pythagoras a² + b² = c² anwenden. Wir müssen stattdessen den Satz nach der gesuchten Kathete umformen.

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen

Hallo! Was du hier siehst, führt zu einer ganz normalen, häufig gebrauchten Anwendungsaufgabe, einer Grundaufgabe, die du mit dem Satz des Pythagoras lösen kannst. Und zwar ist hier ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Da ist der rechte Winkel, das ist die Bezeichnung für den rechten Winkel, da oben; dieser Strich mit dem Punkt drin. Eine Kathete ist 4 dm lang, hier, diese Hypotenuse, die dem rechten Winkel also gegenüberliegt, ist 5 dm lang, und wir suchen die Länge dieser Kathete. Ja, wie kann man das machen? Du erinnerst dich einfach daran, wie der Satz des Pythagoras lautet. Und zwar weißt du ja, dass er lautet: 1 Kathete2 + die andere Kathete2 = Hypotenuse2 Und das kannst du jetzt mit den Bezeichnungen, die du hier vorfindest, einfach hinschreiben. Die eine Kathete ist 4 dm lang, ich schreib die dm nicht hin, sondern einfach nur die 4. Also 42+. Die andere Kathete, die hier, heißt x. Also schreib ich x2 hin, ich weiß noch nicht, wie groß das ist, aber das ist auch normal, denn der Sinn dieser Aufgabe ist es ja, das x auszurechnen. Die Hypotenuse=5 und in dem Satz muss jetzt hier 52 auftauchen. Also, 1 Kathete2+ andere Kathete2 = Hypotenuse2 Und was ist jetzt entstanden? Eine ganz normale Gleichung, die du nach x auflösen kannst. Du brauchst jetzt hier in dem Moment übrigens nicht den Taschenrechner. Du brauchst nicht die Quadrate ausrechnen und so was, das ist Unsinn! Du musst bitte erst die Gleichung auflösen. Das macht man, man möchte ja das x jetzt alleine stehen haben. Man rechnet einfach -42. Und man bringt also alles auf die andere Seite, was nicht nach x aussieht, und hat jetzt hier auf der linken Seite x2 alleine stehen, und auf der rechten Seite steht 52-42. Auch das reicht noch nicht. Wir wollen ja nicht wissen, wie groß ist x2, sondern wir wollen wissen, wie groß ist x. Deshalb müssen wir auf beiden Seiten noch die Wurzel ziehen. Und das sieht dann so aus: die \sqrtx2=x, weil x positiv ist. Dann gilt das ja, die Wurzel aus einer..., du weißt, was ich meine, wir haben das ja bei den Wurzeln gemacht. Ich möchte das nicht noch mal formulieren, dann dauert das alles zu lange. Hier ist bitte wieder zu beachten, wir haben eine Summe auf der rechten Seite stehen, und wir möchten aus dieser gesamten Summe die Wurzel ziehen. Das geht nicht summandenweise, wir können nicht aus 52 die Wurzel ziehen und aus 42 die Wurzel ziehen und hinterher das Minuszeichen anwenden, sondern wir brauchen erst das Gesamtergebnis, und aus dem können wir die Wurzel ziehen. Das muss man jetzt nur noch ausrechnen. Wie immer ohne Taschenrechner, selbstverständlich. Und 52=25, 42=16. 25-16, das geht noch im Kopf, das ist also 9, \sqrt9=3. Und damit wissen wir, dass die Kathete, die hier mit x bezeichnet ist, gleich 3 dm ist. Ich möchte noch eben auf eine kleine Sache hinweisen, die öfter zu Schwierigkeiten führt. Ich habe hier in der Gleichung überall die dm weggelassen. Ich müsste jetzt noch einen Antwortsatz hinschreiben, in dem steht, die Kathete x=3 dm, oder ist 3 dm lang, das muss ich noch schreiben. Es wäre falsch, wenn ich jetzt hier einfach dm hinschreibe, denn hier sind Zahlen, da sind Zahlen, Zahlen, Zahlen. Und da können nicht plötzlich dm rauskommen, wenn ich mit Zahlen rechne, kommen auch Zahlen raus. Wenn ich mit dm rechne, kommen vielleicht dm raus, das geht, aber nicht aus Zahlen, und wenn ich mit Zahlen rechne, können nicht einfach dm rauskommen. Deshalb wäre es falsch, hier einfach dm hinzuschreiben. Aber, du schreibst ja einfach einen Antwortsatz, und dann ist die Wiese wieder grün. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. es geht:/

    Von Quyenlinhdao, vor mehr als 2 Jahren
  2. sehr hilfreich

    Von Annalena S., vor mehr als 4 Jahren
  3. vor der Wurzel muss doch + - stehen

    Von Toryali N., vor mehr als 4 Jahren
  4. Die Erklärung ist gut!

    Von Trio Schulz, vor etwa 5 Jahren
  5. Endlich habe ich es verstanden

    Von Bastian Gottbrath1, vor mehr als 5 Jahren

Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Zahlen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras auf.

    Tipps

    Beachte, dass du die Größen für $a$ und $b$, die Katheten, und $c$, die Hypotenuse, eintragen sollst, nicht die Quadrate.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Da die Hypotenuse die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck ist, steht das Quadrat der Hypotenuse alleine.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, muss man sich zunächst klar machen, welche Seiten die Katheten darstellen und welche die Hypotenuse ist.

    Hier hat eine Kathete die Länge $4~dm$, die Länge der anderen Kathete $x$ ist unbekannt.

    Die Hypotenuse hat die Länge $5~dm$.

    Somit lautet der Satz des Pythagoras ohne Längeneinheiten:

    $4^2+x^2=5^2$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Seite $x$.

    Tipps

    Wenn du den Satz des Pythagoras verwendest, hast du eine Unbekannte.

    Forme den Satz nach dieser Unbekannten um.

    Beachte beim Wurzelziehen einer Differenz, dass du zunächst die Differenz berechnen musst.

    Du kannst mit deinem Ergebnis eine Probe durchführen.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras, ohne Längeneinheiten, lautet hier:

    $4^2+x^2=5^2$.

    Durch Subtraktion von $4^2$ auf beiden Seiten gelangt man zu

    $x^2=5^2-4^2$.

    Um $x$ zu erhalten, muss man die Wurzel ziehen

    $x=\sqrt{5^2-4^2}$.

    Der Term unter der Wurzel ist $9$ und somit ist $x=3$.

    Die fehlende Seite hat also die Länge $3~dm$.

  • Prüfe, für welche Länge der fehlenden Seite $x$ das Dreieck rechtwinklig ist.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Das Bild lässt vermuten, dass $x$ die Hypotenuse ist.

    $x$ könnte theoretisch auch eine Kathete sein. Dann müsste $x\approx5,3~cm$ lang sein.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Lösung

    In dem oben abgebildeten Dreieck ist die Hypotenuse gesucht. Die Längen der beiden Katheten sind bekannt.

    Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras, ohne Längeneinheiten:

    $6^2+8^2=x^2$.

    Die Summe der Quadrate ergibt

    $100=x^2$.

    Nun kann man die Wurzel ziehen und erhält

    $x=10$.

    Wenn die fehlende Seite die Länge $10~cm$ hat, handelt es sich bei dem abgebildeten Dreieck tatsächlich um ein rechtwinkliges Dreieck.

    Der Satz des Pythagoras besagt auch: Wenn die Summe der Quadrate zweier Seiten eines Dreiecks das Quadrat der dritten Seite ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

  • Erkläre, wie die fehlenden Seiten $x$ und $y$ berechnet werden können.

    Tipps

    Du kannst nur eine von drei Größen berechnen, wenn du bereits zwei kennst.

    Mit welchem der beiden rechtwinkligen Dreiecke, dem blauen oder dem grünen, musst du beginnen?

    Du kannst den Satz des Pythagoras zweimal verwenden.

    Mache dir dafür jeweils die Katheten und Hypotenuse klar.

    $x$ ist in dem blauen Dreieck die Hypotenuse und in dem grünen eine Kathete.

    Lösung

    Da in dem grünen Dreieck zwei Seiten unbekannt sind, kann man in diesem noch nicht eine der fehlenden Seiten berechnen.

    In dem blauen Dreieck sind die beiden Kathetenlängen gegeben. Damit kann dann die Hypotenuse $x$ wie folgt berechnet werden:

    $5^2+4,5^2=x^2$.

    Durch Ziehen der Wurzel aus der Summe links erhält man

    $x\approx5,2$.

    Da nun in dem grünen Dreieck zwei Seitenlängen, die der Hypotenuse und die von einer Kathete, bekannt sind, kann wiederum der Satz des Pythagoras angewendet werden:

    $y^2+5,2^2=7,5^2$.

    Dieses Mal muss noch nach der Unbekannten umgestellt werden. Durch Subtraktion von $5,2^2$ auf beiden Seiten sowie Ziehen der Wurzel erhält man:

    $y=\sqrt{7,5^2-5,2^2}\approx 5,4$.

  • Gib den Satz des Pythagoras wieder.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Dies ist die längste Seite.

    Es gibt zwei Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Was kannst du daraus für das Hypotenusenquadrat schließen?

    Der Satz der Pythagoras wird oft in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist angegeben mit: $a^2+b^2=c^2$.

    Dies ist nur bedingt richtig. Es muss gelten:

    • $a$, $b$ und $c$ sind Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und
    • $c$ ist die Hypotenuse.
    Man kann sich den Satz des Pythagoras auch in der Form:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    merken. Durch die Angabe von Katheten und Hypotenusen muss es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, da diese Seite nur in einem solchen Dreieck so bezeichnet werden.

  • Erschließe die Höhe, in welcher sich der Hubschrauber befindet.

    Tipps

    Fertige eine Skizze an.

    Gehe davon aus, dass sich Paula und Paul auf einer Strecke befinden, auf welche die Strecke von Paula zu dem Hubschrauber senkrecht steht.

    Deine Skizze zeigt ein rechtwinkliges Dreieck. Die gesuchte Höhe ist eine Kathete in diesem Dreieck.

    Die Länge der Hypotenuse in diesem Dreieck beträgt $850~\text{m}$.

    Verwende den Satz des Pythagoras.

    Lösung

    So sieht eine mögliche Skizze aus. Dabei sind die Maßstäbe nicht wichtig, sondern nur die Bedeutung der Seiten (Kathete oder Hypotenuse). Bekannt sind die Längen der Hypotenuse sowie eine Kathete. Gesucht ist die Länge der zweiten Kathete, die Höhe, in welcher der Hubschrauber sich befindet. Diese sei $h$:

    $h^2+400^2=850^2$.

    Nun kann man auf beiden Seiten $400^2$ subtrahieren und die Wurzel ziehen:

    $h=\sqrt{850^2-400^2}=750$.

    Das bedeutet, dass der Hubschrauber sich in $750~\text{m}$ Höhe über Paula befindet.

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