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Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen

Herzlich willkommen zu meinem Übungsvideo zum Satz des Pythagoras a² + b² = c². Im Video ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Katheten werden mit dem Variablen p und s und die Hypotenuse mit der Variable q bezeichnet. Bekannt ist außerdem, dass q = 5 dm lang ist und s = 3 dm lang ist. Gesucht ist die fehlende Länge der zweiten Kathete. Eine Schwierigkeit der Aufgabe besteht darin, sich nicht durch die Variablen durcheinanderbringen zu lassen. Die andere besteht darin, den Satz des Pythagoras umzustellen.

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen

Hallo! Wenn Du den Satz des Pythagoras behandelst, kannst Du vor folgender Aufgabe stehen. Die Dreieckseiten heißen s, p und q. Es geht um ein rechtwinkliges Dreieck. 2 Dreiecksseiten sind gegeben, und zwar q und s und du sollst bitte die 3. Dreiecksseite, in diesem Fall p, ausrechnen.  Das geht mit dem Satz des Pythagoras, weil hier ein rechter Winkel ist. Das ist die Voraussetzung, deshalb kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden. Dann kramst Du also in Deinem Gedächtnis und versuchst den Satz des Pythagoras auf die Reihe zu kriegen. Der Satz des Pythagoras heißt ja normalerweise mit den Variablen a²+b² =c² und Du siehst ja hier, dass die 3 Seiten weder a, b, noch c heißen, deshalb musst Du diesen Satz hier, den Satz des Pythagoras anders hinschreiben, und zwar mit den Bezeichnungen, die hier stehen. Das a und das b in der gebräuchlichen Formel des Satzes des Pythagoras stehen für Katheten, a und b stehen für Katheten. Die beiden Katheten, also die Seiten, die am rechten Winkel dranliegen, heißen hier p und s. Also können wir schreiben: p²+s²=, naja es bleibt nur noch eine übrig, es ist die Hypotenuse, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber, also =q². Das ist also die Form des Satzes des Pythagoras, die wir hier brauchen und wir möchten wissen, wie groß p ist. Deshalb müssen wir diese Gleichung hier nach p umformen. Wir bringen alles auf die andere Seite, was hier auf der linken Seite nicht nach p aussieht, und zwar, indem wir rechnen -s². Das darf man machen, dann steht hier auf der Seite noch p² und auf der rechten Seite steht dann q²-s². Als dann, wir wollen ja wissen, wie groß p ist und nicht, wie groß p² ist, müssen wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Die ? p²=p, weil p positiv ist. Die Wurzel aus der rechten Seite müssen wir bitte als Ganzes schreiben. Du kannst, ich sage es noch mal, auch wenn es Dich vielleicht nervt, es kommt immer wieder vor in den Fehlern, deshalb sage ich das. Also, wenn Du die Wurzel aus der rechten Seite ziehen willst, muss diese ganze rechte Seite unter diese Wurzel. Es geht nicht, dass Du aus q² die Wurzel ziehst und aus s² die Wurzel ziehst und dann hinterher die Subtraktion durchführst. Also, deshalb kommt alles unter die Wurzel. Bitte sehr, q²-s² kommt unter die Wurzel, das ist kein Problem, das darf man so schreiben. Und jetzt können wir die Zahlen einsetzen und dann alles direkt ausrechnen. Wir haben also jetzt p= die Wurzel aus, ja wie groß ist q? q ist 5 dm, die dm lasse ich wieder weg, das kommt hinterher in den Antwortsatz, dass es sich um dm handelt. Du kannst die dm auch dazuschreiben, aber dann musst Du sie auch mit quadrieren. Ich finde, das ist ein bisschen aufwendig immer, aber Du kannst es auch natürlich so machen, wenn Du hier statt 5, 5dm schreibst, eine Klammer drum und quadrieren.Das ist völlig okay. s ist 3 dm lang, also muss ich hier 3² schreiben und das sollte Dich bitte nicht aus der Ruhe bringen und nicht zum Griff zum Taschenrechner veranlassen, höchstens um ihn wegzuwerfen. 5²=25, 3²=9, das darfst Du bitte auch ohne Taschenrechner wissen. 25-9 ist Grundschulmathematik, das können wir noch im Kopf, es ist 16. ?16=4 und damit ist die Antwort, dass p=4dm lang ist. Das kommt hier noch in den Antwortsatz hin: p, die Kathete p=4dm lang. Das spar ich mir jetzt. Ein Hinweis noch, wenn hier Zahlen sind, muss hier auch eine Zahl stehen. Es wäre falsch, hier einfach dm hinzuschreiben, denn wenn hier keine dm sind, können nicht dort plötzlich dm auftauchen. Hier steht nur die Zahl 4 und das ist richtig so und das ist gut so und damit ist die Aufgabe richtig gelöst. Ja, ich hoffe, Du hattest genauso viel Spaß damit. Bis bald, tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. An Reyrarey:
    Hier rechnet man Minus , weil man nicht die Hypotenuse , sondern die Kathete p sucht .
    Um sie zu finden, muss man den Satz des Pythagoras umzustellen . Wenn man eine Formel , Gleichung umstellt, muss man das mathematische Zeichen ändern . Das heißt aus Plus wird Minus : )

    Von Marta Wojewska, vor etwa 2 Jahren
  2. Warum muss man hier Minus rechnen anstatt wie gehabt Plus?

    Von Reyrarey, vor etwa 2 Jahren
  3. Naja, die Übungen sind recht leicht...

    Von Leos, vor fast 4 Jahren
  4. Es ist sehr gut um alles grundsätzlich zu lernen.

    Von Samanyolu, vor mehr als 6 Jahren
  5. sehr gutes video! aber du solltest bei deinen Fragen ein bisschen anspruchsvoller werden

    Von Hanglethanh01 1, vor mehr als 7 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit Variablen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle den Satz des Pythagoras mit Variablen auf.

    Tipps

    Wenn du die Katheten kennst, kennst du automatisch auch die Hypotenuse. Dies ist die verbleibende Seite.

    Dies gilt auch umgekehrt.

    Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck liegen dem rechten Winkel an.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben.

    Aber was macht man, wenn die Seiten anders bezeichnet sind?

    In der obigen Schreibweise sind $a$ und $b$ die Katheten, $c$ ist die Hypotenuse.

    In dem abgebildeten Dreieck sind $p$ und $s$ die Katheten. Dies erkennt man daran, dass sie dem rechten Winkel anliegen.

    Die verbleibende Seite ist $q$, diese liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist somit die Hypotenuse.

    Also lautet der Satz des Pythagoras hier

    $p^2+s^2=q^2$.

    Dies ist äquivalent zu

    $p^2=q^2-s^2$.

  • Berechne die fehlende Seite $p$.

    Tipps

    $p$ steht in der obigen Formel nicht alleine.

    Welche Größen sind bekannt?

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $p^2+s^2=q^2$.

    Wenn $q=5~dm$ und $s=3~dm$ bekannt sind, muss die Gleichung nach $p$ durch Subtraktion von $s^2$ umgestellt werden zu

    $p^2=q^2-s^2$.

    Da nicht $p^2$, sondern $p$ berechnet werden soll, muss man die Wurzel ziehen:

    $p=\sqrt{q^2-s^2}$.

    Nun kann man die bekannten Größen ohne Längeneinheiten einsetzen:

    $p=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.

    Die fehlende Kathete hat die Länge $4~dm$.

  • Leite den Satz des Pythagoras an den folgenden Beispielen her.

    Tipps

    Die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse.

    Die beiden übrigen Seiten, diese liegen dem rechten Winkel an, sind die Katheten.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Wie kann man sich merken, welche Seiten im rechtwinkligen Dreieck die Katheten sind und welche die Hypotenuse ist?

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die längste Seite im Dreieck.
    • Die beiden Seiten, die dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten.
    Der Satz des Pythagoras besagt: Wenn man die Kathetenlängen quadriert und die Quadrate addiert, erhält man die quadrierte Hypotenusenlänge.

    Bei dem oberen Dreieck bedeutet dies: Die Katheten sind $e$ und $f$ und die Hypotenuse ist $b$: $e^2+f^2=b^2$.

    Bei dem unteren Dreieck bedeutet dies: Die Katheten sind $k$ und $h$ und die Hypotenuse ist $l$: $k^2+h^2=l^2$.

  • Bestimme die Länge der fehlenden Seite.

    Tipps

    Gesucht ist die Länge einer Kathete. Die Gleichung muss umgestellt werden.

    Du kannst die Rechnungen ohne Längeneinheiten durchführen.

    Vergiss im Antwortsatz die Angabe der Längeneinheit nicht.

    Lösung

    In dem abgebildeten Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $k^2+h^2=l^2$.

    Die beiden Längen $k=4~cm$ und $l=8~cm$ sind gegeben. Um die fehlende Länge $h$ zu berechnen, wird diese Gleichung nach $h$ umgestellt zu

    $h^2=l^2-k^2$.

    Nun wird die Wurzel gezogen:

    $h=\sqrt{l^2-k^2}$.

    Jetzt kann man die bekannten Größen ohne Längeneinheiten einsetzen:

    $h=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\cdot\sqrt3\approx 6,93$.

    Die fehlende Kathete hat die Länge $6,93~cm$.

  • Beschrifte die Größen in dem Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck haben spezielle Namen.

    Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Die Katheten liegen dem rechten Winkel an, die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist angegeben mit: $a^2+b^2=c^2$.

    Dies ist nur bedingt richtig. Es muss zusätzlich gelten:

    • $a$, $b$ und $c$ sind Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und
    • $c$ ist die Hypotenuse, $a$ und $b$ sind Katheten.
    Man kann sich den Satz des Pythagoras auch in der Form:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    merken.

  • Berechne die Höhe des Kirchturms.

    Tipps

    Fertige dir eine Skizze an. Paul ist ein Eckpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Die Höhe des Kirchturms stellt eine Kathete dar.

    Stelle mit den gegebenen Werten den Satz des Pythagoras auf und forme diesen nach der fehlenden Größe um.

    Lösung

    So könnte eine Skizze zu der Aufgabe aussehen.

    Bekannt ist eine Kathetenlänge $400~m$ und die Hypotenusenlänge $410~m$. Die Höhe $h$ ist gesucht.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

    $h^2+400^2=410^2$.

    Durch Subtraktion von $400^2$ auf beiden Seiten gelangt man zu

    $h^2=410^2-400^2=8100$.

    Nun kann man die Wurzel ziehen und erhält $h=90$.

    Die Höhe des Kirchturms beträgt $90~m$.

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