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Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit anderen Variablen

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit anderen Variablen
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit anderen Variablen

Herzlich willkommen zu meinem Übungsvideo zum Satz des Pythagoras a² + b² = c². Im Video ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c gegeben. Es ist außerdem bekannt, dass a 5 dm lang ist und b 3 dm lang ist. Gesucht ist die fehlende Länge der Seite c. , Bevor du nun aber blind losrechnest, solltest du einmal überprüfen, welche Seiten bei dem Dreieck die Katheten und welche Seite die Hypotenuse darstellen. Überlege dann, wie du die Werte in den Satz des Pythagoras einsetzt und die fehlende Länge berechnen kannst.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Bozena,

    vielen Dank für deine aufmerksame Beobachtung. Wir haben den Fehler behoben.

    Viele Grüße, Felix

    Von Felix T., vor mehr als 4 Jahren
  2. Bei Aufgabe2 gibt es einen Fehler bei der Gleichung

    Von Bozena Fournier, vor mehr als 4 Jahren
  3. Ich fand das mit der Grün toll (es ist doch eh besser, allumfassend und allzeit zu lernen, auch wenn es mal eher die Physik (Farblehre) betrifft, lächeI).

    Von Juliane Viola D., vor mehr als 5 Jahren
  4. Das mit der grün war unnötig

    Von Julia Lo, vor mehr als 8 Jahren
  5. toll :-)

    Von Julia Lo, vor mehr als 8 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit anderen Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 2 mit anderen Variablen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Satz des Pythagoras an dem dargestellten Dreieck an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Dei beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an. Die Hypotenuse ist die dritte Seite.

    Lösung

    Wie kann man sich merken, welche Seiten im rechtwinkligen Dreieck die Katheten sind und welche die Hypotenuse?

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die längste Seite im Dreieck.
    • Die beiden Seiten, die dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten.
    Der Satz des Pythagoras besagt: Wenn man die Kathetenlängen quadriert und die Quadrate addiert erhält man die quadrierte Hypotenusenlänge.

    Bei dem hier zu sehenden Dreieck bedeutet dies: Die Katheten sind $b$ und $c$ und die Hypotenuse $a$: $b^2+c^2=a^2$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Kathete.

    Tipps

    Eine Kathete ist unbekannt.

    Forme die Gleichung nach der fehlenden Kathete um.

    Setze die bekannten Größen in die Gleichung ein, um die fehlende Kathete zu berechnen.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $b^2+c^2=a^2$.

    Wenn $a=5~dm$ und $b=3~dm$ bekannt sind, muss die Gleichung nach $c$ durch Subtraktion von $b^2$ umgestellt werden zu

    $c^2=a^2-b^2$.

    Nun kann man die Wurzel ziehen:

    $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

    Nun kann man die bekannten Größen, ohne Längeneinheiten, einsetzen:

    $c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.

    Die fehlende Kathete hat die Länge $4~dm$.

  • Wende den Satz des Pythagoras auf die angegebenen Beispiele an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras lautet $a^2+b^2=c^2$.

    Dabei

    • sind $a$ und $b$ die Katheten und
    • $c$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Seite $i$ gehört zu beiden Dreiecken. In dem einen ist sie eine Kathete, in dem anderen die Hypotenuse.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras lautet: $a^2+b^2=c^2$. Dabei sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Wie kann man sich merken, welche Seiten im rechtwinkligen Dreieck die Katheten sind und welche die Hypotenuse?

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die längste Seite im Dreieck.
    • Die beiden Seiten, die dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten.
    Bei dem grünen Dreieck bedeutet dies: Die Katheten sind $g$ und $h$ und die Hypotenuse $i$: $g^2+h^2=i^2$.

    Bei dem roten Dreieck bedeutet dies: Die Katheten sind $i$ und $j$ und die Hypotenuse $k$: $i^2+j^2=k^2$.

  • Berechne die Länge der Seite $j$.

    Tipps

    Wenn die Hypotenuse unbekannt ist, muss die Formel nach dem Satz des Pythagoras nicht umgestellt werden.

    Wenn eine Kathete unbekannt ist, muss die Formel nach dem Satz des Pythagoras umgestellt werden.

    Lösung

    In dem grünen Dreieck sind die Katheten $g=5$ und $h=12$ bekannt. Die Hypotenuse ist unbekannt. Die Formel nach dem Satz des Pythagoras muss nicht umgestellt werden:

    $i^2=5^2+12^2=25+144=169$.

    Nun kann man die Wurzel ziehen: $i=13$.

    In dem roten Dreieck ist eine Kathete $j$ unbekannt; die Formel nach dem Satz des Pythagoras muss umgestellt werden:

    $\begin{align*} i^2+j^2&=k^2 &|& -i^2\\ j^2&=k^2-i^2. \end{align*}$

    Durch Ziehen der Wurzel erhält man $j=\sqrt{k^2-i^2}$.

    Nun können die bereits bekannten Größen eingesetzt werden:

    $j=\sqrt{16^2-13^2}=\sqrt{87}$.

  • Nenne den Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

    Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken haben spezielle Namen.

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist in der oben angegeben Form

    $a^2+b^2=c^2$

    genannt. Wichtig dabei ist:

    • Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
    • $a$ und $b$ sind Katheten und
    • $c$ ist die Hypotenuse des Dreiecks.
    Der Satz des Pythagoras besagt: Wenn man die Längen der Katheten quadriert und die Quadrate addiert, erhält man das Quadrat der Hypotenusenlänge.

  • Berechne die Länge der Seiten eines Quadrates.

    Tipps

    Die Diagonale eines Quadrates teilt dieses in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

    Die rechtwinkligen Dreiecke sind gleichschenklig.

    Lösung

    Die grün eingezeichnete Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke.

    Es gilt mit dem Satz des Pythagoras

    $x^2+x^2=8^2$. Dies ist äquivalent zu $2x^2=64$.

    Durch Division durch $2$ kommt man zu $x^2=32$. Nun kann die Wurzel gezogen werden und man erhält

    $x=\sqrt{32}=4\cdot \sqrt2\approx 5,7$.

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