Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2)

Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2) Übung

• Ergänze den Satz des Pythagoras an dem gezeigten Dreieck.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

  Du kannst beim Satz des Pythagoras die Längeneinheiten weglassen.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Er wird oft in der Form $a^2+b^2=c^2$ aufgeschrieben.

  Hier sind die Katheten die Seiten mit den Längen $3~dm$ sowie $4~dm$. Die Länge der Hypotenuse ist unbekannt.

  Somit lautet der Satz des Pythagoras hier - ohne Längeneinheiten - $3^2+4^2=x^2$.

• Berechne die Länge der fehlenden Seite $x$.

  Tipps

  Da du $x$ suchst und nicht $x^2$, musst du die Wurzel ziehen.

  Du kannst die Rechnung ohne Einheiten durchführen:

  Vergesse bei deinem Antwortsatz die Einheit nicht.

  Lösung

  In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras $3^2+4^2=x^2$. Die Maßeinheiten können beim Rechnen weggelassen werden. Jedoch muss der Antwortsatz mit der Maßeinheit formuliert werden.

  $\begin{align*} 3^2+4^2&=x^2&|&\sqrt{}\\ \sqrt{3^2+4^2}&=x\\ \sqrt{9+16}&=x\\ \sqrt{25}&=x\\ 5&=x. \end{align*}$

  Die gesuchte Seite hat die Länge $5~dm$.

• Stelle an den Beispielen den Satz des Pythagoras auf.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite in dem Dreieck.

  Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

  Lösung

  Der Satz des Pythagoras wird meist in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. So gilt dieser Satz allerdings nur in einem der oben angegebenen Dreiecke.

  Genauer lautet der Satz des Pythagoras: Wenn man die Seitenlängen der Katheten quadriert und diese Quadrate addiert, erhält man den gleichen Wert wie das Quadrat der Hypotenusenlänge.

  Man kann sich das auch so merken, dass die Seite, welche in dem Satz des Pythagoras alleine steht, die Hypotenuse ist.

  • Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
  • Die Katheten sind die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten.

  1. Es gilt $a^2+b^2=c^2$.
  2. Es gilt $b^2+c^2=a^2$.
  3. Es gilt $a^2+c^2=b^2$.

• Leite die fehlenden Größen her.

  Tipps

  Beachte: Es müssen zwei Seiten bekannt sein, um eine dritte zu berechnen.

  Wenn du mit dem einen Dreieck die eine fehlende Seite berechnet hast, kannst du die letzte fehlende Seite in dem anderen Dreieck berechnen.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Lösung

  Bei den gegebenen Größen $k=100$, $j=36$ und $h=\sqrt{48}$ muss man mit dem oberen, roten Dreieck beginnen, da im dem grünen nur eine Seitenlänge bekannt ist.

  Es gilt in dem roten Dreieck nach dem Satz des Pythagoras:

  $i^2+6^2=10^2$.

  Dies kann nach $i^2$ umgeformt werden und dann wird die Wurzel gezogen:

  $i=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$.

  Diese Größe kann in dem grünen Dreieck verwendet werden:

  $g^2+\sqrt{48}^2=8^2$.

  Auch diese Gleichung wird nach der unbekannten Größe umgestellt und die Wurzel gezogen:

  $g=\sqrt{64-48}=\sqrt{16}=4$.

• Beschrifte die Seiten des Dreiecks.

  Tipps

  Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Dies ist die längste Seite. Diese hat einen speziellen Namen.

  Die beiden anderen Seiten haben den gleich Namen.

  Lösung

  Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, muss man sich zunächst klar machen, welche der Seiten Kathete und welche Hypotenuse sind.

  • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite im Dreieck. Im obigen Bild ist dies die unbekannte Seite.
  • Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Katheten.

• Berechne die Länge der zurückgelegten Strecke.

  Tipps

  Fertige dir eine Skizze an und verwende den Satz des Pythagoras.

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel gleich lang. Können diese die Hypotenuse sein?

  Du erhältst eine Gleichung der Form $2a^2=b^2$.

  Für die gesuchte Strecke muss dann $u=2a+b$ berechnet werden. Berechne den Umfang $u$mit der gerundeten Seitenlänge $a$ mit einer Stelle nach dem Komma.

  Lösung

  Von dem Dreieck ist nur eine Seitenlänge, die der Hypotenuse, bekannt. Wie sollen dann zwei unbekannte Seitenlängen berechnet werden?

  Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, kann man wie folgt beginnen, um die fehlende Seitenlänge zu berechnen:

  $a^2+a^2=2,6^2$.

  Dies ist äquivalent zu $2a^2=2,6^2$. Dies kann nach $a$ umgeformt werden:

  $\begin{align*} 2a^2&=2,6^2&|&:2\\ a^2&=\frac{2,6^2}2&|&\sqrt{}\\ a&=\sqrt{\frac{2,6^2}2}\\ &=\sqrt{3,38}\approx1,8. \end{align*}$

  Die beiden gleich langen Schenkel haben also jeweils die Länge $1,8~km$. Somit kann die Gesamtlänge der Strecke berechnet werden:

  $2\cdot1,8~km+2,6~km=6,2~km$.

  Das Flugzeug legt eine Strecke mit einer Gesamtlänge von $6,2~km$ zurück.