Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2) 04:37 min

Hallo. Nachdem wir uns überzeugt haben, dass wir auf dieses Dreieck hier und auf diese Situation den Satz des Pythagoras anwenden können, um x auszurechnen, möchte ich jetzt mal zeigen, wie man das konkret machen kann. Wir wissen ja: Wir können die eine Seitenlänge der Kathete, also hier die 3, quadrieren. Wir können die andere Seitenlänge dieser Kathete auch quadrieren, also das ist 4 zum Quadrat. Ich schreibe die Dezimeter übrigens nicht hin, hier in meinen Berechnungen. Das braucht man nicht unbedingt, wenn man sich hinterher klar macht, dass das, was raus kommt, auch wieder Dezimeter sind. Ansonsten müssten wir die Einheiten hier quadrieren und dann wieder die Wurzel ziehen, das finde ich ein bisschen umständlich. Also ich meine die Zahlen reichen. Das eine Kathetenquadrat und das andere Kathetenquadrat, das können wir addieren. Und heraus kommt das Hypotenusenquadrat, also diese Hypotenuse, die hier x heißt zum Quadrat. Das ist also unsere Ausgangsgleichung und da holen viele Leute schon mal den Taschenrechner raus, um ihn dann natürlich wegzuschmeißen, was denn sonst. Und das habe ich auch getan. Hier brauchen wir keinen Taschenrechner, denn es muss hier erst mal die Gleichung umgeformt werden, bevor überhaupt etwas ausgerechnet wird. Wir möchten wissen, wie groß x ist. Wir möchten nicht unbedingt wissen wie groß x² ist. Um herauszufinden, wie groß x ist, brauchen wir eine Äquivalenzumformung. Wir müssen also die Wurzel ziehen aus beiden Seiten der Gleichung und das bedeutet auf dieser gesamten linken Seite hier müssen wir die Wurzel ziehen. Das ist also die Wurzel aus 3² + 4². Ich sag's noch mal. Ich hab es in der Potenzrechnung schon mal gesagt: Man kann nicht aus den Summanden hier einzeln die Wurzeln ziehen. Wenn man hier die Wurzel aus der gesamten linken Seite ziehen möchte, dann ist es was Anderes, als die Wurzel aus 3² + Wurzel aus 4². Du musst bitte die gesamte Summe unter die Wurzel schreiben, dann erst die Summe ausrechnen und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen. Es ist eben nicht anders möglich, ansonsten wäre es falsch. Wir können aus x² auch die Wurzel ziehen. Ich schreib das hier noch mal extra hin. Und da das x sowieso nur positiv sein kann, wenn es hier in diesem Bereich sinnvoll sein soll, können wir also ein Potenzgesetz anwenden und wir wissen dann, dass die Wurzel aus x² = x ist. So. Und jetzt geht es los mit dem Ausrechnen. Wir können diesen Term hier ausrechnen und wissen dann, wie groß x ist. Dazu braucht man auch keinen Taschenrechner, selbstverständlich. Wir wissen nämlich, dass die Wurzel aus 9, 3² ist 9, plus 4², das ist 16, gleich der Wurzel aus 25 ist. Und zwar einfach deshalb, weil 9+16=25. Die Wurzel aus 25 ist 5. Und damit wissen wir, dass x=5 ist. Du siehst hier: Ich schreibe manches nebeneinander. Man muss nicht alles untereinander schreiben, das ist einfach nicht nötig. So haben wir jetzt das Ergebnis gefunden. Wir wissen jetzt, dass x, also die Länge der Hypotenuse = 5dm lang ist. Das haben wir jetzt mit dem Satz des Pythagoras herausgefunden. Ich hoffe du hattest das genau so. Also, viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.