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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2)

Im ersten Teil des Videos haben wir uns davon überzeugt, dass es sich bei dem vorliegenden Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und wir deshalb den Satz des Pythagoras anwenden können. Gegeben haben wir eine Kathete mit einer Länge von 3 dm und eine Kathete mit einer Länge von 4 dm. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse des Dreiecks. Dazu brauchen wir den Satz des Pythagoras: Kathete ² + Kathete ² = Hypotenuse ². Auf unser Beispiel angewandt, bedeutet das (3 dm)² + (4 dm)² = x².

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2)

Hallo. Nachdem wir uns überzeugt haben, dass wir auf dieses Dreieck hier und auf diese Situation den Satz des Pythagoras anwenden können, um x auszurechnen, möchte ich jetzt mal zeigen, wie man das konkret machen kann. Wir wissen ja: Wir können die eine Seitenlänge der Kathete, also hier die 3, quadrieren. Wir können die andere Seitenlänge dieser Kathete auch quadrieren, also das ist 4 zum Quadrat. Ich schreibe die Dezimeter übrigens nicht hin, hier in meinen Berechnungen. Das braucht man nicht unbedingt, wenn man sich hinterher klar macht, dass das, was raus kommt, auch wieder Dezimeter sind. Ansonsten müssten wir die Einheiten hier quadrieren und dann wieder die Wurzel ziehen, das finde ich ein bisschen umständlich. Also ich meine die Zahlen reichen. Das eine Kathetenquadrat und das andere Kathetenquadrat, das können wir addieren. Und heraus kommt das Hypotenusenquadrat, also diese Hypotenuse, die hier x heißt zum Quadrat. Das ist also unsere Ausgangsgleichung und da holen viele Leute schon mal den Taschenrechner raus, um ihn dann natürlich wegzuschmeißen, was denn sonst. Und das habe ich auch getan. Hier brauchen wir keinen Taschenrechner, denn es muss hier erst mal die Gleichung umgeformt werden, bevor überhaupt etwas ausgerechnet wird. Wir möchten wissen, wie groß x ist. Wir möchten nicht unbedingt wissen wie groß x2 ist. Um herauszufinden, wie groß x ist, brauchen wir eine Äquivalenzumformung. Wir müssen also die Wurzel ziehen aus beiden Seiten der Gleichung und das bedeutet auf dieser gesamten linken Seite hier müssen wir die Wurzel ziehen. Das ist also die Wurzel aus 32 + 42. Ich sag's noch mal. Ich hab es in der Potenzrechnung schon mal gesagt: Man kann nicht aus den Summanden hier einzeln die Wurzeln ziehen. Wenn man hier die Wurzel aus der gesamten linken Seite ziehen möchte, dann ist es was Anderes, als die Wurzel aus 32 + Wurzel aus 42. Du musst bitte die gesamte Summe unter die Wurzel schreiben, dann erst die Summe ausrechnen und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen. Es ist eben nicht anders möglich, ansonsten wäre es falsch. Wir können aus x2 auch die Wurzel ziehen. Ich schreib das hier noch mal extra hin. Und da das x sowieso nur positiv sein kann, wenn es hier in diesem Bereich sinnvoll sein soll, können wir also ein Potenzgesetz anwenden und wir wissen dann, dass die Wurzel aus x2 = x ist. So. Und jetzt geht es los mit dem Ausrechnen. Wir können diesen Term hier ausrechnen und wissen dann, wie groß x ist. Dazu braucht man auch keinen Taschenrechner, selbstverständlich. Wir wissen nämlich, dass die Wurzel aus 9, 32 ist 9, plus 42, das ist 16, gleich der Wurzel aus 25 ist. Und zwar einfach deshalb, weil 9+16=25. Die Wurzel aus 25 ist 5. Und damit wissen wir, dass x=5 ist. Du siehst hier: Ich schreibe manches nebeneinander. Man muss nicht alles untereinander schreiben, das ist einfach nicht nötig. So haben wir jetzt das Ergebnis gefunden. Wir wissen jetzt, dass x, also die Länge der Hypotenuse = 5dm lang ist. Das haben wir jetzt mit dem Satz des Pythagoras herausgefunden. Ich hoffe du hattest das genau so. Also, viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Şehr gut erklärt.

    Von Reyrarey, vor etwa 2 Jahren
  2. Ich weiß dass wir den Taschenrechner nicht brauchen. Trotzdem würde ich den Taschenrechner schonen falls du ihn mal in einem Video brauchst. :-) TROTZDEM TOLLES VIDEO!!!!!

    Von Chiaram2006, vor mehr als 2 Jahren
  3. gutes video
    danke

    Von Jean W., vor mehr als 2 Jahren
  4. wirklich klasse ...
    war in der Schuli trotzdem nicht so gut :(

    Von Steffi Plochmann, vor mehr als 3 Jahren
  5. klass, otchen choroscho!!!

    Von Dietrich K., vor fast 4 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Satz des Pythagoras an dem gezeigten Dreieck.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Du kannst beim Satz des Pythagoras die Längeneinheiten weglassen.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Er wird oft in der Form $a^2+b^2=c^2$ aufgeschrieben.

    Hier sind die Katheten die Seiten mit den Längen $3~dm$ sowie $4~dm$. Die Länge der Hypotenuse ist unbekannt.

    Somit lautet der Satz des Pythagoras hier - ohne Längeneinheiten - $3^2+4^2=x^2$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Seite $x$.

    Tipps

    Da du $x$ suchst und nicht $x^2$, musst du die Wurzel ziehen.

    Du kannst die Rechnung ohne Einheiten durchführen:

    Vergesse bei deinem Antwortsatz die Einheit nicht.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras $3^2+4^2=x^2$. Die Maßeinheiten können beim Rechnen weggelassen werden. Jedoch muss der Antwortsatz mit der Maßeinheit formuliert werden.

    $\begin{align*} 3^2+4^2&=x^2&|&\sqrt{}\\ \sqrt{3^2+4^2}&=x\\ \sqrt{9+16}&=x\\ \sqrt{25}&=x\\ 5&=x. \end{align*}$

    Die gesuchte Seite hat die Länge $5~dm$.

  • Stelle an den Beispielen den Satz des Pythagoras auf.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite in dem Dreieck.

    Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. So gilt dieser Satz allerdings nur in einem der oben angegebenen Dreiecke.

    Genauer lautet der Satz des Pythagoras: Wenn man die Seitenlängen der Katheten quadriert und diese Quadrate addiert, erhält man den gleichen Wert wie das Quadrat der Hypotenusenlänge.

    Man kann sich das auch so merken, dass die Seite, welche in dem Satz des Pythagoras alleine steht, die Hypotenuse ist.

    • Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
    • Die Katheten sind die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten.
    1. Es gilt $a^2+b^2=c^2$.
    2. Es gilt $b^2+c^2=a^2$.
    3. Es gilt $a^2+c^2=b^2$.

  • Leite die fehlenden Größen her.

    Tipps

    Beachte: Es müssen zwei Seiten bekannt sein, um eine dritte zu berechnen.

    Wenn du mit dem einen Dreieck die eine fehlende Seite berechnet hast, kannst du die letzte fehlende Seite in dem anderen Dreieck berechnen.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Bei den gegebenen Größen $k=100$, $j=36$ und $h=\sqrt{48}$ muss man mit dem oberen, roten Dreieck beginnen, da im dem grünen nur eine Seitenlänge bekannt ist.

    Es gilt in dem roten Dreieck nach dem Satz des Pythagoras:

    $i^2+6^2=10^2$.

    Dies kann nach $i^2$ umgeformt werden und dann wird die Wurzel gezogen:

    $i=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$.

    Diese Größe kann in dem grünen Dreieck verwendet werden:

    $g^2+\sqrt{48}^2=8^2$.

    Auch diese Gleichung wird nach der unbekannten Größe umgestellt und die Wurzel gezogen:

    $g=\sqrt{64-48}=\sqrt{16}=4$.

  • Beschrifte die Seiten des Dreiecks.

    Tipps

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Dies ist die längste Seite. Diese hat einen speziellen Namen.

    Die beiden anderen Seiten haben den gleich Namen.

    Lösung

    Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, muss man sich zunächst klar machen, welche der Seiten Kathete und welche Hypotenuse sind.

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite im Dreieck. Im obigen Bild ist dies die unbekannte Seite.
    • Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Katheten.

  • Berechne die Länge der zurückgelegten Strecke.

    Tipps

    Fertige dir eine Skizze an und verwende den Satz des Pythagoras.

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel gleich lang. Können diese die Hypotenuse sein?

    Du erhältst eine Gleichung der Form $2a^2=b^2$.

    Für die gesuchte Strecke muss dann $u=2a+b$ berechnet werden. Berechne den Umfang $u$mit der gerundeten Seitenlänge $a$ mit einer Stelle nach dem Komma.

    Lösung

    Von dem Dreieck ist nur eine Seitenlänge, die der Hypotenuse, bekannt. Wie sollen dann zwei unbekannte Seitenlängen berechnet werden?

    Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, kann man wie folgt beginnen, um die fehlende Seitenlänge zu berechnen:

    $a^2+a^2=2,6^2$.

    Dies ist äquivalent zu $2a^2=2,6^2$. Dies kann nach $a$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} 2a^2&=2,6^2&|&:2\\ a^2&=\frac{2,6^2}2&|&\sqrt{}\\ a&=\sqrt{\frac{2,6^2}2}\\ &=\sqrt{3,38}\approx1,8. \end{align*}$

    Die beiden gleich langen Schenkel haben also jeweils die Länge $1,8~km$. Somit kann die Gesamtlänge der Strecke berechnet werden:

    $2\cdot1,8~km+2,6~km=6,2~km$.

    Das Flugzeug legt eine Strecke mit einer Gesamtlänge von $6,2~km$ zurück.

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