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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1)

Auch wenn der Satz des Pythagoras schon etwa 2600 Jahre alt ist, hat er immer noch große Bedeutung in der Mathematik und wird sie auch immer haben. Denn mit dem Satz des Pythagoras kann man viele Dinge anstellen. In erster Linie wendet man ihn auf rechtwinklige Dreiecke an. Denn der Satz besagt für rechtwinklige Dreiecke: Kathede ² + Kathede ² = Hypotenuse ². In diesem Video möchte ich einmal ein Dreieck betrachten, bei dem wir die Länge der Katheden gegeben haben und die Hypotenuse berechnen wollen.

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1)

Hallo! Mit dem Satz des Pythagoras kann man viele Dinge anstellen. Man kann ihn auf ein großes Blatt schreiben und an die Wand hängen. Man kann ihn aber auch auf Klopapier schreiben und die Toilette runterspülen. Das ist kein Problem, dem Satz macht das nichts, er ist ja trotzdem noch da. Man kann aber auch den Satz des Pythagoras auf Dreiecke anwenden, auf rechtwinklige Dreiecke. Und da habe ich rein zufällig mal etwas vorbereitet, nämlich ein rechtwinkliges Dreieck, hier ist es. Und da stehen auch 2 Seitenlängen schon angegeben. 2 Seitenlängen sind angegeben und wir suchen die 3. Seitenlänge, die heißt jetzt erst mal x. Und diese 3. Seitenlänge kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Um den Satz des Pythagoras anzuwenden, musst du dir bitte vorher Einiges klar machen. Der Satz lautet ja: Kathete2+Kathete2=Hypotenuse2. Du brauchst also Katheten. Katheten hast du nur dann, wenn es um ein rechtwinkliges Dreieck geht. Katheten gibt es nur in rechtwinkligen Dreiecken. Du musst zunächst dir überlegen: Ist das, was ich hier vor mir liegen habe, überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck? Ja, es ist eins. Dieses ist ein rechtwinkliges Dreieck. Woher weiß ich das? Nicht, weil ich so schlau bin, sondern, weil das hier steht. Dieser Strich hier mit dem Punkt, das ist das Zeichen für einen rechten Winkel, einen 90°-Winkel. Von daher weiß ich, dass dieses Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Dann frage ich mich: Was sind hier die Katheten in dem rechtwinkligen Dreieck? Die Katheten sind ja die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen. Also hier liegt eine Seite an diesem rechten Winkel und da ist auch eine Seite an dem rechten Winkel. Und gegenüber des rechten Winkels liegt die Hypotenuse, das ist diese Seite. Ja, die liegt eben nicht an dem rechten Winkel an, und deshalb ist es die Hypotenuse. Wenn du dir also das klar gemacht hast, dann kannst du mit der Rechnung beginnen. Du kannst das hier quadrieren, diese 3 dm, und die 4 dm quadrieren, beides addieren, daraus die Wurzel ziehen, und dann erscheint das x in voller Schönheit. Und wie das geht, zeige ich im 2. Teil. In der Zwischenzeit bitte kannst du das schon mal probieren, kannst du das rechnen. Übrigens erst, nachdem du den Taschenrechner weggeschmissen hast. Bis dann, tschüss!

18 Kommentare

18 Kommentare
  1. Verständnisvoll erklärt

    Von Ottimane, vor mehr als einem Jahr
  2. easy der taschenrecher war am arsch

    Von Sandhas, vor mehr als 2 Jahren
  3. der arme Taschenrechner!!!!

    Von Chiaram2006, vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Batiahe17,
    das Wort "Hypotenuse" stammt aus dem Alt-Griechischen und bedeutet frei übersetzt "die sich (unter dem rechten Winkel) erstreckend(e Seite)". Außerdem haben genau die rechtwinkligen Dreiecke eben den einen, kennzeichnenden rechten Winkel. Deshalb kann bei diesen Dreiecken die gegenüberliegende Seite ohne weitere Erklärungen "Hypotenuse" genannt werden.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  5. Wieso gibt es Bitteschön nur bei rechtwinkligen Dreiecken eine Hypotenuse

    Von Batiahe17, vor mehr als 2 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Zahlen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bezeichne die entsprechenden Größen in dem Dreieck.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der rechte Winkel wird mit einem Punkt gekennzeichnet. Er beträgt $90^\circ$.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Man spricht nur in rechtwinkligen Dreiecken von Katheten und Hypotenuse.

    Ein rechter Winkel, also ein Winkel von $90^\circ$, wird mit einem Punkt angezeigt. Der rechte Winkel befindet sich in diesem Dreieck unten links.

    Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite des Dreiecks. Diese wird als Hypotenuse bezeichnet. Somit ist die hier mit $x$ bezeichnete Seite die Hypotenuse.

    Die beiden übrigen Seiten liegen an dem rechten Winkel an. Diese sind die Katheten. Hier sind die Katheten mit $3~\text{dm}$ und $4~\text{dm}$ Länge gegeben.

  • Beschreibe, wie die fehlende Größe $x$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Katheten und Hypotenusen gibt es nur in rechtwinkligen Dreiecken.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seiten berechnet werden. Wenn also zwei Seitenlängen gegeben sind, kann die fehlende, die hier mit $x$ benannt ist, berechnet werden.

    Zunächst muss man sich klarmachen, welche der Seiten Katheten sind und welche die Hypotenuse.

    Hierfür betrachtet man den rechten Winkel, welcher an dem Punkt erkennbar ist. Gegenüber dem Winkel liegt die Hypotenuse. An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

    Hier ist $x$ die Hypotenuse und die beiden gegebenen Seiten sind die Katheten.

    Nun muss also jede der Katheten quadriert und diese Quadrate addiert werden. Wenn man dann aus der resultierenden Summe die Wurzel zieht, erhält man den gesuchten Wert für $x$.

  • Entscheide, welche Angabe jeweils der Hypotenuse entspricht.

    Tipps

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Dieses Bild gibt dir einen Überblick über Hypotenuse und Katheten sowie deren Lage zum rechten Winkel.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Zunächst macht man sich klar, welche Seiten Katheten sind und welche Seite Hypotenuse ist.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber, die beiden übrigen Seiten sind die Katheten.

    1. In dem roten Dreieck ist die gesuchte Seite $x$ die Hypotenuse. Die beiden bekannten Seiten sind demnach die Katheten.
    2. In dem blauen Dreieck ist die gesuchte Seite eine der Katheten, die andere hat die Länge $8~\text{dm}$. Die Hypotenuse ist die Seite mit der Länge $12~\text{dm}$.
    3. In dem grünen Dreieck ist die gesuchte Seite eine der Katheten. Die andere Kathete hat die Länge $6~\text{dm}$ und die Hypotenuse $15~\text{dm}$.
    4. In dem violetten Dreieck ist die gesuchte Seite ebenfalls eine der Katheten. Gegeben sind die andere Kathete mit der Länge $20~\text{dm}$ sowie die Hypotenuse mit der Länge $26~\text{dm}$.

  • Erkläre, wie die fehlende Seite berechnet werden kann.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Möchtest du diesen anwenden, musst du dir erstmal klarmachen, welche Seiten die Katheten sind und welche die Hypotenuse.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    In diesem Dreieck gilt zum Beispiel

    $x^2+(6~\text{dm})^2=(15~\text{dm})^2$.

    Lösung

    Wenn man den Satz des Pythagoras anwenden möchte, überlegt man sich zunächst,

    • welche Seite gesucht ist (die mit $x$ bezeichnete Hypotenuse) und
    • welche Seiten gegeben sind (die Katheten).
    Nach dem Satz des Pythagoras werden die Kathetenquadrate wie folgt addiert:

    $(6~\text{dm})^2+(8~\text{dm})^2$

    Das Ergebnis, was dabei herauskommt, ist gleich dem Hypotenusenquadrat:

    $(6~\text{dm})^2+(8~\text{dm})^2=x^2$

    Nun kann diese Gleichung (auch ohne Einheiten) gelöst werden:

    $\begin{array}{llll} 6^2+8^2 &=& x^2 & \\ 36+64 &=& x^2 & \\ 100 &=& x^2 &\vert \sqrt{~} \\ 10 &=& x & \end{array}$

    Die Länge der gesuchten Seite beträgt also $10~\text{dm}$.

  • Gib den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es eine Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt. Diese Seite wird als Hypotenuse bezeichnet.

    Wenn man zwei Zahlen quadriert und addiert und dann aus dieser Summe die Wurzel zieht, dann ist der Wert größer als jede der beiden Ausgangszahlen.

    Diese Formel kennt so ziemlich jeder. Dies ist jedoch nicht die korrekte Aussage des Satzes von Pythagoras. Hierfür müssen $a$ und $b$ Katheten sein und $c$ die Hypotenuse.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras ist ein sehr bekannter Satz in der Mathematik.

    Wenn man jemanden danach fragt, erhält man oft die Antwort: $a^2+b^2=c^2$. Stimmt das immer?

    Nein! Denn zum einen gilt dieser Satz nur in rechtwinkligen Dreiecken.

    Er sagt etwas über die Beziehung der beiden Katheten und der Hypotenuse zueinander aus.

    Was sind Katheten? Und was ist die Hypotenuse?

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden übrigen Seiten sind Katheten. Sie liegen dem rechten Winkel an.

    Zum anderen gilt die obige Aussage auch nur, wenn $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse ist.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  • Berechne die Höhe, in welcher der Ballon sich befindet.

    Tipps

    Fertige dir eine Skizze an. Es handelt sich dabei um ein rechtwinkliges Dreieck.

    Dies ist eine mögliche Skizze.

    Stelle mit den bekannten Größen und der unbekannten Größe den Satz des Pythagoras auf und forme diesen nach der unbekannten Größe um.

    Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

    Lösung

    Ein ganz wesentlicher Punkt bei Textaufgaben ist, die in diesen enhaltenen Informationen in die Mathematik zu übersetzen. Bei Beispielen aus dem Bereich der Geometrie ist es sinnvoll, sich eine Skizze anzufertigen.

    Hier ist eine mögliche Skizze für die oben formulierte Aufgabe zu sehen: Paul sieht den Ballon in $150$ Meter Entfernung. Dies entspricht in dem rechtwinkligen Dreieck der Hypotenuse. Der Ballon befindet sich direkt über dem Kirchturm, daher der rechte Winkel. Die Höhe des Ballons ist gesucht, diese sei $x$. Diese Höhe ist eine der beiden Katheten. Die andere Kathete ist die Entfernung von Paul zu dem Kirchturm: $120$ Meter.

    Dies führt mit dem Satz des Pythagoras zu der Gleichung:

    • $(120~\text{m})^2+x^2=(150~\text{m})^2$
    Diese Gleichung wird nun (ohne Einheiten) nach $x$ umgeformt:

    $\begin{array} 120^2+x^2 &=& 150^2 & \vert -120^2 \\ x^2 &=& 150^2-120^2 & \\ x^2 &=& 8100 &\vert \sqrt{~} \\ x &=& 90 & \end{array}$

    Der Ballon befindet sich also in $90$ Meter Höhe.

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