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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2)

Weiter geht es mit Teil zwei der Anwendungsaufgabe zum Satz des Pythagoras. Gegeben war ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten m und n sowie der Hypotenuse k. Außerdem war vorgegeben, dass n = 4 dm und m = 3 dm. Gesucht ist die Länge der Seite k. Dazu wenden wir nun den Satz des Pythagoras an Kathete ² + Kathete ² = Hyppotenuse ² an. Bei unserer Aufgabe rechnen wir n² + m² = (4 dm)² + (3 dm)² = k².

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2)

Hallo, wenn wir diesen Satz des Phytagoras a2+b2=c2 auf dieses Dreieck anwenden möchten. Hier, dieses Dreieck hat die Bezeichnungen n, m und k, also die Seiten haben diese Bezeichnungen, dann müssen wir den Satz des Pythagoras erst mit diesen Variablen hier formulieren. Und das geht so: Wir überlegen uns, wofür steht im Satz des Pythagoras hier a und b. Es sind die beiden Katheten. Die beiden Katheten heißen hier m und n, deshalb darf ich also schreiben m2+n2=, ja es bleibt nur noch die Hypotenuse übrig, c steht hier im Satz des Pythagoras für die Hypotenuse. Die Hypotenuse heißt hier k. Und deshalb kann ich schreiben k2. Das ist also jetzt quasi unser neuer Satz des Pythagoras, ich mach noch eine Trennlinie dazu. Ich hoffe das macht es noch etwas deutlicher. Wer weiß das schon. Jetzt möchten wir wissen, wie groß k ist. Da wir ja m und n hier schon gegeben haben. Wir setzen jetzt natürlich nicht erst mal die Zahlen ein, sondern zunächst einmal wird hier diese Gleichung umgeformt. Ich habe nicht ganz so viel Platz, aber was machen wir, wir möchten wissen wir groß k ist, wir möchten nicht wissen wir groß k2 ist. Und deshalb müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen. Wir bekommen in dem Fall nur eine Lösung, nicht wie bei quadratischen Gleichungen, weil es hier ja durchweg um positive Zahlen geht, negative Zahlen machen hier, was die Längen von Dreiecken angeht ja gar keinen Sinn. sqrt(n2+m2) Übrigens, ich sag es noch mal, nicht dass sich, da jemand vertut, wenn man die Wurzel zieht, dann muss die ganze Summe hier m2+n2, die gesamte Summe muss unter die Wurzel. Es geht nicht, dasd du aus m2 die Wurzel ziehst und aus n2 die Wurzel ziehst und hinterher beide addierst. Das ist falsch, das geht nicht, ich sags nur noch mal der Vollständigkeit halber. Die sqrt(k2) = k das ergibt sich aus einem Wurzelgesetz, das du hoffentlich schon gemacht hast in der Schule und die Voraussetzung dafür ist, dass k positiv ist. Aber das ist ja der Fall, denn wir wollen eine positive Länge haben. Jetzt können wir das einsetzen, wir können die Zahlen einsetzen, ich schreibe die dm nicht dazu. Das kann man machen, wie man will, man muss sich nur, wenn man sie nicht dazu schreibt, halt überlegen, was das ist, was man da eingesetzt hat und sich darüber bewusst sein, dass es dm sind. n=3dm lang und ich schreibe nur die 3 hier rein. Also habe ich hier dann 32+, n=4dm, ich schreibe hier hin für das n, 42. sqrt(32+42) Und das kann ich direkt ausrechnen. Natürlich nicht mit diesem Kollegen hier, der kommt wieder weg, wie immer. Ich weiß, dass das ganze hier =k sein soll. Und bin nur noch einen Schritt davon entfernt, dieses Ergebnis auszurechnen. Das kann man bitte im Kopf. 32=9 und 42=16, 9+16=25. Und da klingelts gleich bei vielen Leuten, 25 ist eine Quadratzahl, die Wurzel aus 25 ist eine ganze Zahl, nämlich 5. Weil 5x5=25 ist. Damit ist k=5. Und das sieht dann so aus. Die Gleichung ist jetzt gelöst. Im Antwortsatz, wenn ich die dm jetzt weggelassen hab, muss ich dann noch schreiben, dass es sich hier um 5dm handelt. Aber das sollte dann kein Problem sein. Den Antwortsatz spar ich mir jetzt hier. Du darfst das natürlich nicht machen, in deinem Heft, wenn du die Aufgabe lösen möchtest. Aber ich erlaube mir das jetzt mal hier. Ich hoffe du hattest alles richtig. Viel Spaß, bis bald. Tschüss.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. Super erklärt.

    Von Reyrarey, vor etwa 2 Jahren
  2. gut

    Von Quyenlinhdao, vor etwa 2 Jahren
  3. Das Video hat mir sehr geholfen, weil die Lehrer viel zu schlecht erklären können

    Von Itslearning Nutzer 2535 56353, vor mehr als 2 Jahren
  4. Gut erklärt amk

    Von Hilla, vor mehr als 4 Jahren
  5. wieso sind es immer zwei-teilige Videos ????

    Von Nihad U., vor etwa 5 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Satz des Pythagoras an dem gezeigten Dreieck.

    Tipps

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    In dem oben zu sehenden Dreieck gilt

    • $k$ ist die Hypotenuse und
    • $m$ und $n$ sind die Katheten.
    Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $m^2+n^2=k^2$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Seite $k$.

    Tipps

    Gib zunächst den Satz des Pythagoras in dem obigen Dreieck an und forme diesen nach der unbekannten Größe um.

    Die bekannten Größen werden eingesetzt. Dabei kannst du die Längeneinheiten weglassen.

    Vergiss' bitte nicht die Angabe der Längeneinheit bei deinem Antwortsatz.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras $m^2+n^2=k^2$.

    Wenn die Länge der Hypotenuse gesucht ist, kann man zunächst die Wurzel ziehen und erhält:

    $\sqrt{m^2+n^2}=k$.

    Nun können die bekannten Größen eingesetzt werden:

    $\sqrt{3^2+4^2}=k$.

    Somit erhält man $k$:

    $\begin{align*} \sqrt{3^2+4^2}&=k\\ \sqrt{9+16}&=k\\ \sqrt{25}&=k\\ 5&=k. \end{align*}$

    Die gesuchte Seite hat die Länge $5~dm$.

  • Entscheide in den gezeigten Dreiecken, welche Seiten Katheten sind und welche die Hypotenuse ist und gib den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Du kannst dir merken, dass die Hypotenuse die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist und somit die längste Seite in dem Dreieck.

    Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. So gilt dieser Satz in keinem der oben angegebenen Dreiecke.

    Genauer lautet der Satz des Pythagoras: Wenn man die Seitenlängen der Katheten quadriert und diese Quadrate addiert, erhält man den gleichen Wert wie das Quadrat der Hypotenusenlänge.

    Man kann sich das auch so merken, dass die Seite, welche in dem Satz des Pythagoras alleine steht, die Hypotenuse ist.

    • Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
    • Die Katheten sind die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten.
    1. Es gilt $p^2+s^2=q^2$.
    2. Es gilt $h^2+k^2=l^2$.
    3. Es gilt $b^2+c^2=a^2$.

  • Leite her, wie die fehlende Seite berechnet werden kann.

    Tipps

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    In diesem Beispiel ist eine Kathete, und zwar $k$, unbekannt.

    Wenn eine Kathete unbekannt ist, lautet der umgeformte Satz des Pythagoras:

    $b^2=c^2-a^2$.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt: $k^2+h^2=l^2$.

    Da die Kathete $k$ unbekannt ist, wird diese Gleichung nach $k$ umgeformt:

    $\begin{align*} k^2+h^2&=l^2&|&-h^2\\ k^2&=l^2-h^2&|&\sqrt{}\\ k&=\sqrt{l^2-h^2}. \end{align*}$

    Nun können die bekannten Größen eingesetzt werden:

    $k=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$.

  • Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Größen im Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken sind

    • die Hypotenuse, gegenüber des rechten Winkels, sowie
    • die beiden übrigen Seiten, die Katheten.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird üblicherweise in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. Dies ist nur bedingt richtig. Was muss man noch beachten:

    • Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
    • Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen Hypotenuse, dem rechten Winkel gegenüber, und die beiden übrigen Katheten.
    Man kann dann den Satz wie folgt formulieren:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Also sind $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse.

  • Wende den Satz des Pythagoras zweimal an, um die Länge einer Raumdiagonalen in einem Würfel zu berechnen.

    Tipps

    Das Quadrat einer Wurzel kann, an einem Beispiel, wie folgt berechnet werden

    $\sqrt{20}^2=20$.

    In diesem Beispiel ist es sinnvoll, die Wurzel in der oberen nicht näherungsweise anzugeben, da in der folgenden Rechnung diese Wurzel quadriert wird.

    Für $k$ und $l$ ist der Ausdruck unter der Wurzel anzugeben.

    Lösung

    Um die Länge der Raumdiagonalen zu berechnen, kann man zunächst die Länge der Diagonale in einer der Seitenflächen des Quadrates berechnen. Die Diagonale $s$ ist dabei unbekannt und die beiden Katheten haben jeweils die Länge $10~m$:

    $a^2+a^2=10^2+10^2=s^2$. Dies ist äquivalent zu $s^2=200$ und somit $s=\sqrt{200}$. Nun könnte dieser Wert näherungsweise angegeben werden, worauf hier verzichtet wird, da dieser Wert nochmal benötigt wird:

    Die gesuchte Raumdiagonale ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, deren Katheten die Längen $a=10~m$ und $s=\sqrt{200}~m$ haben.

    Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $a^2+s^2=10^2+\sqrt{200}^2=100+200=300=d^2$.

    Nun muss noch die Wurzel gezogen werden und man erhält

    $d=\sqrt{300}\approx17,3$.

    Die Länge der Raumdiagonale beträgt ungefähr $17,3~m$.

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