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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1)

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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1)

Hier findest du eine Anwendungsaufgabe zum berühmten Satz des Pythagoras. Als kleine Besonderheit rechnen wir die Aufgabe dieses Mal mit Variablen. Die Aufgabe lautet genauer: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten m und n sowie der Hypotenuse k. Außerdem wird vorgegeben, dass n = 4 dm und m = 3 dm. Gesucht ist die Länge der Seite k. Dazu wenden wir den Satz des Pythagoras an. Überleg doch aber zunächst einmal selbst, wie du ihn anwenden könntest. Die Auflösung findest du im zweiten Teil.

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1)

Hallo, hier ist eine Anwendungsaufgabe des Satzes des Pythagoras. Sie besteht im Wesentlichen daraus, dass wir 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben haben d.h. wir wissen deren Seitenlänge und wir fragen uns: Wie lang ist die dritte Seite in diesem Dreieck? Wir brauchen das nicht nachmessen. Wir können das mithilfe des Satzes des Pythagoras einfach ausrechnen. Und wie das geht, möchte ich jetzt mal zeigen. Wir müssen uns zunächst mal überlegen, ob wir den Satz des Pythagoras überhaupt anwenden können. Den Satz des Pythagoras können wir auf rechtwinklige Dreiecke anwenden und wir müssen erst mal klären: Ist dies überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck? Ja, es ist eins, und zwar deshalb, weil das hier steht. Dieser Winkel oder dieser runde Strich hier, mit dem Punkt drin, bedeutet das ist ein rechter Winkel. Es ist ein 90-Grad-Winkel, was ja das Gleiche ist und deshalb wissen wir, dass dieses Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Dann müssen wir uns überlegen: Was suchen wir hier eigentlich und was haben wir gegeben? Wir haben eine Kathete gegeben. Das ist hier n. Diese Kathete ist 4 Dezimeter lang. Wir haben auch noch eine Kathete gegeben und die heißt m. Die ist 3 Dezimeter lang. Und was wir suchen, ist das k, also die Hypotenuse, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Katheten sind ja an dem rechten Winkel dran. Hier ist der rechte Winkel. Da sind die beiden Katheten dran oder man kann auch sagen, die beiden Katheten bilden den rechten Winkel und die Hypotenuse, die liegt dem rechten Winkel gegenüber, und die suchen wir jetzt. Und da gibt es eine kleine Schwierigkeit, die wir aber gleich gelöst haben. Denn Folgendes passiert: Der Satz des Pythagoras wird normalerweise nicht mit den Wörtern Kathete und Hypotenuse aufgeschrieben. Also man kann ihn ja sprechen als eine Kathete zum Quadrat plus andere Kathete zum Quadrat gleich Hypotenuse zum Quadrat. Das ist richtig, aber so wird er nicht aufgeschrieben. Meistens wird er aufgeschrieben als a²+b²=c² und hier ist es wichtig, dass Du weißt, was dieses a und b und c bedeutet. Dieses a und dieses b stehen für Katheten. Dieses c steht für die Hypotenuse. Und die Schwierigkeit, die sich jetzt bei solchen Aufgaben hier ergibt. Diese Katheten heißen nicht a und nicht b und diese Hypotenuse hier heißt nicht c. Sie heißt nämlich k. Was kann man jetzt machen? Wie kann man trotzdem den Satz des Pythagoras anwenden? Ja und da kannst Du vielleicht mal selber drüber nachdenken, wie man das machen kann. Ich zeig es im nächsten Teil dieses Films. Bis dahin viel Spaß, tschüss.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Wie weiß man das Ergebnis

    Von Paulafine2002, vor mehr als 2 Jahren
  2. gut erklährt aber könntet ihr vieleicht nur die variablen erklähren (a + 3)

    Von Emma Marisa, vor fast 5 Jahren
  3. echt gut erklärt nur die Bücherregale lenken mich bisschen ab

    Von Schwartze4, vor fast 6 Jahren
  4. gut :)

    Von Michael August, vor mehr als 6 Jahren
  5. Echt gut erklaert! Respekt, Hut ab!

    Von S Pfeiffer3, vor mehr als 7 Jahren
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Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit Variablen (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was in der Aufgabe gegeben und gesucht ist.

    Tipps

    Hier ist die Benennung der Seiten zu erkennen.

    Du erkennst den rechten Winkel an dem Punkt.

    Die Bezeichnungen Katheten und Hypotenuse werden nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet.

    Lösung

    Wenn die beiden Größen $n=4~dm$ und $m=3~dm$ bekannt sind, dann kann die fehlende Größe $k$ nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

    Dafür muss man sich zunächst überlegen, ob der Satz des Pythagoras überhaupt anwendbar ist. Welche Voraussetzung gilt für den Satz des Pythagoras? Er ist nur anwendbar auf rechtwinklige Dreiecke. Dass das obige Dreieck rechtwinklig ist, erkennt man an dem Punkt.

    In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten spezielle Namen. Es gibt

    • zwei Katheten und
    • eine Hypotenuse.
    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Damit sind die beiden anderen Seiten die Katheten. Sie liegen an dem rechten Winkel an.

    Das bedeutet in dem obigen Dreieck:

    • $m$ und $n$ (die bekannten Größen) sind Katheten und
    • $k$ (die unbekannte Größe) ist die Hypotenuse.
    Nun ist alles vorbereitet, um den Satz des Pythagoras anzuwenden.

  • Ergänze die Erklärung zum Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Wie kann man in einem rechtwinkligen Dreieck erkennen, welche Seiten die Katheten sind und welche Seite die Hypotenuse ist?

    Man schaut sich den rechten Winkel an. Diesem gegenüber liegt die Hypotenuse.

    Wenn du die Hypotenuse kennst, kennst du auch die beiden Katheten. Dies sind die beiden verbleibenden Seiten.

    Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Oder anders ausgedrückt: Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras kann auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden. Wenn zwei Seiten dieses Dreiecks bekannt sind, dann kann die fehlende dritte Seite berechnet werden.

    An dem rechten Winkel - dieser beträgt $90^\circ$ - liegen die beiden Katheten $m$ und $n$ an. Gesucht ist die Hypotenuse $k$.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

  • Benenne die Größen in dem Dreieck.

    Tipps

    Der rechte Winkel beträgt $90^\circ$. Dies ist der größte Winkel.

    Dem größten Winkel gegenüber liegt die längste Seite. Dies ist im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks die Hypotenuse.

    Die Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras sagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Man spricht auch nur in rechtwinkligen Dreiecken von Katheten und Hypotenuse.

    Ein rechter Winkel, also ein Winkel von $90^\circ$ wird mit einem Punkt angezeigt. Der rechte Winkel befindet sich in dem Dreieck oben.

    Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite des Dreiecks. Diese wird als Hypotenuse bezeichnet. Somit ist die Seite mit der Länge $10~dm$ die Hypotenuse.

    Die beiden übrigen Seiten liegen an dem rechten Winkel an. Dies sind die Katheten. Diese sind hier $6~dm$ lang sowie die gesuchte Seite $x$.

  • Entscheide, in welchem der Dreiecke die Hypontenuse gesucht ist.

    Tipps

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der rechte Winkel ist an dem Punkt zu erkennen.

    Lösung

    Die jeweils gesuchte Seite ist mit $x$ gekennzeichnet.

    Wenn diese Seite dem rechten Winkel gegenüber liegt, handelt es sich um die Hypotenuse.

    Dies ist bei zwei Bildern der Fall:

    • einmal bei dem grünen Dreieck mit den Kathetenlängen $3~dm$ und $4~dm$,
    • zum anderen bei dem roten Dreieck mit den Kathetenlängen $2~dm$ und $6~dm$.
    In allen übrigen Dreiecken ist die gesuchte Seite eine der Katheten.

  • Gib den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem Dreieck.

    Der Satz des Pythagoras besagt in diesem Dreieck:

    $(3~dm)^2+(4~dm)^2=x^2$.

    Lösung

    Ganz viele Menschen kennen den Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$.

    Nur: Wofür stehen $a$ und $b$ und $c$?

    Wichtig ist zunächst zu bemerken, dass dieser Satz nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt.

    Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Also gilt $a^2+b^2=c^2$ nur, wenn

    • $a$ und $b$ Katheten sind und
    • $c$ die Hypotenuse ist.

  • Stelle die zugehörige Gleichung mit dem Satz des Pythagoras auf.

    Tipps

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Katheten liegen dem rechten Winkel an.

    In diesem Dreieck ist zum Beispiel $k$ die Hypotenuse, und $m$ sowie $n$ sind die Katheten.

    Es gilt $m^2+n^2=k^2$.

    Beachte, dass jeweils das Quadrat der Hypotenuse auf der rechten Seite allein steht.

    Lösung

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Das bedeutet, dass man sich, um den Satz des Pythagoras anzuwenden, zuerst überlegen könnte, welche der Seiten die Hypotenuse ist. Daraus ergeben sich auch direkt die beiden Katheten.

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel (erkennbar an dem Punkt) gegenüber und
    • die Katheten schließen den rechten Winkel ein.
    Schauen wir uns einmal die einzelnen Dreiecke an:

    • Bei dem grünen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse gesucht, diese ist $x$. Somit ergibt sich $6^2+8^2=x^2$. Die rechte Seite kann berechnet werden: $6^2+8^2=100$. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $x=10~dm$.
    • Bei dem violetten Dreieck ist eine Kathete gesucht. Es ergibt sich $20^2+x^2=26^2$. Durch Subtraktion von $20^2$ und anschließendem Ziehen der Wurzel gelangt man zu $x=\sqrt{26^2-20^2}=\sqrt{276}\approx16,1~dm$.
    • In dem blauen Dreieck ist $x$ ebenfalls eine Kathete. Dies führt zu der folgenden Gleichung $8^2+x^2=12^2$. Diese Gleichung wird nach $x$ umgeformt: Zunächst wird $8^2$ subtrahiert und dann die Wurzel gezogen: $x=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{80}=4\cdot \sqrt5\approx8,9~dm$.
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