30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen

Bewertung

Ø 3.5 / 17 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen

Wenn du den Satz des Pythagoras auf ein Dreieck anwenden möchtest, musst du folgenden Überlegung zunächst anstellen: Ist das Dreieck rechtwinklig? Denn der Satz des Pythagoras ist nur auf rechtwinklige Dreiecke anwendbar. Dann können wir mit zwei Seiten, bei denen die Länge bekannt ist, die Länge der dritten Seite mit der Formel a² + b² = c² berechnen. In diesem Video möchte ich aber thematisieren, wenn die Seiten des Dreiecks mit Variablen benannt sind, die nicht der Formel entsprechen.

Transkript Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen

Hallo! Wenn du den Satz des Pythagoras auf diese Situation hier anwenden möchtest, hier sind noch nicht die Bezeichnungen der Seiten hingeschrieben, wenn du aber im Begriff bist diese, Aufgabe anzugehen, was machst du als 1.? Du überlegst dir, wie heißt überhaupt der Satz des Pythagoras und kann ich ihn überhaupt anwenden? Du kannst ihn anwenden, weil hier ein rechter Winkel ist. Ich schreib den Satz des Pythagoras mal eben hin a2+b2=c2. Jetzt schreibt der Stift wahrscheinlich wieder nicht, aber ich hab ja noch einen. Da ist es. Jetzt könnte sich aber folgende pikante Situation ergeben, nämlich dass diese beiden Katheten, die hier gemeint sind durch die Hypotenuse, die hier gemeint ist mit dem c, das die anders heißen als a, b und c. Das geht, denn es gibt in der Schweiz, in Österreich und in Deutschland kein Gesetz darüber, wie Katheten zu heißen haben. Die Katheten kann man auch nennen a und c und die Hypotenuse darf b heißen. Somit ergibt sich hier für unsere Situation, dass die Kathete c 3 dm lang ist und die Kathete a ist 4 dm lang. Was kannst du nun machen? Du musst jetzt den Satz des Pythagoras umformulieren und zwar mit Buchstaben, mit den Variablen, die hier in dieser Aufgabe gegeben sind. Dann sieht der Satz nämlich so aus: Wir haben die eine Kathete c2+a2=b2 und das muss man sich einmal ganz langsam überlegen. Hier prallen nämlich zwei Sachen, zwei Schwierigkeiten, aufeinander, die eigentlich keine Schwierigkeiten sind, ich erklär sie ja jetzt und dann weißt du das ja auch, wie das zu machen ist. Zum einen, also eine Besonderheit ist, den Satz des Pythagoras den hat man immer unter a1+b2=c2, wenn der nun heißt c2+a2=b2, da kommt schon mal der eine oder andere durcheinander. Du kommst aber dann nicht durcheinander, wenn du dir nämlich überlegst, dass dieses a und dieses b ja nur für Katheten stehen, wie die heißen ist egal. Wenn die Katheten eben c und a heißen, dann musst du eben c und a auch hinschreiben für die Katheten, also c2+a2. Und das sollte dich dann nicht verwirren, dass der Satz hier anders lautet. Was noch als Besonderheit hinzukommt, normalerweise setzt man in eine Formel die Buchstaben ein, die man vorfindet, die Variablen, die man in der Aufgabe vorfindet, die setzt man da ein bzw. wenn man hier sieht, da ist das a in der Formel und da ist auch ein a, dann wird das a, dieses a hier, diese Länge für das a wird für dieses a eingesetzt. Normalerweise ist das so, hier ist es aber nicht so. Dieses a taucht hier wieder auf und zwar an der Stelle, nicht an dieser hier. Und dieses c ist hier auf der anderen Seite der Gleichung, also auf der rechten Seite der Gleichung, hier ist es auf der linken Seite der Gleichung und bedeutet was anderes. Das mag auch vielleicht verwirrend sein, aber noch mal, es ist, wenn du strukturiert vorgehst und dir einfach überlegst, diese beiden Variablen stehen für Katheten, diese steht für die Hypotenuse. Und ich setze jetzt die Namen der beiden Katheten hier ein und formuliere den Satz mit den Variablen, die ich vorfinde. Ich nehm die Hypotenuse und schreibe sie hier hin, mit der Variablen, die ich vorfinde, dann hab ich hier jetzt meinen neuen Satz und den kann ich umformen. Ich habe eine Gleichung, die ich umformen kann, ich kann Zahlen einsetzen und die Aufgabe lösen. Und das möcht ich eben machen. Ich mach das jetzt ganz schnell. Ich hab es mit den Zahlen ja schon mal gezeigt, hier mit diesen Zahlen. Ich kann jetzt einfach hier auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, dann kommt hier die gesamte linke Seite unter die Wurzel, das ist also /sqrt(c2+a2) und die Wurzel auf b2=b, weil b positiv ist bzw. wir interessieren uns ja nur für das positive b. Und dann kann ich hier die Zahlen einsetzen, dann hab ich hier also /sqrt(32+42)=b, das kann ich eben ausrechnen, 32=9, 42=16, zusammen ist das 25, die Wurzel aus 25 ist 5 und damit ist b=5. Im Antwortsatz schreibst du dann bitte: Die Hypotenuse b ist 5 dm lang. Und damit ist die Aufgabe gelöst. Ich hoffe, das hat dich nicht zu sehr durcheinandergebracht, aber wenn man sich einmal das langsam überlegt, wie das gemeint ist und was man da machen kann, dann sollte das weiter keine Schwierigkeit sein. Viel Spaß damit. Bis bald! Tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. sehr cool
    du kannst echt gut erklären
    super
    mehr davon

    Von Melanie Obach, vor fast 2 Jahren
  2. ich finde es immer wieder interessant wie du kopfüber schreibst !

    Von Minh Thanh T., vor etwa 4 Jahren
  3. Ich habe eine Frage bei der Aufgabe steht ja oben das es a hoch zwei plus b hoch zwei gleich c hoch zwei ist bei dieser Aufgabe ändert sich das ja mit den Buchstaben.
    Dann wurde ab Minute 4.54 hinter dem b kein hoch zwei gesetzt das verstehe ich nicht..

    Von Katiemisreno, vor mehr als 8 Jahren
  4. Toll

    Von H. B., vor mehr als 11 Jahren

Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Aufgabe 1 mit anderen Variablen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Satz des Pythagoras in dem gezeigten Dreieck.

    Tipps

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten.

    Lösung

    In dem hier zu sehenden Dreieck gilt

    • $b$ ist die Hypotenuse und
    • $a$ und $c$ sind die Katheten.
    Somit gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $a^2+c^2=b^2$.

  • Berechne die Länge der fehlenden Seite $b$.

    Tipps

    Stelle den Satz des Pythagoras in dem Dreieck auf. Stelle diesen nach der gesuchten Größe um.

    Setze die bekannten Größen ein.

    Du kannst alle Rechnungen ohne Längeneinheiten durchführen. Achte aber bitte darauf, den Antwortsatz mit der Längeneinheit zu formulieren.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras $c^2+a^2=b^2$.

    Da $a$ und $b$ gegeben sind und $c$ gesucht, zieht man zunächst die Wurzel und erhält

    $\sqrt{c^2+a^2}=b$.

    Nun können die bekannten Werte eingesetzt werden:

    $\begin{align*} \sqrt{3^2+4^2}&=b\\ \sqrt{9+16}&=b\\ \sqrt{25}&=b\\ 5&=b. \end{align*}$

    Die gesuchte Hypotenuse hat somit die Länge $5~dm$.

  • Gib in jedem der Dreiecke den Satz des Pythagoras an.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in dem Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die beiden Seiten, welche an dem rechten Winkel anliegen, sind die Katheten.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird meist in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. So gilt dieser Satz in keinem der oben angegebenen Dreiecke.

    Genauer lautet der Satz des Pythagoras: Wenn man die Seitenlängen der Katheten quadriert und diese Quadrate addiert, erhält man den gleichen Wert wie das Quadrat der Hypotenusenlänge.

    Man kann sich das auch so merken, dass die Seite, welche in dem Satz des Pythagoras alleine steht, die Hypotenuse ist.

    • Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.
    • Die Katheten sind die beiden dem rechten Winkel anliegenden Seiten.
    1. In dem roten Dreieck gilt $i^2+j^2=k^2$.
    2. In dem grünen Dreieck gilt $g^2+h^2=i^2$.
    3. In dem Dreieck ganz unten gilt $b^2+c^2=a^2$.

  • Leite die fehlende Größe her.

    Tipps

    Gegeben sind die Werte für eine Kathete und die Hypotenuse. Die Gleichung muss also nach der unbekannten Kathete umgestellt werden.

    Wenn eine Kathete nicht bekannt ist, ergibt die Umformung des Satzes des Pythagoras $a^2=c^2-b^2$. Dabei sind $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse.

    Lösung

    In diesem Dreieck gilt mit dem Satz des Pythagoras

    $a^2+c^2=b^2$.

    Da $a=6$ und $b=10$ bekannt sind, fehlt die Größe einer Kathete, $c$. Das bedeutet, dass die obige Gleichung nach $c$ umgestellt werden muss:

    $\begin{align*} a^2+c^2&=b^2&|&-a^2\\ c^2&=b^2-a^2&|&\sqrt{}\\ c&=\sqrt{b^2-a^2}. \end{align*}$

    Nun können die bekannten Größen eingesetzt werden:

    $c=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$.

  • Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Größen im Satz des Pythagoras.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken sind

    • die Hypotenuse, gegenüber des rechten Winkels, sowie
    • die beiden übrigen Seiten, die Katheten.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit die längste Seite in dem Dreieck.

    Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras wird üblicherweise in der Form $a^2+b^2=c^2$ angegeben. Dies ist nur bedingt richtig. Was muss man noch beachten:

    • Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
    • Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck heißen Hypotenuse, dem rechten Winkel gegenüber, und Katheten.
    Man kann dann den Satz wie folgt formulieren:

    Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Also sind $a$ und $b$ Katheten und $c$ die Hypotenuse.

  • Ermittle Formeln zur Berechnung der Seite oder der Diagonalen eines Quadrates.

    Tipps

    Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente Dreiecke. Diese sind rechtwinklig und gleichschenklig.

    In dem so erhaltenen Dreieck kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.

    Es gilt $a^2+a^2=d^2$.

    Diese Gleichung kann sowohl nach $a$ als auch nach $d$ umgeformt werden.

    Lösung

    Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, welche zwei gleich lange Schenkel ($a$) und die Hypotenuse $d$ haben.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt

    $a^2+a^2=d^2$.

    Diese Gleichung kann nach $d$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} a^2+a^2&=d^2\\ 2a^2&=d^2&|&\sqrt{}\\ \sqrt{2a^2}&=d\\ \sqrt2\cdot a&=d. \end{align*}$

    Diese Gleichung kann nach $a$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} a^2+a^2&=d^2\\ 2a^2&=d^2&|&:2\\ a^2&=\frac{d^2}2&|&\sqrt{}\\ a&=\sqrt{\frac{d^2}2}\\ a&=\frac d{\sqrt2}. \end{align*}$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.797

Lernvideos

44.123

Übungen

38.769

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden