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Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 04:57 min

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Transkript Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Große Reichtümer führen zu großen Streitigkeiten. Deswegen führt Käpt'n Da Gamma eine neue Methode zur Entscheidungsfindung ein: den Münzwurf. Eine Münze ist nämlich ein sehr gutes Zufallsgerät. Um ihre Chancen zu kennen, müssen sich die Piraten mit relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auskennen. Da sie aber nicht die schlausten sind, müssen wir Ihnen dabei helfen, diese beiden Begriffe zu verstehen. Ein Münzwurf ist ein Zufallsversuch mit zwei möglichen Ausgängen, in unserem Fall mit den Ergebnissen Sofa und Zahl. Werfen wir eine Münze zehnmal. Wenn wir sechsmal das Ergebnis Sofa und viermal das Ergebnis Zahl erhalten, so nennen wir die Zahlen sechs beziehungsweise vier jeweils die absolute Häufigkeit der Ergebnisse. Die absolute Häufigkeit zeigt, wie oft ein Ergebnis aufgetreten ist. Sie zeigt uns allerdings nicht, wie dies im Zusammenhang mit der Gesamtzahl der Versuche steht. Das kann man aber mit der relativen Häufigkeit verdeutlichen. Sie gibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Durchführungen eines Zufallsversuches an und wird mit dieser Formel berechnet. Berechnen wir die relativen Häufigkeiten für den zehnmaligen Münzwurf, so ergibt sich für Sofa sechs zehntel, also drei Fünftel und für Zahl vier zehntel, also zwei Fünftel. Nun ist es so, dass ein Pirat gewinnen oder verlieren kann, je nachdem, welche Seite der Münze oben liegt. Das Gewinnen oder Verlieren eines Piraten ist ein Ereignis des Zufallsversuches. Aber wie wahrscheinlich ist es denn, dass ein Pirat gewinnt? Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Jedes Ergebnis, dass zu einem Ereignis führt, nennen wir ein 'für das Ereignis günstiges Ergebnis'. Wenn zum Beispiel ein Pirat auf das Sofa setzt, dann ist das Ergebnis Sofa ein günstiges Ergebnis für das Ereignis: der Pirat gewinnt. Die möglichen Ergebnisse sind alle Ergebnisse, die in dem Zufallsversuch auftreten können. In diesem Fall also Sofa und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pirat gewinnt, beträgt also 'Anzahl günstiger Ergebnisse', das ist 1 durch 'Anzahl möglicher Ergebnisse', das ist 2. Also ein Halb. Und die Wahrscheinlichkeit, dass der Pirat verliert, ist ebenfalls ein Halb. Käpt'n Da Gamma ist aber doch schlauer als gedacht und möchte seine Chancen erhöhen. Er hat eine spezielle Münze, welche auf beiden Seiten ein Sofa zeigt und setzt natürlich auf Sofa. "Das Ereignis 'Käpt'n Da Gamma gewinnt' enthält also diesmal zwei günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach 2 geteilt durch 2, also 1. Da es auf dieser Münze keine Zahl gibt, also das Ereignis 'Käpt'n Da Gamma verliert' keine günstigen Ergebnisse enthält ergibt sich als Wahrscheinlichkeit hierfür 0 geteilt durch 2, also 0. Du hast gesehen, dass sowohl die relative Häufigkeit als auch die Wahrscheinlichkeit Brüche sind. Und zwischen diesen Brüchen gibt es auch eine Verbindung. Diese nennt man das Empirische Gesetz der großen Zahlen. Es besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsversuches bei mehrfacher Wiederholung stabilisiert und sich dieser Wert dem Wert der Wahrscheinlichkeit annähert. Aber was heißt denn das genau? Verwenden wir dazu wieder eine Münze, die eine Sofa-Seite und eine Zahl-Seite hat. Bei einmaliger Durchführung des Münzwurfs sind die relativen Häufigkeiten 1 und 0 also noch weit entfernt von der Wahrscheinlichkeit ein halb. Nach dem dritten Wurf hat zweimal Sofa und einmal Zahl oben gelegen. Es ergeben sich die relativen Häufigkeiten zwei Drittel und ein Drittel, wir sind also schon näher an die Wahrscheinlichkeit ein halb herangerückt. Nach dem hundertsten Wurf ist Sofa 48 Mal aufgetreten und Zahl 52 mal. Berechnen wir die relativen Häufigkeiten so sehen wir, dass diese ungefähr bei ein halb liegen. Fassen wir zusammen. Die relative Häufigkeit ist eine konkrete Zahl, die man mithilfe der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl der Durchführungen eines Versuchs berechnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dagegen eher ein Konzept, welches sich mithilfe der Anzahl der günstigen Ergebnisse und der Anzahl der möglichen Ergebnisse berechnen lässt. Das Empirische Gesetz der großen Zahlen besagt folgendes: Wird ein Versuch häufig durchgeführt, so stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten und nähern sich dem Wert der Wahrscheinlichkeiten an. Sieht so aus als wären die Piraten bereit für den alles entscheidenden Münzwurf.

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Der Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.

    Wirfst du eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl“ dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Ein Münzwurf wird als Zufallsexperiment mit vier möglichen Ausgängen angesehen.“

    • Ein Münzwurf hat zwei mögliche Ausgänge. Die Möglichkeit, dass die Münze auf dem Rand landet, wird wegen der geringen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses vernachlässigt.
    „Die absolute Häufigkeit gibt den Anteil der relativen Häufigkeit an der Gesamtzahl an.“

    • Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt an, wie oft dieses Ereignis eingetreten ist. Sie wird dabei nicht an der Gesamtzahl der Ereignisse relativiert. Der Wert der absoluten Häufigkeit kann theoretisch alle natürlichen Zahlen annehmen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl an.“

    • Die Formel für die relative Häufigkeit lautet: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$. Sie liegt immer zwischen $0$ und $1$.
    „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.“

    • Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis Zahl genau ein mögliches Ergebnis, dass Zahl geworfen wird. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Sofa oder Zahl. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.
    „Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses, bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments, der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.“

    • Wirfst du also eine Münze sehr häufig, dann wird sich die relative Häufigkeit des Ereignisses Zahl dem Wert $\frac{1}{2}$ annähern.
  • Gib die absoluten Häufigkeiten an.

    Tipps

    Die absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl mit der ein Ereignis eingetroffen ist. Du kannst sie oft durch Abzählen bestimmen.

    Manchmal kannst du aber auch die Formel

    $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$

    anwenden.

    Lösung

    Die absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl, mit der etwas eingetroffen ist.

    „Bei $100$ Münzwürfen landet eine Münze $48$ Mal auf „Sofa“. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $48$.“

    • Hier kannst du die absolute Häufigkeit durch Abzählen bestimmen.
    „Bei $100$ Münzwürfen landet eine Münze $48$ Mal auf „Sofa“. Die absolute Häufigkeit von „Zahl“ beträgt also $52$.“

    • Bei einem Münzwurf gibt es nur die Möglichkeiten „Sofa“ oder „Zahl“. Wird $100$ Mal geworfen und es tritt $48$ Mal „Sofa“ auf, dann beträgt die absolute Häufigkeit von Zahl $52$.

    „Bei $3$ Münzwürfen wurde mit einer relativen Häufigkeit von $\frac{2}{3}$ „Sofa“ angezeigt. Die absolute Häufigkeit von „Sofa“ beträgt also $2$.“

    • Hier berechnest du sie aus der relativen Häufigkeit mit der Formel: $\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$
    Setzt du die gegebenen Werte ein und formst um, ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} \frac{2}{3}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{3} &\vert \cdot 3\\ 2 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$

    „Die relative Häufigkeit von „Zahl“ nach $10$ Würfen beträgt: $\frac{2}{5}$. Also beträgt die absolute Häufigkeit von „Zahl“ $4$.“

    Hier ergibt sich:

    $\begin{array}{ll} \frac{2}{5}&= \frac{\text{abs. Häufigkeit}}{10} &\vert \cdot 10\\ \frac{20}{5} &= \text{abs. Häufigkeit}\\ 4 &= \text{abs. Häufigkeit}\\ \end{array}$

  • Gib dein Wissen zu relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten wieder.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.

    $100$ Durchführungen kann hier als häufig angesehen werden.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Bei einem Münzwurf gibt es für das Ereignis „Zahl“ genau ein mögliches Ergebnis. Insgesamt gibt es zwei mögliche Ergebnisse. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Zahl“ $\frac{1}{2}$.“

    • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du allgemein, indem du die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse (hier $1$ Mal Zahl) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (entweder Sofa oder Zahl) teilst.
    „Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses, bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments, der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.

    • Wichtig ist hier, dass dies nur bei häufiger Durchführung gilt. Wird das Experiment nur wenige Male durchgeführt, kann die relative Häufigkeit stark von der Wahrscheinlichkeit abweichen.
    „Käpt'n Da Gamma schlussfolgert, dass bei einem häufigen Münzwurf die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl“ ungefähr $\frac{1}{2}$ betragen muss. Wird die Münze also $100$ Mal geworfen, sollte ungefähr $50$ Mal „Zahl“ auftreten.“

    • Da $100$ Mal relativ häufig ist, gilt hier das empirische Gesetz der großen Zahlen. Die Hälfte von $100$ ist $50$.
  • Erschließe, wo das empirische Gesetz der großen Zahlen korrekt angewandt wurde.

    Tipps

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an.

    Lösung

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen kannst du immer dann anwenden, wenn ein Versuch mit sehr großer Häufigkeit durchgeführt wurde. Dann nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an. Damit kannst du bestimmen, dass folgende Aussagen falsch sind:

    „Theo wirft eine Münze drei Mal und erhält $3$ Mal „Zahl“. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl $P=1$.“

    „Maria steht mit dem Rücken zu einem Basketballkorb und versucht einen Ball in den Korb zu treffen. Bei zwei Versuchen gelingt ihr das nicht. Es ist also unmöglich den Ball auf diese Weise in den Korb zu treffen.“

    • Hier wird das Experiment nicht oft genug durchgeführt, um das Gesetz anwenden zu können.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Wirfst du einen normalen Würfel $100$ Mal, sollte ungefähr $17$ Mal eine $3$ gewürfelt werden.“

    • Nach $100$ Versuchen sollte sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit von $P=\frac{1}{6}$ angenähert haben. Das ergibt bei $100$ Versuchen ungefähr $17$ Treffer.
    „Ein Computerprogramm generiert Ziffern zwischen Null und Neun. Bei $300$ Ziffern wurde $100$ Mal eine $3$ generiert. Man kann davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle Ziffern nicht gleich verteilt sind.“

    • Wären die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig verteilt, sollte jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von $P=0,1$ vorkommen (denn es gibt insgesamt $10$ Ziffern). Hier kommt die $3$ in ca. $\frac{1}{3}$ aller Fälle vor. Die Wahrscheinlichkeiten sind also nicht gleich verteilt. Hier wurde von der relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit geschlossen. Das ist möglich, da der Versuch sehr häufig durchgeführt wurde.
    „Der $70$-Jährige Walter hat jeden Tag seines Lebens Lotto gespielt, aber noch nie etwas gewonnen. Die Wahrscheinlichkeit beim Lotto zu gewinnen liegt also nahe bei Null.“

    • $70$ Jahre Lebenszeit entspricht ungefähr $26000$ Tagen. Hat er wirklich an jedem Tag Lotto gespielt, kann er also hier das empirische Gesetz der großen Zahlen anwenden. Die Wahrscheinlichkeit eines Hauptgewinns im Lotto ist tatsächlich fast Null. Bei einer beliebten deutschen Lotterie beträgt diese ungefähr $P=0,000000007$.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisses teilst.

    Lösung

    Bei der Bestimmung gehst du wie folgt vor:

    • Die relative Häufigkeit kannst du bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses bestimmst und diese anschließend durch die Gesamtzahl der Ereignisse teilst.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du bestimmen, indem du die zum Ereignis gehörigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisses teilst.
    Beim ersten Beispiel werden insgesamt drei Kugeln gezogen. Das ist die Gesamtzahl der Ereignisse. Bei zwei dieser Ereignisse wurde eine gelbe Kugel gezogen. Also beträgt die relative Häufigkeit $\frac{2}{3}$.

    Außerdem liegen insgesamt $9$ Kugeln in der Urne. Das ist die Gesamtzahl der Ergebnisse. $4$ dieser Kugeln sind gelb. Diese Ergebnisse gehören zum Ereignis, dass eine gelbe Kugel gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit ist also $\frac{4}{9}$.

    Beim zweiten Beispiel wird die Münze insgesamt $10$ Mal geworfen, wobei sie $3$ Mal „Kopf“ anzeigt. Die relative Häufigkeit ist also $\frac{3}{10}$. Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beträgt allerdings $\frac{1}{2}$, denn bei zwei möglichen Ergebnissen, ist nur eines für „Kopf“ günstig.

    Beim dritten Beispiel beträgt die relative Häufigkeit eine Sechs zu würfeln: $\frac{2}{5}$. Denn bei $5$ Würfen fällt $2$ Mal die Sechs. Die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Würfeln eine Sechs zu würfeln beträgt: $\frac{1}{6}$, denn es gibt $6$ mögliche Ergebnisse, von denen nur eines günstig ist.

  • Wende das empirische Gesetz der großen Zahlen an.

    Tipps

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert.

    Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist.

    Lösung

    Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei häufiger Durchführung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses annähert. Hier können wir davon ausgehen, dass dieses Gesetz anwendbar ist, da die Anzahl der Durchführungen ausreichend groß ist. Also berechnen wir die relative Häufigkeit des Ereignisses und schließen damit auf die Wahrscheinlichkeit.

    • $\frac{23}{60} \approx \frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mario ins Tor trifft, beträgt also $P \approx \frac{1}{3}$.
    • $\frac{71}{100} \approx 0,7$. Die Wahrscheinlichkeit, das Tyler einen Kickflip landet, beträgt also $P \approx 0,7$.
    • $\frac{11}{500} \approx 0,02$. Die Wahrscheinlichkeit, dass Joanna sich vertippt, beträgt also $P \approx 0,02$.
    • $\frac{4}{300} \approx 0,01$. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Richards Partei beitritt, beträgt also $P \approx 0,01$.
    • Da es sich hier um Beispiele handelt, bei denen die Wahrscheinlichkeit nur grob abgeschätzt werden kann, kann keine exakte Wahrscheinlichkeit $P$ angegeben werden, sondern nur eine ungefähre Wahrscheinlichkeit.