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Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2)

Herzlich Willkommen! Im vorherigen Video wurde dir die allgemeine quadratische Gleichung 2x² + 8x + 6 = 0 vorgestellt und gezeigt, wie man eine allgemeine quadratische Gleichung in die Normalform umwandeln kann. Was erwartet dich nun in dem vorliegenden zweiten Teil des Videos. Es wird die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung bestimmt. Versuche zunächst die Lösungsmenge selbständig zu bestimmen. Hierzu solltest du den Umgang mit Wurzeln beherrschen. Wenn du noch Probleme in der Anwendung der p-q Formel besitzt, dann mach dir keine Sorgen. Wir haben noch genügend Übungsaufgaben für dich. Du solltest zunächst gelernt haben, wann du die p-q Formel anwenden kannst und wie man eine allgemeine quadratische Gleichung in die Normalform umwandelt.

Transkript Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2)

Hallo hier ist also der zweite Teil der Erklärung des Lösens allgemeiner quadratischer Gleichungen mithilfe der PQ-Formel. Wir haben eigentlich als einzige Neuerung jetzt bisher diese Gleichung durch die Zahl geteilt, die vor dem x² steht und das ist auch letzten Endes auch das, was hilft. Es entsteht eine Gleichung, die eine Form hat, sodass wir die PQ-Formel anwenden können. Das will ich jetzt auch einfach mal machen. Ich habe schon für P und Q hier die 4 bzw. die 3 eingesetzt und kann die Lösungen jetzt einfach quasi abschreiben. Also die Lösungen x1 und x2 sind dann folgendermaßen. Hier steht also -2 ± \sqrt(2²-3).

Also haben wir jetzt x1,2 = -2 ± 1.  x1 = -2+1 = -1. x2 = -2-1 = -3.

So und damit ist die Sache im Wesentlichen erledigt, wir haben die PQ-Formel anwenden können, indem wir durch die Zahl, die vor dem x² steht teilen, natürlich muss man die gesamte Gleichung teilen, jeden Summanden teilen und wir kommen dann auf die beiden Lösungen -1 und -3. Wenn man hier zum Beispiel -1 für x einsetzt, dann steht hier 2-8+6=0, so haben wir die Probe gemacht zumindest haben wir x1 ausgerechnet und das klappt mit x2 also mit der Zahl -3 ganz genau so. Damit ist die Aufgabe gelöst und jetzt weißt du also, wie du allgemeine quadratische Gleichungen mit der PQ-Formel lösen kannst. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. und dann die wurzel davon ziehen?

    Von Cialdiniregina, vor fast 8 Jahren
  2. hallo koennte man diese Gleichung nicht auch lösen indem man
    xQuadrat + 4x +3=0
    zu : ( x + 2 )quadrat rechnet ?

    Von Cialdiniregina, vor fast 8 Jahren

Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die richtige gebildete $p$-$q$-Formel.

    Tipps

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist allgemein

    $x^2+px+q=0$

    Bestimme als erstes die Variablen $p$ und $q$ in der Gleichung.

    Diese musst du dann richtig in die $p$-$q$-Formel einsetzen.

    Lösung

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet $x^2+px+q=0$

    Wenn wir die Gleichung $x^2 +4x+3=0$ gegeben haben, lesen wir also in der Gleichung ab, dass gilt $p=4$ und $q=3$

    Diese beiden Variablen setzen wir nun in die $p$-$q$-Formel ein. Wir bekommen so:

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - 3} \end{align}$

  • Beschreibe, wie quadratische Gleichungen gelöst werden können.

    Tipps

    Vergiss nicht, dass die Normalform für quadratische Gleichungen lautet

    $x^2+px+q=0$

    Ist deine quadratische Gleichung in Normalform, kannst du die Variablen ablesen.

    Diese musst du in die $p$-$q$-Formel einsetzen. So kannst du die Lösungen ausrechnen.

    Lösung

    Wir bestimmen aus der Gleichung $x^2+4x+3=0$ als erstes die Variablen $p$ und $q$.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform ist immer wie folgt aufgebaut

    $x^2+px+q=0$

    Wenn wir dies auf unsere gegebene Gleichung anwenden, sehen wir, dass gilt $p=4$ und $q=3$.

    Dies setzen wir als nächstes in die $p$-$q$-Formel ein. Sie wird so zu

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - 3} \end{align}$

    Wir können weiter vereinfachen

    $x_{1,2}=-2\pm 1$

    Wir bestimmen die Lösungen

    $x_1=-2+1=-1$

    $x_2=-2-1=-3$

    Anschließend können wir die Probe machen, indem wir zum Beispiel $x_1$ in die quadratische Gleichung einsetzen

    $(-1)^2 + 4\cdot (-1) +3=1-4+3=0$

    Und wir versuchen es noch mit $x_2$

    $(-3)^2 + 4\cdot (-3) +3=9-12+3=0$

    Das ausgerechnete Ergebnis stimmt also.

  • Ordne die Lösungen den Gleichungen zu.

    Tipps

    Bestimme wieder als erstes die Variablen $p$ und $q$.

    Setzte sie anschließend in die $p$-$q$-Formel ein.

    Die $p$-$q$-Formel hat nur dann eine Lösung, wenn der Teil in der Wurzel positiv bleibt.

    Du kannst noch keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

    Sollte die Zahl unter der Wurzel negativ sein, dann ist die Gleichung nicht lösbar.

    Vergiss nicht: Die $p$-$q$-Formel kann nur bei quadratischen Lösungen eingesetzt werden.

    Also achte darauf, ob wirklich eine quadratische Gleichung vorliegt.

    Die $p$-$q$-Formel lautet allgemein

    $x_{1,2}=-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q}$

    Lösung

    Wir bestimmen bei jeder Gleichung zunächst die Variablen $p$ und $q$ und setzen sie in die $p$-$q$-Formel ein.

    1. $x^2 +3x+3=0$

    Hier ist also $p=3$ und $q=3$. Wir setzen diese Variablen in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen so

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {3} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {3} {2} \bigg)^2 - 3}\\ & = -\frac 3 2 \pm \sqrt{-\frac 3 4} \end{align}$

    Hier sollen wir also eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Dies können wir aber nicht. Daher hat diese Gleichung keine Lösung. Sie ist nicht lösbar

    2. $0x^2+2x-1=0$

    Da $x^2$ mit $0$ multipliziert wird, fällt dieser Teil weg. Es handelt sich also nicht um eine quadratische Gleichung und die $p$-$q$-Formel kann nicht eingesetzt werden. Wir lösen sie ganz normal

    $\begin{align} 2x-1&= 0 ~|~ -1 \\ \Leftrightarrow 2x&=1~|~ :2 \\ \Leftrightarrow x&=0,5 \end{align}$

    Dies ist auch die Lösung.

    3. $x^2 -4x-5=0$

    Hier gilt $p=-4$ und $q=-5$. Wir setzen beides in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-4)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-4)} {2} \bigg)^2 - (-5)} \\ & = 2 \pm \sqrt{4+5} \\ &= 2\pm 3 \end{align}$

    Wir bekommen so die beiden Lösungen

    $x_1=2+3=5$

    $x_2=2-3=-1$

    4. $x^2 -2x+1=0$

    Hier ist $p=-2$ und $q=1$. Damit wird die $p$-$q$-Formel zu

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-2)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-2)} {2} \bigg)^2 - 1} \\ & = 1 \pm \sqrt{1-1} \\ &= 1\pm 0 \end{align}$

    Hier haben wir nur eine Lösung

    $x=1$

  • Bilde die Summen der Lösungen von diesen Gleichungen.

    Tipps

    Bei dieser Aufgabe musst du die Lösungen der einzelnen Gleichungen zusammenaddieren. Dann kann du die Reihenfolge festlegen.

    Zum Beispiel hat eine Gleichung die Lösungen

    $x_1=2$ und $x_2=4$.

    Dann rechnest du diese Lösungen zusammen und bekommst

    $x_1+x_2=2+4=6=x_{gesamt}$

    Diese $x_{gesamt}$ der einzelnen Gleichungen kannst du dann sortieren.

    Bestimme wieder $p$ und $q$.

    So kannst du die $p$-$q$-Formel direkt einsetzen.

    Die Faktoren $p$ und $q$ können auch negativ sein.

    In diesen Fällen erscheint in der Gleichung auch ein Minuszeichen.

    Die $p$-$q$-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q}$

    Lösung

    Hier müssen wir für jede Gleichung die Lösungen finden und dann die Summen dieser beiden Lösungen bilden. Wir bestimmen wieder zunächst $p$ und $q$ und setzen diese dann in die $p$-$q$-Formel ein.

    Ich werde die Gleichungen direkt in der richtigen Reihenfolge lösen.

    1. $x^2 -6x-7=0$

    Also gilt $p=-6$ und $q=-7$. Ich setze die Variablen in die $p$-$q$-Formel ein und bekomme so

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-6)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-6)} {2} \bigg)^2 - (-7} \\ & = 3 \pm \sqrt{9+7} \\ &= 3 \pm 4 \end{align}$

    Wir haben also die beiden Lösungen

    $x_1=3+4=7$

    $x_2=3-4=-1$

    Wir addieren sie zusammen und bekommen so

    $x_{gesamt}=x_1+x_2=6$

    Hier ist noch anzumerken, dass diese Summe nur gebildet wird, um die Gleichungen zu sortieren. In einer normalen Aufgabe ist dies nicht notwendig.

    2. $3x^2 -18x+20=-7$

    Wir formen diese Gleichungen um, indem wir zunächst $+7$ rechnen und anschließend durch $3$ teilen. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus

    $x^2-6x+9=0$

    Also gilt $p=-6$ und $q=9$. Wir setzen diese beiden in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen so

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-6)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-6)} {2} \bigg)^2 -9} \\ & = 3 \pm \sqrt{9-9} \\ &= 3 \end{align}$

    Hier gibt es nur eine Lösung, nämlich $x=3$

    3. Hier gilt $p=-2$ und $q=-8$. Wir rechnen

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-2)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-2)} {2} \bigg)^2 - (-8)} \\ & = 1 \pm \sqrt{1+8} \\ &= 1\pm 3 \end{align}$

    Die Lösungen sind $x_1=4$ und $x_2=-2$. Die Summe zur Sortierung der Gleichungen ist dann $x_{gesamt}=x_1+x_2=-2$

    4. Hier gilt $p=3$ und $q=1$. Mit der $p$-$q$-Formel kommen wir auf die Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=-2$. Zusammen addiert sind dies $x_{gesamt}=x_1+x_2=-3$.

    5. Hier gilt $p=5$ und $q=-6$. Wir benutzen wieder die $p$-$q$-Formel kommen wir auf die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-6$. Da wir die Gleichung wieder einsortieren wollen, bilden wir die Summe $x_{gesamt}=x_1+x_2=-5$.

  • Vervollständige die $p$-$q$-Formel.

    Tipps

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung sieht allgemein wie folgt aus

    $x^2+px+q=0$

    Bestimme wieder als erstes die Variablen und setzte diese dann in die $p$-$q$-Formel ein.

    Lösung

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet allgemein

    $x^2+px+q=0$

    Wenn unsere hier gegebene Gleichung

    $x^2+4x+3=0$

    ist, dann gilt $p=4$ und $q=3$. Wenn wir dies in die allgemeine Normalform einsetzen, dann bekommen wir wieder unsere Gleichung.

    Wir setzten diese Faktoren jetzt in die $p$-$q$-Formel ein

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - 3} \end{align}$

  • Ermittle die Lösungen dieser Gleichungen.

    Tipps

    Bringe alle Gleichungen zunächst auf ihre Normalform.

    Bei der letzten Aufgabe musst du hierfür alle Klammern auflösen.

    Bestimme anschließend wieder $p$ und $q$, damit du die $p$-$q$-Formel einsetzen kannst.

    Bei allen Aufgabe gilt $x_1>x_2$

    Hier ist noch einmal die $p$-$q$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q}$

    Lösung

    Wir formen alle Gleichungen so um, dass sie Normalform haben. Anschließend werden die Variablen $p$ und $q$ bestimmt, welche wir dann in die $p$-$q$-Formel einsetzen.

    1. Wir formen die Gleichung $3x^2 +12x =15$ in Normalform um, indem wir zuerst $-15$ rechnen und sie dann durch $3$ teilen.

    In Normalform sieht diese Gleichung dann wie folgt aus

    $x^2+4x-5=0$

    Jetzt können wir auch erkennen, dass gilt $p=4$ und $q=-5$. Diese setzten wir in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - (-5)} \\ & = -2 \pm \sqrt{4+5} \\ &= -2\pm 3 \end{align}$

    Also haben wir die beiden Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-5$.

    2. Durch Umformung wird die Gleichung $4x^2-12x=7$ zu $x^2-3x-\frac 7 4=0$

    Damit gilt $p=-3$ und $q=-\frac 7 4$. Dies setzen wir in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen so

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {(-3)} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {(-3)} {2} \bigg)^2 - (-\frac 7 4)} \\ & = -1,5 \pm 2 \end{align}$

    Die Lösungen sind also $x_1=3,5$ und $x_2=-0,5$.

    3. $(x-2)\cdot(2x-1) - (x+2)\cdot(-x+3) + (x-3)\cdot(-x-4) + (-2x+4)\cdot(3x-2) =0$

    Wir rechnen zunächst die Klammern aus und kommen so auf die Gleichung

    $x^2-\frac 94 x=0$

    Somit gilt $p=-\frac 94$ und $q=0$. Wir wenden die $p$-$q$-Formel an und kommen so auf die Lösungen $x_1=2,25$ und $x_2=0$

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