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Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1)

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1)

Herzlich Willkommen! Im Video wird dir die allgemeine quadratische Gleichung 2x² + 8x + 6 = 0 vorgestellt. Wann kannst du die p-q Formel anwenden? Die p-q Formel gilt nur für quadratische Gleichungen, welche sich in Normalform befinden ( x² + px+ q ). Wie formt man eine allgemeine quadratische Gleichung in die Normalform um? Du solltest bereits wissen, wie man Gleichungen äquivalent umwandelt. Versuche zunächst selbständig die quadratische Gleichung 2x² + 8x + 6 = 0 in ihre Normalform zu bringen. Im Anschluss kannst du die p-q Formel anwenden. Überprüfe dein Ergebnis, indem du dir das Video anschaust. Hier wird dir gezeigt, wie man zu der Normalform gelangt und die p-q Formel anwendet. Im zweiten Teil der Videoreihe wird die Lösungsmenge bestimmt.

Transkript Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1)

Hallo! Wenn du quadratische Gleichungen behandelst, dann kann dir Folgendes passieren. Eine Gleichung der Form, oder die Gleichung 2x2+8x+6=0, und diese Gleichung, oder Gleichungen dieser Form nennt man allgemeine quadratische Gleichung, weil nämlich hier vor dem x2 auch noch eine Zahl steht. Also eine Zahl <>1. Normalerweise, wenn da nichts steht, kann man sich ja vorstellen, dass da eine 1 steht. Aber die wird ja normalerweise weggelassen. Also, hier steht keine 1, das ist eine allgemeine quadratische Gleichung. Und die möchten wir jetzt mit der p-q-Formel lösen, bzw. ich möchte, dass du das möchtest. Und zwar können wir uns da Folgendes überlegen. Die p-q-Formel gilt ja für Gleichungen, die diese Form hier haben: x2+px+q=0, das heißt, vor dem x2 steht nichts bzw. diese gedachte 1, 1×x2, aber eben keine andere Zahl. Plus eine Zahl ×x+ eine Zahl=0. So, und das haben wir hier fast, bis auf diese 2 hier vorne, da müssen wir uns drum kümmern. Was kann man da machen? Ja, da muss man einfach die Idee haben. Ich sag sie jetzt einfach: geteilt durch 2. Wir teilen durch die Zahl, die vor dem x2 steht. Natürlich teilen wir die gesamte Gleichung, sonst ist es ja keine Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformung kennst du vielleicht noch. Hat mit Gleichungen zu tun, sage ich gleich noch was zu. Wenn wir hier eine Summe teilen, durch 2, dann müssen wir hier jeden Summanden teilen, das bedeutet, 2x2 müssen wir durch 2 teilen. Das ist 1 x2, oder schlicht und ergreifend x2. Plus 8x/2=4x. Und 6/2=3. Und die rechte Seite muss ich natürlich auch durch 2 teilen, aber 0/2=0, da ändert sich nichts. Jetzt hab ich also eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, das ist ja der Sinn der Äquivalenzumformung, bedeutet also, wenn ich diese Gleichung in eine andere Gleichung umforme, dann erhalte ich eine neue Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat und das wiederum bedeutet, wenn ich hier eine Zahl einsetze, und die Gleichung richtig ist, dann kann ich das hier in die obere Gleichung auch einsetzen. Dieselbe Zahl kann ich hier einsetzen, dann ist die auch richtig. Immer wenn die Gleichung falsch ist, das heißt, wenn ich hier Zahlen einsetze, sodass die Gleichung falsch ist, dann ist die hier oben auch falsch. Also, ich kann einfach die untere Gleichung lösen und weiß dann auch, was ich in die obere Gleichung einsetzen kann, damit sie richtig wird. Das ist der Sinn der Äquivalenzumformung, und jetzt muss ich einfach nur noch kucken und feststellen, dass jetzt die neue Gleichung, die ich erhalten habe, diese Form hat. Sie hat die Form x2+px+q, denn wenn ich hier für p 4 einsetze und für q 3 einsetze, dann steht ja genau diese Gleichung, die hier steht. Also, vor dem x steht nichts, da kommt ein Pluszeichen, eine Zahl, ein x, ein Pluszeichen, eine weitere Zahl, ein Gleichheitszeichen und die 0, das ist die Form, die haben wir hier. Und deshalb können wir die p-q-Formel anwenden, indem wir nämlich überall da, wo in der p-q-Formel ein p steht, jetzt die 4 einsetzen, diese 4. Und da, wo das q steht, da normalerweise setzen wir jetzt die 3 ein. So, und dann kann man das ausrechnen. Und das zeig ich dann im 2. Teil. Bis dahin. Viel Spaß! Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. schwierig

    Von Singhsabine8, vor fast 2 Jahren
  2. Super 👍

    Von Deleted User 529709, vor mehr als 2 Jahren

Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen – Erklärung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie quadratische Gleichungen in Normalform überführt werden können.

    Tipps

    Quadratische Gleichungen heißen so, da auf jeden Fall ein $x^2$ in der Gleichung vorkommt.

    Es wird eine quadratische Gleichung gebraucht, um die $p$-$q$-Formel anwenden zu können.

    Aus einer quadratischen Gleichung in Normalform, können die Variablen der $p$-$q$-Formel direkt abgelesen werden.

    Lösung

    Die uns gegebene Gleichung $2 x^2 +8 x +6=0 $ ist eine allgemeine quadratische Gleichung. Um sie zu lösen, können wir die p-q-Formel anwenden.

    Dazu muss sie jedoch zunächst in Normalform überführt werden.

    Quadratische Gleichung sind in Normalform, wenn sie die Form $x^2 + p x + q=0$ haben. Vor dem $x^2$ darf als kein Faktor stehen, außer der $1$.

    Wir können ja auch $1\cdot x^2 + p x + q=0$ schreiben.

    Um unsere allgemeine quadratische Gleichung also in Normalform zu überführen, teilen wir sie durch den Faktor vor dem $x^2$, in diesem Fall also durch $2$.

    Die Gleichung wird so zu $ x^2 +4 x +3=0 $ und hat damit die Form $x^2 + p x + q=0$.

    Wir können die Variablen $p=4$ und $q=3$ also direkt ablesen und setzen sie in die $p$-$q$-Formel. Sie wird so zu

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - 3} \end{align}$

  • Schildere den Weg, wie die $p$-$q$-Formel aufgestellt wird.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung ist in Normalform, wenn sie die Form $x^2 + p\cdot x +q=0$ hat.

    Allgemeine quadratische Gleichungen müssen zunächst in Normalform überführt werden.

    Erst dann kann man die Variablen für die $p$-$q$-Formel ablesen.

    Lösung

    Die allgemeine quadratische Gleichung, welche ganz am Anfang steht, muss zunächst in die Normalform überführt werden.

    Nur aus der Normalform können die Variablen für die $p$-$q$-Formel abgelesen werden.

    Die Normalform sieht allgemein folgendermaßen aus $x^2 + p x + q=0$.

    Wir teilen also $2x^2 + 8x +6=0$ durch $2$ und kommen so auf $x^2 + 4x +3=0$.

    Die Gleichung ist nun also auf Normalform und wir können $p=4$ und $q=3$ ablesen. Wir setzen diese Variablen in die $p$-$q$-Formel ein und bekommen so

    $\begin{align} x_{1,2} & =-\frac {p} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {p} {2} \bigg)^2 - q} \\ &= -\frac {4} {2} \pm \sqrt{ \bigg(\frac {4} {2} \bigg)^2 - 3} \end{align}$.

  • Ordne die Variablen den Gleichungen zu.

    Tipps

    Um die Variablen $p$ und $q$ ablesen zu können, muss man die quadratischen Gleichungen erst in Normalform überführen.

    Die Normalform von quadratischen Gleichungen hat die Form $x^2 +px+q=0$.

    Am einfachsten kannst du die Normalform erreichen, wenn du die Gleichung durch den Faktor vor dem $x^2$ teilst.

    So wird dieser Faktor zu $1$ und du kannst die Variablen $p$ und $q$ einfach ablesen.

    Lösung

    Wir wandeln die einzelnen Gleichungen in Normalform um und können dann die Variablen $p$ und $q$ ablesen.

    Erste Gleichung

    $x^2 + 2x +4=0$

    Hier steht vor dem $x^2$ kein Faktor ungleich $1$.

    Wir können $p=2$ und $q=4$ also direkt ablesen.

    Zweite Gleichung

    $2 x^2 +8x +2=0$

    Hier steht vor dem $x^2$ der Faktor $2$.

    Wir teilen diese Gleichung also durch diesen Faktor und bekommen so die Gleichung $\frac 2 2 x^2 +\frac 8 2x + \frac 2 2=x^2 +4x+1=0$ .

    Aus dieser Gleichung können wir ablesen, dass gilt $p=4$ und $q=1$.

    Dritte Gleichung

    $3x^2 +3x +9=0$

    Hier teilen wir durch $3$ und kommen so auf die Gleichung $x^2 +1x +3=0$ und können ablesen $p=1$ und $q=3$

    Vierte Gleichung

    $2x^2 +6x+4=0$

    Wir teilen durch $2$ und bekommen $x^2 +3x+2=0$.

    Daraus folgt $p=3$ und $q=2$.

  • Ermittle die Variablen $p$ und $q$.

    Tipps

    Die Normalform für quadratische Gleichungen lautet $x^2+px+q=0$.

    Teile eine allgemeine quadratische Gleichung am Besten durch den Faktor vor dem $x^2$, wenn er ungleich $1$ ist.

    So bekommst du die Normalform am einfachsten.

    Die Faktoren $p$ und $q$ können auch negativ sein.

    So sieht zum Beispiel eine Gleichung aus, wenn $p=-2$ ist und $q=-3$.

    $x^2 + (-2)x+(-3)=x^2-2x-3=0$

    Lösung

    Wir bringen die einzelnen Gleichungen wieder auf Normalform und lesen dann einzelnen Variablen ab. Die Normalform erreichen wir, indem wir die Gleichungen durch den Faktor vor dem $x^2$ teilen, sollte er ungleich $1$ sein.

    $-1x^2 + 3x -6 =0$:

    Hier müssen wir die Gleichung nur durch $-1$ teilen, um ihre Normalform zu bilden. Wir erhalten so die Gleichung

    $x^2 - 3x +6 =0$.

    Wir können hier $p=-3$ und $q=6$ direkt ablesen.

    $-6x^2 + 12x -18 =0$.

    Diese Gleichung müssen wir durch $-6$ teilen, um auf die Normalform zu kommen. Nachdem wir jeden Faktor durch $-6$ geteilt haben bekommen wir die Gleichung

    $x^2 -2x +3 =0$.

    Die Variablen können wir direkt ablesen, sie sind $p=-2$ und $q=3$.

    $2x^2 + 4 =0$.

    Wir teilen durch 2 und bekommen

    $x^2 + 2 =0$.

    Der Term $p\cdot x$ fällt hier offenbar weg, damit muss gelten $p=0$, die Variable $q=2$.

    $\frac 1 2 x^2 -2x +\frac 1 2 =0$.

    Hier wird durch $\frac 1 2 $ geteilt, also wird jeder Faktor mit $2$ multipliziert. Wir bekommen so

    $ x^2 -4x +1 =0$.

    Und damit gilt $p=-4$ und $q=1$.

  • Bestimme die Variablen $p$ und $q$.

    Tipps

    Vergiss nicht, dass die Normalform einer quadratischen Gleichung wie folgt aussieht.

    $x^2 + p\cdot x +q=0$

    Die eigentliche Reihenfolge der Terme in einer quadratischen Gleichung sind nicht so entscheidend.

    Wichtiger ist welche Rolle sie haben.

    So steht die Variable $p$ immer mit $x$ multipliziert.

    Wir schreiben der Einfachheit halber die Gleichung auch so

    $x^2 + 5\cdot x +6=x^2 + 5 x +6$.

    Lösung

    Allgemein gilt, dass eine quadratische Gleichung in Normalform wie folgt aussieht: $x^2 + p\cdot x +q=0$.

    Die Variable $p$ wird also immer mit $x$ multipliziert und der Faktor $q$ wird nur hinzuaddiert.

    So können wir die Variablen der Gleichungen bestimmen

    $x^2+4x+3=0$

    Hier ist $p=4$ und $q=3$

    $x^2+2x+6=0$

    Hier ist $p=2$ und $q=6$

    $x^2+8+1x=0$

    Hier ist $p=1$ und $q=8$

    $x^2+3x+4=0$

    Hier ist $p=3$ und $q=4$

  • Bestimme die Variablen $p$ und $q$.

    Tipps

    Hier befinden die Gleichungen sich nicht mal in der Form einer allgemeinen quadratischen Gleichung.

    Du musst die Klammern als Erstes ausrechnen und die einzelnen Terme zusammenfassen.

    Anschließend kannst du die Gleichungen dann wieder in Normalform überführen, sodass sie die Form

    $x^2 +px+q=0$

    haben.

    Lösung

    Wir lösen hier zunächst die Klammern aus und bilden dann wie immer die Normalform der Gleichungen.

    1. Wir berechnen jedes Klammerpaar zunächst einzeln

    $(x+1)\cdot(x-1)= x^2-1$

    $(x+2)\cdot(x-3)=x^2-x-6$

    $(x+3)\cdot(x-4)=x^2-x-12$

    Nun rechnen wir die einzelnen Ergebnisse zusammen

    $(x^2-1)+(x^2-x-6)-(x^2-x-12)=x^2+0x+5=0$.

    Diese Gleichung befindet sich direkt in Normalform, wir können also $p=0$ und $q=5$ ablesen.

    2. Auch hier berechnen wie die Klammern zunächst als Erstes und kommen so auf die Gleichung

    $(3x^2+7x+2)+(8x^2+14x+6)+(-4x^2-7x+2)+(x^2-5x+6)=0$.

    Wenn wir diese Gleichung ausrechnen, bekommen wir

    $8x^2+9x+16=0$.

    Wir überführen diese Gleichung in Normalform, indem wir durch $8$ teilen und kommen so auf

    $x^2+1,125x+2=0$.

    Also gilt für diese Gleichung $p=1,125$ und $q=2$.

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