Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

Punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch? Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Punkt- und Achsensymmetrie.

  Tipps

  Eine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.

  Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Jede Figur ist entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch. Es gibt keine Figur, die keine Symmetrie besitzt.“

  • Figuren sind nicht zwangsläufig symmetrisch. Eine Pizza ist normalerweise nicht symmetrisch.

  „Dreht man ein Parallelogramm um $180^\circ$ um den Mittelpunkt, ist die gedrehte Figur nicht deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.“

  • Jedes Parallelogramm ist nach einer solchen Drehung deckungsgleich mit der Ursprungsfigur. Das bedeutet, dass es punktsymmetrisch ist.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Eine punktsymmetrische Figur kann durch $180^\circ$-Drehung um das Symmetriezentrum auf sich selbst abgebildet werden.“

  „Klappt man eine achsensymmetrische Figur an der Symmetrieachse zusammen, sind beide Seiten deckungsgleich.“

  • So kannst du Punkt- bzw. Achsensymmetrie beschreiben.

  „Ein Rhombus ist gleichzeitig achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.“

  • Ein Rhombus oder auch Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Es weist zusätzlich zur Punktsymmetrie Achsensymmetrie auf. Im Bild siehst du die Symmetrieachsen und das Spiegelzentrum.

• Beschreibe die Symmetrie verschiedener Figuren.

  Tipps

  Punktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.

  Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.“

  • Punktsymmetrie heißt so, weil hier Symmetrie bezüglich eines Punktes (des Symmetriezentrums) besteht.

  „Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind. Die Gerade, entlang der gefaltet wird, heißt Symmetrieachse.“

  • Achsensymmetrie heißt so, weil hier die Symmetrie bezüglich einer Achse besteht.

  „Dieses Parallelogramm ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch.“

  • Drehst du dieses Parallelogramm um $180^{\circ}$ um den Mittelpunkt, ist die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Es gibt allerdings keine Symmetrieachse, an der die Figur gefaltet werden könnte, sodass die beiden Teile deckungsgleich sind.

  „Dieses Trapez weist Achsensymmetrie, aber keine Punktsymmetrie auf.“

  • Faltest du das in der Aufgabe abgebildete Trapez entlang einer Achse, die senkrecht durch die Mitte der Figur verläuft, sind die beiden Teile deckungsgleich. Es gibt allerdings keinen Punkt, um den die Figur um $180^{\circ}$ gedreht werden könnte, sodass die Figur deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur wäre.

  „Dieses Haltestellenschild ist achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

• Ermittle die Arten der Symmetrie.

  Tipps

  Überlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist ein Dreieck.

  Lösung

  Überlege dir zuerst, ob die Form des Schildes eine bestimmte Art der Symmetrie zulässt. Anschließend kannst du überlegen, ob der Inhalt der Schilder Symmetrieeigenschaften aufweist. Dann erhältst du:

  Diese Schilder sind nicht achsen- und punktsymmetrisch:

  • Die Form des Stoppschilds weist zwar beide Arten der Symmetrie auf, die Beschriftung jedoch nicht.

  • Das Vorgeschriebene-Vorbeifahrt-Schild (weißer Pfeil auf blauem Grund) ist zwar achsensymmetrisch, aber nicht punktsymmetrisch.

  • Das Vorfahrt-gewähren-Schild (weißes Dreieck mit rotem Rand) ist aufgrund seiner Form nicht punktsymmetrisch.

  Diese Schilder weisen beide Symmetriearten auf:

  • das Absolutes-Halteverbot-Schild (rotes Kreuz mit Rand auf blauem Grund),

  • das Vorfahrtstraße-Schild (gelbe Raute mit weißem Rand) und

  • das Verbot-der-Einfahrt-Schild (weißes Rechteck auf rotem Grund).

• Ermittle die Arten der Symmetrie.

  Tipps

  Du kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst.

  Dieses Schild ist punktsymmetrisch und hat zwei Symmetrieachsen.

  Das Symbol $\infty$ steht für unendlich.

  Lösung

  Du kannst die Anzahl der Symmetrieachsen bestimmen, indem du die Figuren zeichnest und sie anschließend auf ihre Symmetrieeigenschaften überprüfst. So erhältst du:

  • Die Schneeflocke ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat sechs Symmetrieachsen (wenn du sie an diesen Achsen faltest, sind die beiden Hälften deckungsgleich).

  • Der Stern ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat sieben Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Spitze und die gegenüberliegende Einkerbung).

  • Das Fünfeck ist nicht punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du nicht dieselbe Figur) und hat fünf Symmetrieachsen (diese verlaufen jeweils durch eine Ecke und die gegenüberliegende Strecke).

  • Der Kreis ist punktsymmetrisch (bei Drehung um $180^{\circ}$ erhältst du dieselbe Figur) und hat unendlich ($\infty$) viele Symmetrieachsen (diese verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises).

• Gib die Art der Symmetrie an.

  Tipps

  Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.

  Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.

  Lösung

  Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur ist. Die Drehung erfolgt um das Symmetriezentrum.

  Eine achsensymmetrische Figur kannst du so zusammenklappen, dass die beiden Hälften anschließend deckungsgleich sind.

  Damit kannst du die Objekte richtig zuordnen:

  Diese Objekte sind nur punktsymmetrisch:

  • der Windmühlenrotor und

  • das Parallelogramm.

  Diese Objekte sind nur achsensymmetrisch:

  • der Windmühlenturm,

  • das gleichmäßige Trapez,

  • das Flugzeug.

  Das ist sowohl punkt- als auch achsensymmetrisch:

  • das Verkehrsschild.

  Diese Objekte weisen keine Symmetrie auf:

  • die Pizza und

  • das ungleichmäßige Trapez.

• Prüfe, ob diese Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

  Tipps

  Du kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind.

  Lösung

  Du kannst überprüfen, welche Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, indem du die Funktionen zeichnest und anschließend überprüfst, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ}$ um den Koordinatenursprung deckungsgleich mit der ursprünglichen Funktion sind. Dann erhältst du:

  • Diese drei Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  • Die anderen beiden Funktionen sind nach einer Drehung um $180^{\circ}$ nicht deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur. Damit sind sie nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Sie sind aber achsensymmetrisch in Bezug auf die $y$-Achse.