Punktsymmetrie
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Grundlagen zum Thema Punktsymmetrie
Inhalt
Punktsymmetrie – Definition
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um exakt $180^\circ$ zu einer Deckungsgleichheit mit der ursprünglichen Figur führt. Die Drehung erfolgt dabei um das sogenannte Zentrum der Symmetrie oder auch Symmetriezentrum. Das ist der Punkt, der gleich weit von Punkt und Bildpunkt der Figur entfernt liegt.
Punktsymmetrische Figuren: Beispiele
In der Geometrie gibt es viele punktsymmetrische Figuren. Besonders viele Vierecke erfüllen die Eigenschaften der Punktsymmetrie. Dies trifft beispielsweise auf folgende Vierecke zu:
- Quadrat
- Rechteck
- Raute
- Parallelogramm
All diese Vierecke lassen sich um $180^\circ$ drehen und sind dann weiterhin deckungsgleich mit der ursprünglichen Figur.
Punktsymmetrie – Aufgaben
Nicht nur eine Figur kann punktsymmetrisch sein. Auch zwei Figuren können zueinander punktsymmetrisch sein.
Diese beiden Dreiecke sind punktsymmetrisch zueinander. Doch woran lässt sich das erkennen? Das Dreieck $A’B’C’$ ist durch eine Punktspiegelung des Dreiecks $ABC$ entstanden. Das bedeutet, dass alle Punkte des Dreiecks $ABC$ an einem Spiegelpunkt gespiegelt wurden. Das Ergebnis ist das Dreieck $A’B’C’$, das um exakt $180^\circ$ gedreht ist. Dass diese beiden Dreiecke tatsächlich punktsymmetrisch zueinander sind, wird im Folgenden gezeigt:
Verbindet man je einen Punkt mit dem passenden Bildpunkt, also $A$ mit $A’$, $B$ mit $B’$ und $C$ mit $C’$, dann ist zu sehen, dass sich alle Verbindungsstrecken in einem Punkt $Z$ schneiden. Das ist der Punkt, an dem alle Punkte des einen Dreiecks gespiegelt wurden, und somit das Symmetriezentrum.
Um zu überprüfen, ob zwei Figuren punktsymmetrisch sind, kann man demnach einfach entsprechende Punkte miteinander verbinden und schaut so, ob sich alle Verbindungsstrecken in einem Punkt schneiden. Ist das der Fall, dann sind beide Figuren punktsymmetrisch zueinander.
Punktspiegelung: Durchführung
Mit diesem Wissen lässt sich auch eine Punktspiegelung für nahezu jede beliebige Figur durchführen. Im obigen Beispiel haben entsprechende Punkte stets den gleichen Abstand zu $Z$. Soll eine Punktspiegelung durchgeführt werden, reicht es also aus, die Strecke $\overline{AZ}$ um die Länge der Strecke zu verlängern, denn die Strecke $\overline{ZA’}$ ist genauso lang wie $\overline{AZ}$.
Im Bild wurde eine Strecke $\overline{AA’}$ eingezeichnet, wobei die Strecke $\overline{ZA’}$ der Strecke $\overline{AZ}$ entspricht. Führt man diesen Vorgang noch für die Punkte $B$ und $C$ durch und verbindet anschließend die gespiegelten Punkte, so erhält man das punktsymmetrische Dreieck $A’B’C’$.
Punktsymmetrische Figuren – Kontext
Im Alltag lassen sich einige Gegenstände und Formen entdecken, die punktsymmetrisch sind. Viele Buchstaben sind zum Beispiel punktsymmetrisch. Für einige Straßenschilder gilt das ebenfalls.
Dieses Haltestellenschild ist beispielsweise punktsymmetrisch. Eine Drehung um $180^\circ$ sorgt immer für eine Deckungsgleichheit mit dem nicht gedrehten Schild.
Transkript Punktsymmetrie
Hallo! Du kennst achsensymmetrische Figuren, die möchte ich hier nicht zeigen, sondern Figuren, die auf eine andere Art und Weise symmetrisch sind. Und dazu hab ich hier mal diese Spielkarten liegen. Spielkarten sind auch symmetrisch, aber sie sind nicht achsensymmetrisch. Das möchte ich mal hier an dieser Dame zeigen. Wenn diese Dame achsensymmetrisch wäre, dann könnte man an der Symmetrieachse einen Spiegel anlegen, und beide Hälften sähen dann genau so aus, wie die Figur vorher auch. Das ist hier aber nicht der Fall. Hier kann man auch beide auf einmal sehen. Die echte, obere Hälfte und die gespiegelte Hälfte. Und die unterscheiden sich, also diese Dame ist nicht achsensymmetrisch. Um zu verstehen, wie diese Spielkarte symmetrisch ist, können wir gegenüberliegende Punkte verbinden und das möcht ich jetzt nicht hier an dieser Dame zeigen. Man malt ja Damen nicht einfach an. Ich zeige das hier mal an dieser Karte. Die ist auch auf diese Art und Weise symmetrisch. Wir können gleiche Symbole verbinden, gegenüberliegende Symbole verbinden. Und da stellen wir Folgendes fest, die Verbindungslinien gehen alle durch einen Punkt. Und dieser Punkt, hier in der Mitte, durch den alle Verbindungslinien gegenüberliegender Punkte verlaufen, der heißt Symmetriezentrum. Weil das so eine wichtige Definition ist, hab ich die auch noch mal schriftlich vorbereitet. Ich muss aber eben hier die Karte putzen, sonst kann ich die nämlich gleich wegschmeißen. Da ist ein wenig die Tinte eingetrocknet, so jetzt kann man sie noch verwenden. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum hat. Das Symmetriezentrum kann man sich so vorstellen, vom Symmetriezentrum aus gesehen gibt es für jeden Punkt der Figur einen gegenüberliegenden Punkt, der gleich weit entfernt ist. Das ist ein Symmetriezentrum. Ich kann das auch hier an dieser 5er-Karte zeigen. Wir können uns vorstellen, dass das Symmetriezentrum hier in der Mitte ist. Von dieser Mitte aus gesehen, gibt es hier eine 5 und eine gegenüberliegende 5 und beide sind gleich weit von der Mitte entfernt. Wenn eine Figur einen solchen Punkt hat, dann ist es eine punktsymmetrische Figur. Ich möchte mal zeigen, wie du eine Figur spiegeln kannst, an einem Punkt. Das geht so. Ich zeichne irgendeine einfache Figur, nicht zu kompliziert, damit ich das hier schnell zeigen kann. Wir brauchen Bezeichnungen für die Ecken, zum Beispiel A, B, C. Und jetzt kann ich mir vorstellen, wo das Symmetriezentrum liegen soll, ich darf mir irgendeinen Punkt aussuchen. Ich sage mal, hier soll das Symmetriezentrum liegen, das heißt übrigens Z, immer. Nun kann ich diese Figur an diesem Symmetriezentrum spiegeln. Und das geht so. Ich verbinde den Punkt A mit dem Symmetriezentrum und verlängere dann diese Strecke um die gleiche Strecke über das Symmetriezentrum Z hinaus. Da ist es ungefähr. Und dann erhalte ich den Punkt A'. Ja, so nennt man das meistens. Wenn A der Ausgangspunkt ist, ist A' der Spiegelpunkt. Nun kann ich aber auch B spiegeln, und zwar, indem ich die Verbindungsstrecke von B zum Symmetriezentrum ziehe, und dann diese Strecke um das gleiche Maß noch mal verlängere. Ja, das müsste hier sein, da ist dann B'. Mit C das Gleiche, noch mal. Wenn du das machst, dann machst du das natürlich mit einem Lineal oder mit einem Geodreieck. Ich erlaube mir das Mal, dass ich das ein bisschen schnell mache, damit der Film nicht zu lang wird. Und jetzt kann ich die hier verbinden, und dann erhalte ich eine gespiegelte Figur. Also, diese Figur ist jetzt an diesem Symmetriezentrum gespiegelt worden. Das ist rausgekommen. Es ist nicht ganz korrekt geworden. Wie du siehst, hier ist es ja ein rechter Winkel, da ist es, na, ist nicht unbedingt einer. Diese gesamte Figur jetzt, die jetzt aus 2 Teilen besteht, ist punktsymmetrisch, sie ist ja durch eine Punktspiegelung entstanden. Du kannst aber auch, wenn du das Mal ausprobieren möchtest, den Spiegelpunkt woanders hinsetzen. Ich kann zum Beispiel den Spiegelpunkt auch hierhin setzen, einfach auf diese Figur drauf. Auch das geht. Dann hab ich hier wieder A, B und C. Jetzt wird, wenn ich C mit dem Symmetriezentrum verbinde, dann liegt diese Verbindungslinie auf einer Linie der Figur. Auch das kann vorkommen, und wenn das Symmetriezentrum direkt in der Mitte dieser Strecke ist, dann wird also C auf B abgebildet und dann hab ich auch noch den Punkt C' an der Stelle. B würde dann auch auf C abgebildet werden. Das heißt, an dieser Stelle hab ich dann auch B'. Und A kann ich jetzt aber schön ordentlich verbinden, mit dem Symmetriezentrum, und A würde dann hier landen. Ich verlängere die Strecke AZ über Z hinaus um die gleiche Länge, dann ist hier A', und das ist hier die neue Figur, die entstanden ist. Ja, auch das ist möglich, dass ein Symmetriezentrum auf einer Linie der Figur liegt. Das Symmetriezentrum oder der Spiegelpunkt kann auch mitten drin liegen, das ist alles völlig egal. Du kannst das ja Mal ein bisschen ausprobieren, zu welchen Figuren du so kommst, wenn du einfach irgendwas hinzeichnest und das Mal an irgendwelchen Punkten spiegelst. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!
Punktsymmetrie Übung
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Ergänze die Definition zur Punktsymmetrie.
TippsBei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse.
Zum Beispiel ist dein Gesicht nahezu symmetrisch zu einer Achse, welche vertikal durch deine Nase verläuft.
Was fällt dir auf, wenn du in den Spiegel schaust?
- Schaue dir deine Augen an,
- deine Ohren,
- deinen Mund rechts und links von der Symmetrieachse.
Hier siehst du ein weiteres Beispiel für eine Punktsymmetrie.
Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist punktsymmetrisch zu dem Bilddreieck $\Delta_{A'B'C'}$.
Das Bilddreieck entsteht durch Spiegelung an dem Punkt $Z$.
LösungWas versteht man unter einer Punktsymmetrie?
Oder anders gefragt: Woran kann man Punktsymmetrie erkennen?
Hierfür gibt es eine Definition. Bei der Punktsymmetrie gibt es ein Symmetriezentrum:
Vom Symmetriezentrum aus gesehen gibt es zu jedem Punkt der Figur einen gegenüberliegenden Punkt, der gleich weit entfernt ist.
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Beschreibe wie eine punktsymmetrische Figur konstruiert werden kann.
TippsBeachte die Definition der Punktsymmetrie zu einem Symmetriezentrum, welche besagt:
Vom Symmetriezentrum aus gesehen gibt es zu jedem Punkt der Figur einen gegenüberliegenden Punkt, der gleich weit entfernt ist.
Aus der Definition kann eine Konstruktion hergeleitet werden:
Es muss zu jedem Punkt einen weiteren Punkt geben, welcher in Bezug auf das Symmetriezentrum gegenüber dem Ausgangspunkt liegt.
Zeichne dir ein Symmetriezentrum und einen zu spiegelnden Punkt. Überlege dir, wo der gespiegelte Punkt liegen muss.
Hier siehst du zum Beispiel wie der Punkt $A$ an dem Symmetriezentrum $Z$ zu dem Punkt $A'$ gespiegelt wird.
LösungDie Definition der Punktsymmetrie besagt, dass zu jedem Punkt ein weiterer Punkt existieren muss, welcher in Bezug auf ein (das!) Symmetriezentrum gegenüber dem Ausgangspunkt liegen muss und den gleichen Abstand zu dem Symmetriezentrum besitzt.
Soll nun eine Figur gespiegelt werden, so spiegelt man verschiedene Punkte, zum Beispiel im Falle eines Vielecks die Eckpunkte, und verbindet diese dann.
Wie eine solche Spiegelung durchgeführt wird, ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen:
- Man zeichnet eine Linie von (hier im Bild $A$) einem Punkt der Figur zu dem Symmetriezentrum und darüber hinaus.
- Man misst den Abstand des Punktes zu dem Symmetriezentrum und trägt diesen Abstand auf der anderen Seite des Symmetriezentrum ab.
- So erhält man den Bild- oder Spiegelpunkt (hier $A'$).
Punktsymmetrische Figuren müssen in einer solchen Art konstruiert werden können.
Das Symmetriezentrum einer punktsymmetrischen Figur ist natürlich fest.
Soll jedoch eine Punktspiegelung durchgeführt werden, so kann man das Symmetriezentrum (oder dann besser: Spiegelzentrum) beliebig wählen.
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Erkläre, wie man eine Punktspiegelung eines Dreiecks durchführen kann.
TippsVerwende die Definition der Punktsymmetrie.
Du benötigst ein Symmetriezentrum, an welchem du spiegeln kannst.
Spiegle zunächst einen Punkt. Wenn du weißt wie dies funktioniert, kannst du ebenso mit den übrigen Punkten verfahren.
Übrigens: Die Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet, dass das Bilddreieck kongruent, also deckungsgleich, zu dem Ausgangsdreieck ist.
LösungWenn man eine Figur auf Punktsymmetrie untersuchen möchte, kann man zueinander gehörende Punkte miteinander verbinden. Wenn man mehrere Punktepaare miteinander verbindet, stellt man fest, dass sich die Verbindungslinien sich in einem Punkt schneiden. Dies ist das Symmetriezentrum. Bei jedem der Punktepaare gilt, dass die Abstände der jeweiligen Punkte zum Symmetriezentrum gleich groß sind.
Umgekehrt kann man mit dieser Erkenntnis eine Punktspiegelung durchführen. Dies kann man in dieser Aufgabe am Beispiel eines Dreiecks sehen.
- Zunächst benötigt man ein Symmetriezentrum $Z$, an welchem gespiegelt werden soll.
- Nun verbindet man einen (nach und nach natürlich jeden) Eckpunkt in den obigen Bildern $A$ durch eine Linie mit $Z$ und verlängert diese über $Z$ hinaus.
- Man misst den Abstand von $A$ zu $Z$ und trägt diese auf der anderen Seite des Symmetriezentrums ab. So erhält man $A'$.
- Ebenso verfährt man mit den Punkten $B$ und $C$ und erhält die Spiegel- oder Bildpunkte $B'$ und $C'$.
- Nun verbindet man die Punkte $A'$, $B'$ und $C'$ entsprechend und
- erhält das Bilddreieck.
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Entscheide, ob die abgebildete geometrische Figur punktsymmetrisch ist.
TippsWenn du eine Symmetrieachse einzeichnen kannst, liegt Achsensymmetrie vor.
Verbinde zueinander gehörende Punkte miteinander. Im Falle der Punktsymmetrie schneiden die Verbindungslinien sich alle in einem Punkt.
Es gibt auch Figuren, die punkt- und achsensymmetrisch sind.
LösungEs gibt Gegenstände oder geometrische Figuren, die sehen irgendwie symmetrisch aus. Wie kann man entscheiden, ob sie tatsächlich symmetrisch sind?
Achsensymmetrie: Es existiert eine Symmetrieachse. Punkte, welche sich bezüglich dieser Achse einander gegenüber liegen, haben den gleichen Abstand zu dieser Achse.
Punktsymmetrie: Es existiert ein Symmetriezentrum. Punkte, welche sich bezüglich dieses Zentrums einander gegenüber liegen, haben den gleichen Abstand zu diesem Zentrum. In diesem Zentrum schneiden sich alle Verbindungslinien einander gegenüberliegender Punkte.
Der Kreis, das Quadrat, das Rechteck und die Raute sich sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch.
Das Trapez und das Dreieck sind zwar achsensymmetrisch, jedoch nicht punktsymmetrisch.
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Schildere wie man untersuchen kann, ob die dargestellte Karte achsensymmetrisch ist.
TippsAchsensymmetrie bedeutet, dass es eine Symmetrieachse gibt, an welcher die Figur gespiegelt gleich aussieht.
Schaue dir den nebenstehenden Buchstaben an: Ist dieser achsensymmetrisch?
Das rote Ampelmännchen ist achsensymmetrisch, das grüne jedoch nicht.
Übrigens: Keines der beiden Ampelmännchen ist punktsymmetrisch.
LösungWenn man überprüfen will, ob die abgebildete Spielkarte achsensymmetrisch ist, kann man an dieser einen Spiegel anlegen. Das so entstandene Bild muss der Spielkarte entsprechen.
Dies ist jedoch nicht der Fall, was wiederum bedeutet, dass die Spielkarte nicht achsensymmetrisch sein kann.
Nun liegt allerdings eine Symmetrie vor. Welche ist das? Die Spielkarte ist punktsymmetrisch.
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Untersuche die folgenden Aussagen zur Punktsymmetrie.
TippsMache dir die Punktsymmetrie daran klar, dass alle Verbindungslinien zueinander gehörender Punkte sich in einem Punkt schneiden.
Hier siehst du ein Parallelogramm. Ist dieses achsensymmetrisch? Kannst du eine Symmetrieachse erkennen?
Verbinde mal die Eckpunkte sowie zwei weitere einander entsprechende Punkte miteinander. Was fällt dir auf?
Welche speziellen Parallelogramme kennst du?
- Ein Quadrat ist ein Parallelogramm.
- Eine Raute ist ein Parallelogramm.
Eine Figur kann mehrere Symmetrieachsen besitzen.
Du kannst eine Punktspiegelung auch durch zweimaliges Spiegeln an zueinander senkrechten Symmetrieachsen durchführen.
LösungIst eine Aussage falsch, so genügt ein Gegenbeispiel:
Wenn du dir ein beliebiges gleichseitiges Dreieck aufzeichnest, dann müsste dieses ja ein Symmetriezentrum besitzen. Man könnte meinen, dieses liegt genau in der Mitte des Dreiecks. Wenn man nun jeden Eckpunkt des Dreiecks daran spiegelt, gelangt man zwar zu einem gleichseitigen Dreieck, jedoch nicht zu dem Ausgangsdreieck.
Das ist bei allen Dreiecken so: Das bedeutet, dass es kein punktsymmetrisches Dreieck geben kann.
Parallelogramme sind hingegen immer punktsymmetrisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist das Symmetriezentrum. Spezielle Parallelogramme, wie zum Beispiel das Quadrat oder die Raute, sind zusätzlich noch achsensymmetrisch.
Kreise sind ganz besonders symmetrisch: Sie sind achsen- und punktsymmetrisch. Es gibt unendlich viele Symmetrieachsen und diese verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises. Dieser ist das Symmetriezentrum des Kreises.
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64 Kommentare
Zu lang und langweilig !!!!!!!!!
Mir hat es geholfen😃😃😃😃😃😀
Dieses Video hat mir sehr geholfen Danke 😊
Am Anfang voll lustig 😂
Martin Wabnik ist voll cool wie er es erklärt. Oder?