Punktsymmetrie 08:00 min

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punktsymmetrie kannst du es wiederholen und üben.

• Ergänze die Definition zur Punktsymmetrie.

  Tipps

  Bei der Achsensymmetrie gibt es eine Symmetrieachse.

  Zum Beispiel ist dein Gesicht nahezu symmetrisch zu einer Achse, welche vertikal durch deine Nase verläuft.

  Was fällt dir auf, wenn du in den Spiegel schaust?

  • Schaue dir deine Augen an,
  • deine Ohren,
  • deinen Mund rechts und links von der Symmetrieachse.

  Hier siehst du ein weiteres Beispiel für eine Punktsymmetrie.

  Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist punktsymmetrisch zu dem Bilddreieck $\Delta_{A'B'C'}$.

  Das Bilddreieck entsteht durch Spiegelung an dem Punkt $Z$.

  Lösung

  Was versteht man unter einer Punktsymmetrie?

  Oder anders gefragt: Woran kann man Punktsymmetrie erkennen?

  Hierfür gibt es eine Definition. Bei der Punktsymmetrie gibt es ein Symmetriezentrum:

  Vom Symmetriezentrum aus gesehen gibt es zu jedem Punkt der Figur einen gegenüberliegenden Punkt, der gleich weit entfernt ist.

• Schildere wie man untersuchen kann, ob die dargestellte Karte achsensymmetrisch ist.

  Tipps

  Achsensymmetrie bedeutet, dass es eine Symmetrieachse gibt, an welcher die Figur gespiegelt gleich aussieht.

  Schaue dir den nebenstehenden Buchstaben an: Ist dieser achsensymmetrisch?

  Das rote Ampelmännchen ist achsensymmetrisch, das grüne jedoch nicht.

  Übrigens: Keines der beiden Ampelmännchen ist punktsymmetrisch.

  Lösung

  Wenn man überprüfen will, ob die abgebildete Spielkarte achsensymmetrisch ist, kann man an dieser einen Spiegel anlegen. Das so entstandene Bild muss der Spielkarte entsprechen.

  Dies ist jedoch nicht der Fall, was wiederum bedeutet, dass die Spielkarte nicht achsensymmetrisch sein kann.

  Nun liegt allerdings eine Symmetrie vor. Welche ist das? Die Spielkarte ist punktsymmetrisch.

• Beschreibe wie eine punktsymmetrische Figur konstruiert werden kann.

  Tipps

  Beachte die Definition der Punktsymmetrie zu einem Symmetriezentrum, welche besagt:

  Vom Symmetriezentrum aus gesehen gibt es zu jedem Punkt der Figur einen gegenüberliegenden Punkt, der gleich weit entfernt ist.

  Aus der Definition kann eine Konstruktion hergeleitet werden:

  Es muss zu jedem Punkt einen weiteren Punkt geben, welcher in Bezug auf das Symmetriezentrum gegenüber dem Ausgangspunkt liegt.

  Zeichne dir ein Symmetriezentrum und einen zu spiegelnden Punkt. Überlege dir, wo der gespiegelte Punkt liegen muss.

  Hier siehst du zum Beispiel wie der Punkt $A$ an dem Symmetriezentrum $Z$ zu dem Punkt $A'$ gespiegelt wird.

  Lösung

  Die Definition der Punktsymmetrie besagt, dass zu jedem Punkt ein weiterer Punkt existieren muss, welcher in Bezug auf ein (das!) Symmetriezentrum gegenüber dem Ausgangspunkt liegen muss und den gleichen Abstand zu dem Symmetriezentrum besitzt.

  Soll nun eine Figur gespiegelt werden, so spiegelt man verschiedene Punkte, zum Beispiel im Falle eines Vielecks die Eckpunkte, und verbindet diese dann.

  Wie eine solche Spiegelung durchgeführt wird, ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen:

  • Man zeichnet eine Linie von (hier im Bild $A$) einem Punkt der Figur zu dem Symmetriezentrum und darüber hinaus.
  • Man misst den Abstand des Punktes zu dem Symmetriezentrum und trägt diesen Abstand auf der anderen Seite des Symmetriezentrum ab.
  • So erhält man den Bild- oder Spiegelpunkt (hier $A'$).

  Wenn man so mit allen Eckpunkten des Dreiecks verfährt und die Spiegelpunkte miteinander verbindet, erhält man das gespiegelte Dreieck.

  Punktsymmetrische Figuren müssen in einer solchen Art konstruiert werden können.

  Das Symmetriezentrum einer punktsymmetrischen Figur ist natürlich fest.

  Soll jedoch eine Punktspiegelung durchgeführt werden, so kann man das Symmetriezentrum (oder dann besser: Spiegelzentrum) beliebig wählen.

• Untersuche die folgenden Aussagen zur Punktsymmetrie.

  Tipps

  Mache dir die Punktsymmetrie daran klar, dass alle Verbindungslinien zueinander gehörender Punkte sich in einem Punkt schneiden.

  Hier siehst du ein Parallelogramm. Ist dieses achsensymmetrisch? Kannst du eine Symmetrieachse erkennen?

  Verbinde mal die Eckpunkte sowie zwei weitere einander entsprechende Punkte miteinander. Was fällt dir auf?

  Welche speziellen Parallelogramme kennst du?

  • Ein Quadrat ist ein Parallelogramm.
  • Eine Raute ist ein Parallelogramm.

  Eine Figur kann mehrere Symmetrieachsen besitzen.

  Du kannst eine Punktspiegelung auch durch zweimaliges Spiegeln an zueinander senkrechten Symmetrieachsen durchführen.

  Lösung

  Ist eine Aussage falsch, so genügt ein Gegenbeispiel:

  Wenn du dir ein beliebiges gleichseitiges Dreieck aufzeichnest, dann müsste dieses ja ein Symmetriezentrum besitzen. Man könnte meinen, dieses liegt genau in der Mitte des Dreiecks. Wenn man nun jeden Eckpunkt des Dreiecks daran spiegelt, gelangt man zwar zu einem gleichseitigen Dreieck, jedoch nicht zu dem Ausgangsdreieck.

  Das ist bei allen Dreiecken so: Das bedeutet, dass es kein punktsymmetrisches Dreieck geben kann.

  Parallelogramme sind hingegen immer punktsymmetrisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist das Symmetriezentrum. Spezielle Parallelogramme, wie zum Beispiel das Quadrat oder die Raute, sind zusätzlich noch achsensymmetrisch.

  Kreise sind ganz besonders symmetrisch: Sie sind achsen- und punktsymmetrisch. Es gibt unendlich viele Symmetrieachsen und diese verlaufen alle durch den Mittelpunkt des Kreises. Dieser ist das Symmetriezentrum des Kreises.

• Erkläre, wie man eine Punktspiegelung eines Dreiecks durchführen kann.

  Tipps

  Verwende die Definition der Punktsymmetrie.

  Du benötigst ein Symmetriezentrum, an welchem du spiegeln kannst.

  Spiegle zunächst einen Punkt. Wenn du weißt wie dies funktioniert, kannst du ebenso mit den übrigen Punkten verfahren.

  Übrigens: Die Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet, dass das Bilddreieck kongruent, also deckungsgleich, zu dem Ausgangsdreieck ist.

  Lösung

  Wenn man eine Figur auf Punktsymmetrie untersuchen möchte, kann man zueinander gehörende Punkte miteinander verbinden. Wenn man mehrere Punktepaare miteinander verbindet, stellt man fest, dass sich die Verbindungslinien sich in einem Punkt schneiden. Dies ist das Symmetriezentrum. Bei jedem der Punktepaare gilt, dass die Abstände der jeweiligen Punkte zum Symmetriezentrum gleich groß sind.

  Umgekehrt kann man mit dieser Erkenntnis eine Punktspiegelung durchführen. Dies kann man in dieser Aufgabe am Beispiel eines Dreiecks sehen.

  1. Zunächst benötigt man ein Symmetriezentrum $Z$, an welchem gespiegelt werden soll.
  2. Nun verbindet man einen (nach und nach natürlich jeden) Eckpunkt in den obigen Bildern $A$ durch eine Linie mit $Z$ und verlängert diese über $Z$ hinaus.
  3. Man misst den Abstand von $A$ zu $Z$ und trägt diese auf der anderen Seite des Symmetriezentrums ab. So erhält man $A'$.
  4. Ebenso verfährt man mit den Punkten $B$ und $C$ und erhält die Spiegel- oder Bildpunkte $B'$ und $C'$.
  5. Nun verbindet man die Punkte $A'$, $B'$ und $C'$ entsprechend und
  6. erhält das Bilddreieck.

• Entscheide, ob die abgebildete geometrische Figur punktsymmetrisch ist.

  Tipps

  Wenn du eine Symmetrieachse einzeichnen kannst, liegt Achsensymmetrie vor.

  Verbinde zueinander gehörende Punkte miteinander. Im Falle der Punktsymmetrie schneiden die Verbindungslinien sich alle in einem Punkt.

  Es gibt auch Figuren, die punkt- und achsensymmetrisch sind.

  Lösung

  Es gibt Gegenstände oder geometrische Figuren, die sehen irgendwie symmetrisch aus. Wie kann man entscheiden, ob sie tatsächlich symmetrisch sind?

  Achsensymmetrie: Es existiert eine Symmetrieachse. Punkte, welche sich bezüglich dieser Achse einander gegenüber liegen, haben den gleichen Abstand zu dieser Achse.

  Punktsymmetrie: Es existiert ein Symmetriezentrum. Punkte, welche sich bezüglich dieses Zentrums einander gegenüber liegen, haben den gleichen Abstand zu diesem Zentrum. In diesem Zentrum schneiden sich alle Verbindungslinien einander gegenüberliegender Punkte.

  Der Kreis, das Quadrat, das Rechteck und die Raute sich sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch.

  Das Trapez und das Dreieck sind zwar achsensymmetrisch, jedoch nicht punktsymmetrisch.