pq-Formel – Herleitung 05:38 min

Hallo! Du kannst eine quadratische Gleichung lösen, indem du diese Gleichung faktorisierst. Was das bedeutet, möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar mit dem, ich glaube einfachst vorstellbaren Fall, nämlich das die Gleichung in  faktorisierter Form vorliegt. Dann brauchen wir nämlich nicht mehr faktorisieren. Und zwar könnte Folgendes passieren, wir haben: (x-0,7)×(x+12)=0. Das ist also die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung. Die schreibe ich noch mal allgemein auf, die ist nämlich: (x+a)×(x+b)=0. Das ist also die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung. Wenn man jetzt hier für a 0,7 einsetzt und für b 12 einsetzt, dann bekommt man genau diese Form hier. Warum ist das einfach zu lösen? Weil wir jetzt wieder argumentieren können: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, entweder dieser Faktor ist 0, oder dieser Faktor ist 0. Das bedeutet: x=0,7, dann ist nämlich x-0,7=0, oder x=-12, dann ist nämlich x+12=0. Also, das heißt, wenn man faktorisieren kann, ist man schnell fertig mit der Gleichung, weil man dann quasi die Lösungen ja ablesen kann. Es gibt noch eine Möglichkeit zu faktorisieren, ich meine da haben wir ja gar nicht faktorisiert, da liegt es ja schon in der faktorisierten Form vor. Wie das noch gehen kann, möchte ich jetzt mal hier an diesem allgemeinen Fall zeigen, indem ich den nämlich ausmultipliziere: x×x=x², a×x=a×x, x×b=b×x und a×b=a×b, das ist richtig schlau hier alles. Es geht weiter ich kann diese beiden hier noch zusammenfassen mit dem Distributivgesetz, dann steht da nämlich: x²+(a+b)×x+ab=0. Wenn diese allgemeine faktorisierte Form vorliegt, kann ich auch diese Rechenoperation machen und erhalte diese Form.  Jede quadratische Gleichung, die in Normalform vorliegt, kann ich  jetzt auch quasi mit dieser Formel in diese faktorisierte Form bringen. Das geht im Komplexen mit tatsächlich jeder quadratischen Gleichung, im reellen nicht ganz mit jeder Gleichung, aber da möchte ich jetzt nicht weiter drauf eingehen. Ich möchte nur ein Beispiel mal zeigen, bei dem das recht gut funktioniert. Und das ist Folgendes: Wir haben x²+3x+2=0. Wenn ich jetzt mir diese Formel hier vor Augen halte, diesen Term, und den hier wieder erkennen möchte, dann kann ich mir überlegen, welches Produkt ist gleich 2. Dann komme ich z. B. auf 2×1, 2+1=3, also funktioniert das hier, ich kann also zu dieser faktorisierten Form übergehen und einfach schreiben: (x+2)×(x+1)=0. Der Clou an der Sache ist, dass man hier weiss die beiden Gegenzahlen der Lösungen ergeben zusammen 3 und das Produkt der Lösungen ergibt 2. Da kann man ruhig auf die beiden natürlichen Zahlen 2 und 1 kommen, die ja multipliziert 2 ergeben und addiert 3 ergeben. Das funktioniert natürlich nur, wenn es um natürliche Zahlen geht, oder um ganze Zahlen geht, oder das anderweitig irgendwie offensichtlich ist, oder man darauf kommt, wie man das so faktorisieren kann. Wenn man es sieht, ist man sehr schnell fertig, und wenn man es nicht sieht, dann hat man nicht direkt Pech gehabt, aber man kann dann halt die anderen Methoden anwenden. Diese Methode ist auch da, nur der Vollständigkeit halber, wenn die Zahlen sehr einfach sind, darf man das ruhig sehen. Dann viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!