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pq-Formel – Herleitung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
pq-Formel – Herleitung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Herleitung

Willkommen zu meinem zweiten Video, in dem ich dir an zwei Beispielen noch einmal die Methode des Faktorisierens zur Lösung quadratischer Gleichungen zeigen möchte. In meinem ersten Beispiel ( x – 0,7 ) • ( x + 12 ) = 0 zeige ich dir, welchen Vorteil das Faktorisieren hat, bei der Suche der Nullstellen einer quadratischen Gleichung. Bei meinem zweiten Beispiel x² + 3x + 2 = 0 zeige ich dir eine anspruchsvollere Aufgabe, die aber ebenfalls ohne weiteres durch das Faktorisieren gelöst werden kann. Viel Spaß mit meinem Video!

Transkript pq-Formel – Herleitung

Hallo! Du kannst eine quadratische Gleichung lösen, indem du diese Gleichung faktorisierst. Was das bedeutet, möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar mit dem, ich glaube einfachst vorstellbaren Fall, nämlich das die Gleichung in  faktorisierter Form vorliegt. Dann brauchen wir nämlich nicht mehr faktorisieren. Und zwar könnte Folgendes passieren, wir haben: (x-0,7)×(x+12)=0. Das ist also die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung. Die schreibe ich noch mal allgemein auf, die ist nämlich: (x+a)×(x+b)=0. Das ist also die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung. Wenn man jetzt hier für a 0,7 einsetzt und für b 12 einsetzt, dann bekommt man genau diese Form hier. Warum ist das einfach zu lösen? Weil wir jetzt wieder argumentieren können: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, entweder dieser Faktor ist 0, oder dieser Faktor ist 0. Das bedeutet: x=0,7, dann ist nämlich x-0,7=0, oder x=-12, dann ist nämlich x+12=0. Also, das heißt, wenn man faktorisieren kann, ist man schnell fertig mit der Gleichung, weil man dann quasi die Lösungen ja ablesen kann. Es gibt noch eine Möglichkeit zu faktorisieren, ich meine da haben wir ja gar nicht faktorisiert, da liegt es ja schon in der faktorisierten Form vor. Wie das noch gehen kann, möchte ich jetzt mal hier an diesem allgemeinen Fall zeigen, indem ich den nämlich ausmultipliziere: x×x=x², a×x=a×x, x×b=b×x und a×b=a×b, das ist richtig schlau hier alles. Es geht weiter ich kann diese beiden hier noch zusammenfassen mit dem Distributivgesetz, dann steht da nämlich: x²+(a+b)×x+ab=0. Wenn diese allgemeine faktorisierte Form vorliegt, kann ich auch diese Rechenoperation machen und erhalte diese Form.  Jede quadratische Gleichung, die in Normalform vorliegt, kann ich  jetzt auch quasi mit dieser Formel in diese faktorisierte Form bringen. Das geht im Komplexen mit tatsächlich jeder quadratischen Gleichung, im reellen nicht ganz mit jeder Gleichung, aber da möchte ich jetzt nicht weiter drauf eingehen. Ich möchte nur ein Beispiel mal zeigen, bei dem das recht gut funktioniert. Und das ist Folgendes: Wir haben x²+3x+2=0. Wenn ich jetzt mir diese Formel hier vor Augen halte, diesen Term, und den hier wieder erkennen möchte, dann kann ich mir überlegen, welches Produkt ist gleich 2. Dann komme ich z. B. auf 2×1, 2+1=3, also funktioniert das hier, ich kann also zu dieser faktorisierten Form übergehen und einfach schreiben: (x+2)×(x+1)=0. Der Clou an der Sache ist, dass man hier weiss die beiden Gegenzahlen der Lösungen ergeben zusammen 3 und das Produkt der Lösungen ergibt 2. Da kann man ruhig auf die beiden natürlichen Zahlen 2 und 1 kommen, die ja multipliziert 2 ergeben und addiert 3 ergeben. Das funktioniert natürlich nur, wenn es um natürliche Zahlen geht, oder um ganze Zahlen geht, oder das anderweitig irgendwie offensichtlich ist, oder man darauf kommt, wie man das so faktorisieren kann. Wenn man es sieht, ist man sehr schnell fertig, und wenn man es nicht sieht, dann hat man nicht direkt Pech gehabt, aber man kann dann halt die anderen Methoden anwenden. Diese Methode ist auch da, nur der Vollständigkeit halber, wenn die Zahlen sehr einfach sind, darf man das ruhig sehen. Dann viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. In dem Video wird doch nicht die pq-Formel hergeleitet! Sie taucht noch nicht einmal im Video auf!

    Von C Foerster 1, vor fast 2 Jahren
  2. bisschen crazy der typ aber gut zu verstehen:)

    Von Deleted User 64120, vor etwa 8 Jahren

pq-Formel – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die Nullstellen der quadratischen Gleichung in faktorisierter Form angeben kann.

    Tipps

    Schreibe jede der Gleichungen, welche sich durch den entsprechenden Faktor ergeben auf und löse diese.

    Achte auf die Vorzeichen der Lösungen.

    Setze die Lösungen zur Kontrolle ein.

    Es ist $0\cdot 8=0$ und ebenso ist $25\cdot 0=0$.

    Das Ergebnis einer Multiplikation ist ein Produkt und es gilt:

    Faktor mal Faktor gleich Produkt.

    Lösung

    Wenn eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

    $(x-0,7)\cdot(x+12)=0$

    vorliegt, kann man die Lösungen direkt erkennen.

    Die allgemeine Form lautet $(x+a)\cdot (x+b)=0$.

    Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist, also ist

    • entweder $x-0,7=0$ also $x=0,7$,
    • oder $x+12=0$ also $x=-12$.

  • Bestimme die Lösungen der Gleichung.

    Tipps

    Die allgemeine Darstellung einer faktorisierten quadratischen Gleichung lautet: $(x+a)\cdot (x+b)=0$.

    Diese Gleichung kann man ausmultiplizieren zu $x^2+(a+b)x+ab=0$.

    Du suchst also $a$ und $b$, sodass

    • $a+b=3$ und
    • $ab=2$ ist.

    Wenn die Gleichung in faktorisierter Form $(x+a)\cdot (x+b)=0$ vorliegt, kannst du die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen.

    Lösung

    Wenn der quadratische Term einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form vorliegt, kann man die Lösungen der Gleichung ablesen.

    Ganz allgemein liefert

    $(x+a)\cdot (x+b)=0$

    die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$.

    Was kann man tun, wenn der quadratische Term nicht in faktorisierter Form vorliegt?

    Wenn man den obigen Term $(x+a)\cdot (x+b)$ ausmultipliziert, erhält man:

    $\begin{align*} (x+a)\cdot (x+b)&=x^2+ax+bx+ab\\ &=x^2+(a+b)x+ab. \end{align*}$

    Man kann also erkennen, dass der Faktor vor dem $x$ sich als Summe von $a$ und $b$ und der Term, welcher alleine steht, als deren Produkt ergibt.

    Bei dem obigen Beispiel

    $x^2+3x+2=0$

    bedeutet dies: Welche Zahlen $a$ und $b$ ergeben

    • addiert $3$ und
    • multipliziert $2$?
    Diese Überlegung funktioniert so (einfach!) nur dann, wenn $a$ und $b$ ganze Zahlen sind: Es ist $2\cdot 1=2$, also $a=2$ und $b=1$. Nun kann man prüfen, ob auch $a+b=3$ ist. $2+1=3~\surd$.

    Somit kann die Gleichung auch geschrieben werden als

    $(x+2)\cdot (x+1)=0$

    und man kann die Lösungen $x=-2$ oder $x=-1$ ablesen.

  • Ordne jeder der Gleichungen die Lösungen zu.

    Tipps

    Beachte: Liegt eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

    $(x+a)\cdot (x+b)=0$

    vor, dann kann man die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen.

    Achte auf die Vorzeichen der Lösungen.

    Lösung

    Sei eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

    $(x+a)\cdot (x+b)=0$

    gegeben, dann kann man die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen:

    1. $(x+2)\cdot (x-1)=0$ liefert $x=-2$ oder $x=1$.
    2. $(x+2)\cdot (x+1)=0$ liefert $x=-2$ oder $x=-1$.
    3. $(x-2)\cdot (x-1)=0$ liefert $x=2$ oder $x=1$.
    4. $(x-2)\cdot (x+1)=0$ liefert $x=2$ oder $x=-1$.

  • Leite die Faktorisierung der Gleichung her.

    Tipps

    Wenn du den faktorisierten quadratischen Term $(x+a)\cdot (x+b)$ ausmultiplizierst, erhältst du $x^2+(a+b)x+ab$.

    Alle Werte für $a$ und $b$ sind ganze Zahlen.

    Die Reihenfolge der beiden Faktoren ist egal, da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.

    Lösung

    Die Lösungen einer quadratischen Gleichung können abgelesen werden, wenn diese in faktorisierter Form

    $(x+a)\cdot (x+b)=0$

    vorliegt. Hier lauten die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$.

    Betrachtet man nun die folgenden Beispiele

    1. $x^2+x-2$. Es muss $a+b=1$ und $ab=-2$ sein. Das bedeutet, dass einer der beiden Werte negativ sein muss. Zum Beispiel $a=-1$ und $b=2$: $(x-1)\cdot (x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2~\surd$. Man könnte auch $a=1$ und $b=-2$ probieren: $(x+1)\cdot (x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$, das stimmt leider nicht.
    2. $x^2+4x+3$. Es muss $a+b=4$ und $ab=3$ sein. Hier ist $a=3$ und $b=1$: $(x+3)\cdot (x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3~\surd$.
    3. $x^2-4x+3$. Es muss $a+b=-4$ und $ab=3$ sein. Hier ist $a=-3$ und $b=-1$: $(x-3)\cdot (x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3~\surd$.

  • Gib an, welche Merkregel man verwenden kann, wenn man die Nullstellen einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form bestimmen möchte.

    Tipps

    An der Gleichung $x^2-4x-5=0$ kann man die Lösungen nicht ablesen.

    Wenn der obige quadratische Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens faktorisiert wird zu

    $(x+1)\cdot (x-5)=0$,

    kann man die Nullstellen $x=-1$ oder $x=5$ ablesen.

    Es gilt:

    • Summand plus Summand gleich Summe
    • Faktor mal Faktor gleich Produkt.

    Lösung

    Wenn man eine Gleichung lösen muss, in welcher auf der rechten (oder auch linken!) Seite eine $0$ steht, ist es gut, wenn auf der anderen Seite ein Produkt steht, da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Zum Beispiel kann man bei der Gleichung

    $x^2-4x-5=0$

    die Lösungen nicht sofort erkennen.

    Es ist $x^2-4x-5=(x+1)\cdot(x-5)$ die Faktorisierung des quadratischen Terms links vom Gleichheitszeichen. An dieser Form kann man die Nullstellen $x=-1$ oder $x=5$ ablesen.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Um auf die Form $x^2+(a+b)x+ab=0$ zu kommen, musst du die Gleichung zunächst durch den Faktor vor dem $x^2$ dividieren.

    Dies führt zu der Gleichung

    $x^2-2x-15=0$.

    Es muss also gelten:

    • $a+b=-2$ und
    • $ab=-15$.
    Sowohl $a$ als auch $b$ sind ganzzahlig.

    Die gesuchten Lösungen sind $x=-a$ oder $x=-b$.

    Führe eine Probe durch: Die gefundenen Lösungen müssen die obige Gleichung erfüllen.

    Lösung

    Es soll die Gleichung

    $-2x^2+4x+30=0$

    gelöst werden. Um den quadratischen Term zu faktorisieren, dividiert man zunächst durch den Faktor $-2$ vor dem $x^2$ und erhält

    $x^2-2x-15=0$.

    Nun muss

    • $a+b=-2$ sowie
    • $ab=-15$ gelten.
    Da die einzigen ganzzahligen Teiler von $15$ die $3$ und die $5$ sind, kann es nur die folgenden Möglichkeiten geben:
    • $a=3$, $b=-5$ – es gilt $3-5=-2~\surd$ – oder
    • $a=-3$, $b=5$ – es gilt $-3+5=2$, diese Möglichkeit kann also bereits ausgeschlossen werden.
    Man kann eine Probe durchführen:

    $(x+3)\cdot(x-5)=x^2-5x+3x-15=x^2-2x-15~\surd$.

    Die obige Gleichung ist also äquivalent zu

    $(x+3)\cdot(x-5)=0$.

    Aus dieser Gleichung können die Lösungen

    $x=-3$ oder $x=5$ abgelesen werden.

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