pq-Formel – Herleitung

pq-Formel – Herleitung Übung

• Beschreibe, wie man die Nullstellen der quadratischen Gleichung in faktorisierter Form angeben kann.

  Tipps

  Schreibe jede der Gleichungen, welche sich durch den entsprechenden Faktor ergeben auf und löse diese.

  Achte auf die Vorzeichen der Lösungen.

  Setze die Lösungen zur Kontrolle ein.

  Es ist $0\cdot 8=0$ und ebenso ist $25\cdot 0=0$.

  Das Ergebnis einer Multiplikation ist ein Produkt und es gilt:

  Faktor mal Faktor gleich Produkt.

  Lösung

  Wenn eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

  $(x-0,7)\cdot(x+12)=0$

  vorliegt, kann man die Lösungen direkt erkennen.

  Die allgemeine Form lautet $(x+a)\cdot (x+b)=0$.

  Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist, also ist

  • entweder $x-0,7=0$ also $x=0,7$,
  • oder $x+12=0$ also $x=-12$.

• Bestimme die Lösungen der Gleichung.

  Tipps

  Die allgemeine Darstellung einer faktorisierten quadratischen Gleichung lautet: $(x+a)\cdot (x+b)=0$.

  Diese Gleichung kann man ausmultiplizieren zu $x^2+(a+b)x+ab=0$.

  Du suchst also $a$ und $b$, sodass

  • $a+b=3$ und
  • $ab=2$ ist.

  Wenn die Gleichung in faktorisierter Form $(x+a)\cdot (x+b)=0$ vorliegt, kannst du die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen.

  Lösung

  Wenn der quadratische Term einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form vorliegt, kann man die Lösungen der Gleichung ablesen.

  Ganz allgemein liefert

  $(x+a)\cdot (x+b)=0$

  die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$.

  Was kann man tun, wenn der quadratische Term nicht in faktorisierter Form vorliegt?

  Wenn man den obigen Term $(x+a)\cdot (x+b)$ ausmultipliziert, erhält man:

  $\begin{align*} (x+a)\cdot (x+b)&=x^2+ax+bx+ab\\ &=x^2+(a+b)x+ab. \end{align*}$

  Man kann also erkennen, dass der Faktor vor dem $x$ sich als Summe von $a$ und $b$ und der Term, welcher alleine steht, als deren Produkt ergibt.

  Bei dem obigen Beispiel

  $x^2+3x+2=0$

  bedeutet dies: Welche Zahlen $a$ und $b$ ergeben

  • addiert $3$ und
  • multipliziert $2$?

  Diese Überlegung funktioniert so (einfach!) nur dann, wenn $a$ und $b$ ganze Zahlen sind: Es ist $2\cdot 1=2$, also $a=2$ und $b=1$. Nun kann man prüfen, ob auch $a+b=3$ ist. $2+1=3~\surd$.

  Somit kann die Gleichung auch geschrieben werden als

  $(x+2)\cdot (x+1)=0$

  und man kann die Lösungen $x=-2$ oder $x=-1$ ablesen.

• Ordne jeder der Gleichungen die Lösungen zu.

  Tipps

  Beachte: Liegt eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

  $(x+a)\cdot (x+b)=0$

  vor, dann kann man die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen.

  Achte auf die Vorzeichen der Lösungen.

  Lösung

  Sei eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form

  $(x+a)\cdot (x+b)=0$

  gegeben, dann kann man die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$ ablesen:

  1. $(x+2)\cdot (x-1)=0$ liefert $x=-2$ oder $x=1$.
  2. $(x+2)\cdot (x+1)=0$ liefert $x=-2$ oder $x=-1$.
  3. $(x-2)\cdot (x-1)=0$ liefert $x=2$ oder $x=1$.
  4. $(x-2)\cdot (x+1)=0$ liefert $x=2$ oder $x=-1$.

• Leite die Faktorisierung der Gleichung her.

  Tipps

  Wenn du den faktorisierten quadratischen Term $(x+a)\cdot (x+b)$ ausmultiplizierst, erhältst du $x^2+(a+b)x+ab$.

  Alle Werte für $a$ und $b$ sind ganze Zahlen.

  Die Reihenfolge der beiden Faktoren ist egal, da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt.

  Lösung

  Die Lösungen einer quadratischen Gleichung können abgelesen werden, wenn diese in faktorisierter Form

  $(x+a)\cdot (x+b)=0$

  vorliegt. Hier lauten die Lösungen $x=-a$ oder $x=-b$.

  Betrachtet man nun die folgenden Beispiele

  1. $x^2+x-2$. Es muss $a+b=1$ und $ab=-2$ sein. Das bedeutet, dass einer der beiden Werte negativ sein muss. Zum Beispiel $a=-1$ und $b=2$: $(x-1)\cdot (x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2~\surd$. Man könnte auch $a=1$ und $b=-2$ probieren: $(x+1)\cdot (x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$, das stimmt leider nicht.
  2. $x^2+4x+3$. Es muss $a+b=4$ und $ab=3$ sein. Hier ist $a=3$ und $b=1$: $(x+3)\cdot (x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3~\surd$.
  3. $x^2-4x+3$. Es muss $a+b=-4$ und $ab=3$ sein. Hier ist $a=-3$ und $b=-1$: $(x-3)\cdot (x-1)=x^2-x-3x+3=x^2-4x+3~\surd$.

• Gib an, welche Merkregel man verwenden kann, wenn man die Nullstellen einer quadratischen Gleichung in faktorisierter Form bestimmen möchte.

  Tipps

  An der Gleichung $x^2-4x-5=0$ kann man die Lösungen nicht ablesen.

  Wenn der obige quadratische Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens faktorisiert wird zu

  $(x+1)\cdot (x-5)=0$,

  kann man die Nullstellen $x=-1$ oder $x=5$ ablesen.

  Es gilt:

  • Summand plus Summand gleich Summe
  • Faktor mal Faktor gleich Produkt.

  Lösung

  Wenn man eine Gleichung lösen muss, in welcher auf der rechten (oder auch linken!) Seite eine $0$ steht, ist es gut, wenn auf der anderen Seite ein Produkt steht, da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

  Zum Beispiel kann man bei der Gleichung

  $x^2-4x-5=0$

  die Lösungen nicht sofort erkennen.

  Es ist $x^2-4x-5=(x+1)\cdot(x-5)$ die Faktorisierung des quadratischen Terms links vom Gleichheitszeichen. An dieser Form kann man die Nullstellen $x=-1$ oder $x=5$ ablesen.

• Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Um auf die Form $x^2+(a+b)x+ab=0$ zu kommen, musst du die Gleichung zunächst durch den Faktor vor dem $x^2$ dividieren.

  Dies führt zu der Gleichung

  $x^2-2x-15=0$.

  Es muss also gelten:

  • $a+b=-2$ und
  • $ab=-15$.

  Sowohl $a$ als auch $b$ sind ganzzahlig.

  Die gesuchten Lösungen sind $x=-a$ oder $x=-b$.

  Führe eine Probe durch: Die gefundenen Lösungen müssen die obige Gleichung erfüllen.

  Lösung

  Es soll die Gleichung

  $-2x^2+4x+30=0$

  gelöst werden. Um den quadratischen Term zu faktorisieren, dividiert man zunächst durch den Faktor $-2$ vor dem $x^2$ und erhält

  $x^2-2x-15=0$.

  Nun muss

  • $a+b=-2$ sowie
  • $ab=-15$ gelten.

  Da die einzigen ganzzahligen Teiler von $15$ die $3$ und die $5$ sind, kann es nur die folgenden Möglichkeiten geben:

  • $a=3$, $b=-5$ – es gilt $3-5=-2~\surd$ – oder
  • $a=-3$, $b=5$ – es gilt $-3+5=2$, diese Möglichkeit kann also bereits ausgeschlossen werden.

  Man kann eine Probe durchführen:

  $(x+3)\cdot(x-5)=x^2-5x+3x-15=x^2-2x-15~\surd$.

  Die obige Gleichung ist also äquivalent zu

  $(x+3)\cdot(x-5)=0$.

  Aus dieser Gleichung können die Lösungen

  $x=-3$ oder $x=5$ abgelesen werden.