pq-Formel für quadratische Gleichungen

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Grundlagen zum Thema pq-Formel für quadratische Gleichungen
Die pq-Formel ist eine wichtige Formel, mit der quadratische Gleichungen gelösten werden können. Im Video schauen wir uns die Formel an, aber nicht, wie sie hergeleitet werden. Es werden außerdem mehrere Beispiele durchgerechnet, in denen die pq-Formel angewendet wird. Wir stellen fest, dass manche quadratischen Gleichungen zwei Lösungen haben und dass es auch quadratische Gleichungen gibt, die nur eine Lösung oder auch gar keine Lösung haben.
pq-Formel für quadratische Gleichungen Übung
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Bestimme $p$ und $q$ der quadratischen Gleichung $x^2-6x+9=0$.
TippsAchte auf die Vorzeichen.
$p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.
LösungDie Normalform einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:
- $x^2+px+q=0$
- $x^2-6x+9=0$
- $x^2+(-6)\cdot x+9=0$
- $p=-6$
- $q=9$
- $x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}$
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Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichungen mit Hilfe der $pq$-Formel.
TippsQuadratische Gleichungen in der Normalform $x^2+px+q=0$ können wir direkt mit Hilfe der $pq$-Formel lösen. Diese ist wie folgt definiert:
- $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$
Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, so kannst du innerhalb der reellen Zahlen die Wurzel nicht ziehen. In so einem Fall besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.
LösungQuadratische Gleichungen in der Normalform $x^2+px+q=0$ können wir direkt mit Hilfe der $pq$-Formel lösen. Diese ist wie folgt definiert:
- $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$
Gleichung 1: $~x^2-2x-3=0$
Mit $p=-2$ und $q=-3$ folgt:
$\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{-2}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}2\right)^2-(-3)} \\ & &=& 1\pm\sqrt{1+3} \\ & &=& 1\pm 2 \\ \\ & x_1 &=& 3 \\ & x_2 &=& -1 \\ \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace -1; 3 \rbrace$
Gleichung 2: $~x^2+4x+8=0$
Mit $p=4$ und $q=8$ folgt:
$\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{4}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}2\right)^2-8} \\ & &=& -2\pm\sqrt{4-8} \\ & &=& -2\pm \sqrt{-4} \\ \\ \end{array}$
Innerhalb der reellen Zahlen können wir keine Wurzel auf negativen Zahlen ziehen. Damit hat diese quadratische Gleichung keine Lösung und wir schreiben: $~\mathbb{L}=\lbrace ~ \rbrace$
Gleichung 3: $~x^2+4x+3=0$
Mit $p=4$ und $q=3$ folgt:
$\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{4}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}2\right)^2-3} \\ & &=& -2\pm\sqrt{4-3} \\ & &=& -2\pm 1 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -3 \\ \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace -3; -1 \rbrace$
Gleichung 4: $~x^2-6x+9=0$
Mit $p=-6$ und $q=9$ folgt:
$\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{-6}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}2\right)^2-9} \\ & &=& 3\pm\sqrt{9-9} \\ & &=& 3\pm 0 \\ \\ & x_1 &=& 3 \\ \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace 3 \rbrace$
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Entscheide bei jeder der Funktionen, was $p$ und was $q$ ist.
TippsBeachte, dass du die Gleichung gegebenenfalls so umstellen musst, dass vor dem $x^2$ eine $1$ steht. Denn die Normalform lautet:
- $x^2+px+q=0$
Das Vorzeichen gehört sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazu. Beachte, dass der Koeffizient von $x^2$ gleich $1$ ist und nicht $-1$.
LösungUm eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ zu lösen, nutzen wir die $pq$-Formel:
- $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$
- $p$ der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.
- $x^2-3x+4=0~$ $\rightarrow ~$ Hier ist $p=-3$ und $q=4$.
- $2x^2+2x+4=0~$ $\rightarrow ~$ Zunächst müssen wir durch $2$ dividieren, um zu der Normalform $x^2+x+2=0$ zu gelangen. Dann lesen wir $p=1$ und $q=2$ ab.
- $-x^2-3x+4=0~$ $\rightarrow~$ Durch Multiplikation mit $-1$ gelangt man zu $x^2+3x-4=0$, also ist $p=3$ und $q=-4$.
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Ermittle die Lösung(en) der quadratischen Gleichung $~-\frac12x^2+5x-\frac{25}2=0~$.
TippsDie Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
$x^2+px+q=0$
Die $pq$-Formel lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Mit dieser kannst du die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform direkt berechnen.
LösungEs soll folgende quadratische Gleichung gelöst werden:
- $-\frac12x^2+5x-\frac{25}2=0$
Zunächst wird diese Gleichung in Normalform gebracht:
$\begin{array}{llll} -\frac12x^2+5x-\frac{25}2 &=& 0 & \vert \cdot (-2) \\ x^2-10x+25 &=& 0 & \end{array}$
Nun kann man $p=-10$ und $q=25$ ablesen und diese in die $pq$-Formel einsetzen:
- $x_{1,2}=-\frac{-10}2\pm\sqrt{\left(\frac{-10}2\right)^2-25}$
$x_{1,2}=5\pm\sqrt{5^2-25}=5\pm\sqrt 0=5$
Da der Term unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, $0$ ist, ist es egal, ob man diesen Wert addiert oder subtrahiert, es kommt beide Male das Gleiche heraus. Es existiert also nur eine Lösung $x=5$.
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Gib an, welche Aussagen bezüglich der Anwendung der $pq$-Formel zutreffen.
TippsZu einem linearen Term $px+q$ gehört eine Gerade. Wie viele Schnittpunkte mit der $x$-Achse kann diese besitzen?
Schau dir den Term $\left(\dfrac{p}2\right)^2-q$ unter der Wurzel an.
- Wann kann die Wurzel gezogen werden und wann nicht?
- Was ist $\sqrt 0$?
Es existiert auch eine $abc$-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen.
LösungZur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet man die $pq$-Formel. Die quadratische Gleichung muss hierfür in Normalform vorliegen. Diese ist wie folgt definiert:
- $x^2+px+q=0$
- $p$ der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.
- $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$
- Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q >0$, besitzt die Gleichung zwei Lösungen.
- Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q =0$, besitzt die Gleichung eine Lösung.
- Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q <0$, besitzt die Gleichung keine Lösung.
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Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.
TippsWenn die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel der $pq$-Formel, größer als $0$ ist, hat die Gleichung zwei Lösungen.
Überführe die Gleichungen zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$.
LösungBei allen drei betrachteten Gleichungen ist $p=8$ und $q$ variiert. Das erkennst du allerdings erst dann, wenn du die Gleichungen in die Normalform überführt hast.
Gleichung 1
$2x^2+16x+40=0$
Dividieren wir die Gleichung durch $2$, erhalten wir: $~x^2+8x+20=0$
Die $pq$-Formel liefert keine Lösung, da wir einen negativen Ausdruck unter der Wurzel erhalten:
$x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-20}=-4\pm\sqrt{-4}$
Gleichung 2
$0,5x^2+4x+8=0$
Multiplizieren wir die Gleichung mit $2$, erhalten wir: $~x^2+8x+16=0$
Die $pq$-Formel liefert genau eine Lösung, da wir eine Null unter der Wurzel erhalten:
$x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-16}=-4\pm\sqrt{0}$
Damit ist $x=-4$.
Gleichung 3
$0,25x^2+2x = -3$
Addieren wir auf beiden Seiten $3$ und multiplizieren die Gleichung dann mit $4$, erhalten wir: $~x^2+8x+12 = 0$
Die $pq$-Formel liefert zwei Lösungen, da der Ausdruck unter der Wurzel größer Null ist:
$x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-12}=-4\pm\sqrt{4}=-4\pm 2$
Damit ist $x_1=-2$ und $x_2=-6$.

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