pq-Formel für quadratische Gleichungen

pq-Formel für quadratische Gleichungen Übung

• Bestimme $p$ und $q$ der quadratischen Gleichung $x^2-6x+9=0$.

  Tipps

  Achte auf die Vorzeichen.

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.

  Lösung

  Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

  • $x^2+px+q=0$

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht. Wir betrachten nun die folgende quadratische Gleichung:

  • $x^2-6x+9=0$

  Diese Gleichung können wir auch wie folgt schreiben:

  • $x^2+(-6)\cdot x+9=0$

  Dann erkennen wir, dass $p$ und $q$ wie folgt gegeben sind:

  • $p=-6$
  • $q=9$

  Diese Größen kann man nun in folgende $pq$-Formel einsetzen und die Lösung(en) der quadratischen Gleichung bestimmen:

  • $x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q}$

• Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichungen mit Hilfe der $pq$-Formel.

  Tipps

  Quadratische Gleichungen in der Normalform $x^2+px+q=0$ können wir direkt mit Hilfe der $pq$-Formel lösen. Diese ist wie folgt definiert:

  • $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$

  Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, so kannst du innerhalb der reellen Zahlen die Wurzel nicht ziehen. In so einem Fall besitzt die quadratische Gleichung keine Lösung.

  Lösung

  Quadratische Gleichungen in der Normalform $x^2+px+q=0$ können wir direkt mit Hilfe der $pq$-Formel lösen. Diese ist wie folgt definiert:

  • $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$

  Hierzu legen wir unter Beachtung der Vorzeichen $p$ und $q$ fest und setzen diese Zahlen dann in die $pq$-Formel ein. Wir erhalten dann die folgenden Rechnungen:

  Gleichung 1: $~x^2-2x-3=0$

  Mit $p=-2$ und $q=-3$ folgt:

  $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{-2}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}2\right)^2-(-3)} \\ & &=& 1\pm\sqrt{1+3} \\ & &=& 1\pm 2 \\ \\ & x_1 &=& 3 \\ & x_2 &=& -1 \\ \\ \end{array}$

  Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace -1; 3 \rbrace$

  Gleichung 2: $~x^2+4x+8=0$

  Mit $p=4$ und $q=8$ folgt:

  $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{4}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}2\right)^2-8} \\ & &=& -2\pm\sqrt{4-8} \\ & &=& -2\pm \sqrt{-4} \\ \\ \end{array}$

  Innerhalb der reellen Zahlen können wir keine Wurzel auf negativen Zahlen ziehen. Damit hat diese quadratische Gleichung keine Lösung und wir schreiben: $~\mathbb{L}=\lbrace ~ \rbrace$

  Gleichung 3: $~x^2+4x+3=0$

  Mit $p=4$ und $q=3$ folgt:

  $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{4}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}2\right)^2-3} \\ & &=& -2\pm\sqrt{4-3} \\ & &=& -2\pm 1 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -3 \\ \\ \end{array}$

  Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace -3; -1 \rbrace$

  Gleichung 4: $~x^2-6x+9=0$

  Mit $p=-6$ und $q=9$ folgt:

  $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\dfrac{-6}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}2\right)^2-9} \\ & &=& 3\pm\sqrt{9-9} \\ & &=& 3\pm 0 \\ \\ & x_1 &=& 3 \\ \\ \end{array}$

  Die Lösungsmenge dieser quadratischen Gleichung lautet: $~\mathbb{L}=\lbrace 3 \rbrace$

• Entscheide bei jeder der Funktionen, was $p$ und was $q$ ist.

  Tipps

  Beachte, dass du die Gleichung gegebenenfalls so umstellen musst, dass vor dem $x^2$ eine $1$ steht. Denn die Normalform lautet:

  • $x^2+px+q=0$

  Der Koeffizient des quadratischen Gliedes ist $1$.

  Das Vorzeichen gehört sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazu. Beachte, dass der Koeffizient von $x^2$ gleich $1$ ist und nicht $-1$.

  Lösung

  Um eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ zu lösen, nutzen wir die $pq$-Formel:

  • $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

  Liegt eine quadratische Gleichung mal nicht in der Normalform vor, so müssen wir sie entsprechend umstellen. Dann ist

  • $p$ der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.

  Hier erhalten wir folgende Werte für $p$ und $q$:

  • $x^2-3x+4=0~$ $\rightarrow ~$ Hier ist $p=-3$ und $q=4$.

  • $2x^2+2x+4=0~$ $\rightarrow ~$ Zunächst müssen wir durch $2$ dividieren, um zu der Normalform $x^2+x+2=0$ zu gelangen. Dann lesen wir $p=1$ und $q=2$ ab.

  • $-x^2-3x+4=0~$ $\rightarrow~$ Durch Multiplikation mit $-1$ gelangt man zu $x^2+3x-4=0$, also ist $p=3$ und $q=-4$.

• Ermittle die Lösung(en) der quadratischen Gleichung $~-\frac12x^2+5x-\frac{25}2=0~$.

  Tipps

  Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

  $x^2+px+q=0$

  Die $pq$-Formel lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Mit dieser kannst du die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform direkt berechnen.

  Lösung

  Es soll folgende quadratische Gleichung gelöst werden:

  • $-\frac12x^2+5x-\frac{25}2=0$

  Diese Gleichung liegt noch nicht in Normalform vor, da vor dem $x^2$ ein Faktor ungleich $1$ steht.

  Zunächst wird diese Gleichung in Normalform gebracht:

  $\begin{array}{llll} -\frac12x^2+5x-\frac{25}2 &=& 0 & \vert \cdot (-2) \\ x^2-10x+25 &=& 0 & \end{array}$

  Nun kann man $p=-10$ und $q=25$ ablesen und diese in die $pq$-Formel einsetzen:

  • $x_{1,2}=-\frac{-10}2\pm\sqrt{\left(\frac{-10}2\right)^2-25}$

  Jetzt wird weiter vereinfacht zu:

  $x_{1,2}=5\pm\sqrt{5^2-25}=5\pm\sqrt 0=5$

  Da der Term unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, $0$ ist, ist es egal, ob man diesen Wert addiert oder subtrahiert, es kommt beide Male das Gleiche heraus. Es existiert also nur eine Lösung $x=5$.

• Gib an, welche Aussagen bezüglich der Anwendung der $pq$-Formel zutreffen.

  Tipps

  Zu einem linearen Term $px+q$ gehört eine Gerade. Wie viele Schnittpunkte mit der $x$-Achse kann diese besitzen?

  Schau dir den Term $\left(\dfrac{p}2\right)^2-q$ unter der Wurzel an.

  • Wann kann die Wurzel gezogen werden und wann nicht?
  • Was ist $\sqrt 0$?

  Es existiert auch eine $abc$-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen.

  Lösung

  Zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet man die $pq$-Formel. Die quadratische Gleichung muss hierfür in Normalform vorliegen. Diese ist wie folgt definiert:

  • $x^2+px+q=0$

  Demnach ist also

  • $p$ der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ der Term, der ohne Variable alleine steht.

  Die $pq$-Formel lautet dann:

  • $x_{1,2}=-\dfrac{p}2\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}2\right)^2-q}$

  Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet. Sie sagt aus, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat:

  • Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q >0$, besitzt die Gleichung zwei Lösungen.
  • Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q =0$, besitzt die Gleichung eine Lösung.
  • Ist $\left(\frac{p}2\right)^2-q <0$, besitzt die Gleichung keine Lösung.

• Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Wenn die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel der $pq$-Formel, größer als $0$ ist, hat die Gleichung zwei Lösungen.

  Überführe die Gleichungen zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$.

  Lösung

  Bei allen drei betrachteten Gleichungen ist $p=8$ und $q$ variiert. Das erkennst du allerdings erst dann, wenn du die Gleichungen in die Normalform überführt hast.

  Gleichung 1

  $2x^2+16x+40=0$

  Dividieren wir die Gleichung durch $2$, erhalten wir: $~x^2+8x+20=0$

  Die $pq$-Formel liefert keine Lösung, da wir einen negativen Ausdruck unter der Wurzel erhalten:

  $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-20}=-4\pm\sqrt{-4}$

  Gleichung 2

  $0,5x^2+4x+8=0$

  Multiplizieren wir die Gleichung mit $2$, erhalten wir: $~x^2+8x+16=0$

  Die $pq$-Formel liefert genau eine Lösung, da wir eine Null unter der Wurzel erhalten:

  $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-16}=-4\pm\sqrt{0}$

  Damit ist $x=-4$.

  Gleichung 3

  $0,25x^2+2x = -3$

  Addieren wir auf beiden Seiten $3$ und multiplizieren die Gleichung dann mit $4$, erhalten wir: $~x^2+8x+12 = 0$

  Die $pq$-Formel liefert zwei Lösungen, da der Ausdruck unter der Wurzel größer Null ist:

  $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-12}=-4\pm\sqrt{4}=-4\pm 2$

  Damit ist $x_1=-2$ und $x_2=-6$.