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pq-Formel – Erklärung mit p und q (2)

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Martin Wabnik
pq-Formel – Erklärung mit p und q (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Erklärung mit p und q (2)

Hallo und Herzlich Willkommen zum Video „ p-q-Formel Erklärung mit p-q Teil 2 “. Wenn du die binomischen Formeln kannst, ist die p-q-Formel für dich einfach. Wenn du sie nicht kannst, wirst du wohl immer wieder versuchen, aus Summen Wurzeln zu ziehen ( und das geht gar nicht ). In diesem Video zeigen wir dir anhand eines konkreten Beispiels, wie man die p-q Formel anwendet und wie man die Lösungsmenge besteht. Du solltest bereits wissen, was Wurzeln sind und wie man mit ihnen rechnet. Versuche dir die p-q Formel einzuprägen, damit du sie zukünftig anwenden kannst. Viel Spaß!

Transkript pq-Formel – Erklärung mit p und q (2)

Hallo! Hier ist eine quadratische Gleichung x²+5x+6=0. Diese quadratische Gleichung kann man mit dieser Formel lösen, wenn man nämlich hier an diese Stelle die Zahl hinschreibt, die hier vor dem x steht; an dieser Stelle genauso, da muss diese Zahl hin, und ans Ende muss die Zahl, die direkt vor dem Gleichheitszeichen steht. Ja, das kann man so einfach sagen, wenn es nicht komplizierter ist, muss man es ja auch nicht komplizierter sagen. Jetzt möchte ich das natürlich ausrechnen. Und das geht hier mit dieser blauen Folie. Zunächst mal: Ich kümmere mich nicht um das x1,2, da komme ich gleich zu. Ich schreibe das erst einmal ab. Hier vorne das, das schreibe ich auch ab. Also -5/2, kein Problem. "Plus/Minus" da kümmere ich mich auch gleich drum. Ich möchte jetzt erst einmal wissen, was ist mit der Wurzel los hier. Und zwar habe ich hier stehen 5/2 zum Quadrat. Man multipliziert Brüche, indem man rechnet Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Dann muss ich also rechnen: 5×5 das ist 25, Wurzelzeichen kommt gleich drüber; 25 Viertel, also Nenner mal Nenner, 2×2=4, minus. Ja und da weiß ich ja, wenn ich die sechs abziehen möchte, dann wäre es  ganz praktisch, wenn ich die 6 bzw. die 6/1 auf 24/4 erweiertern würde. Das bedeutet also, die 6/1 Zähler und Nenner mit der selben Zahl multiplizieren, nämlich mit 4. 4×6=24. Da steht hier also 24, 24/4  ist ja gleich 6. Und das Wurzelzeichen nicht vergessen. So, und dann möchte ich gerne lösen, denn ich sehe ja schon, was hier herauskommt. X 1,2 wird dann folgendermaßen aussehen. Es ist gleich -5/2 plus/minus, ja, das Ergebnis der Wurzel. Jetzt kann ich mich kurz fassen: 25/4-24/4 das ist 1/4. Die Wurzel aus 1/4 ist 1/2, denn ½×½=¼. Hier steht also nichts anderes als 5/2, also -5/2+/-½. Und dann kann ich jetzt auch x1,2 hinschreiben. X1,2, so wie das hier steht, bedeutet ja, das steht für zwei verschiedene x. Das eine heißt x1, das andere heißt x2. Also, ich kann x1 ausrechnen, indem ich hier, hier und hier "+" rechne und x2, indem ich hier, hier und hier "-" rechne. Also, ich bin bei x1 und möchte das hier also "+" rechnen, dann stehen hier also -5/2+½, also 5/2 nach links, 1/2 wieder nach vorne, das sind insgesamt -4/2. Also -4/2 ist -2, kein Problem. Und ich habe hier x2, das möchte ich auch noch ausrechnen. Hier kommt ein ^-Zeichen, meistens eben dieses kleine Dach hier, das bedeutet "und". So, dann rechne ich -5/2-½=-6/2. -6/2 ist -3. Also das sind hier die zwei Lösungen. Ja das überlasse ich dir, wenn du hier statt x -2 einsetzt, da und da, kommt hier 0 raus und wenn du für x -3 einsetzt, dort und dort, dann kommt auch 0 heraus. Du kannst es gerne ausprobieren. Die Aufgabe ist damit gelöst. Viel Spaß! Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Sie sind echt klasse im erklären :)

    Von Laubrax, vor mehr als 4 Jahren
  2. Sie sind echt der beste Lehrer auf Sofatutor! Sie haben mir schon so oft den Arsch gerettet. Dank ihnen macht mir Mathe Spaß :)Vielen Dank

    Von Alissa Johari, vor mehr als 7 Jahren

pq-Formel – Erklärung mit p und q (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Erklärung mit p und q (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die $pq$-Formel für die angegebene quadratische Gleichung in Normalform.

    Tipps

    Wie sehen $p$ und $q$ bei der obigen quadratischen Gleichung in Normalform aus?

    Die $pq$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Lösung

    Bei der quadratischen Gleichung in Normalform

    $x^2+5x+6=0$ sind $p=5$ und $q=6$.

    Die $pq$-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Nun wenden wir die $pq$-Formel an. $p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:

    $x_{1,2}=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Setze $p$ und $q$ in der $pq$-Formel ein:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Der Wert unter der Wurzel lässt sich als Quotient aus zwei Quadratzahlen schreiben.

    Achte darauf, bei der Bestimmung einmal $+$ und einmal $-$ zu rechnen, wenn der Wert unter der Wurzel positiv ist.

    Lösung

    Die $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    zu der Gleichung $x^2+5x+6=0$ lautet:

    $x_{1,2}=-\frac {5}2 \pm \sqrt{\left(\frac {5}2\right)^2-6}$.

    Die Lösungen werden dann wie folgt berechnet:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}\\ &=-\frac52 \pm\sqrt{\frac{25}4-\frac{24}4}\\ &=\frac52\pm\sqrt{\frac14}\\ &=-\frac52\pm\frac12 \end{align}$

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung lauten damit $x_1=-\frac52+\frac12=-\frac42=-2$ und $x_2=-\frac52-\frac12=-\frac62=-3$.

  • Vervollständige die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung.

    Tipps

    Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der alleinstehende Summand.

    Die Vorzeichen müssen bei $p$ und bei $q$ mit berücksichtigt werden.

    Lösung

    Die quadratische Gleichung $x^2-4x-21=0$ befindet sich bereits in Normalform.

    Man muss sich jetzt überlegen, welche Werte für $p$ und für $q$ vorliegen.

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$: $p=-4$.
    • $q$ ist der alleinstehende Summand: $q=-21$.
    Diese Werte können in der $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    eingesetzt werden:

    $x_{1,2}=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-(-21)}$.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Setze $p$ und $q$ in der $pq$-Formel ein:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Kürze die Brüche so weit als möglich. In diesem Beispiel kommen jeweils ganze Zahlen heraus.

    Achte darauf, am Schluss einmal $+$ und einmal $-$ zu rechnen.

    Lösung

    Die quadratische Gleichung $x^2-4x-21=0$ befindet sich in Normalform. Hier sind $p=-4$ und $q=-21$.

    Diese werden in der $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    eingesetzt:

    $x_{1,2}=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-(-21)}$.

    Nun können die Lösungen der Gleichung bestimmt werden:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2+21}\\ &=2\pm\sqrt{4+21}\\ &=2\pm\sqrt{25}\\ &=2\pm5 \end{align}$

    Damit sind $x_1=2+5=7$ und $x_2=2-5=-3$ Lösungen der quadratischen Gleichung.

  • Fasse zusammen, wie die Lösungen der angegebenen quadratischen Gleichung bestimmt werden können.

    Tipps

    Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    $p$ ist der Faktor vor $x$ und $q$ der isoliert stehende Summand.

    Lösung

    Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu bestimmen, müssen

    • zunächst $p$ und $q$ bestimmt werden und
    • diese dann in die $pq$-Formel eingesetzt werden.
    Die quadratische Gleichung $x^2+5x+6=0$ ist in Normalform und es sind $p=5$ sowie $q=6$.

    Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Die konkreten Werte eingesetzt, ergibt:

    $x_{1,2}=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}$.

    Mit dieser erhält man die beiden Lösungen

    • $x_1=-2$ und
    • $x_2=-3$.
    Eine quadratische Gleichung kann auch
    • keine oder
    • eine Lösung besitzen.
    Dies hängt von dem Wert des Terms unter der Wurzel ab. In diesem Beispiel ist dieser $\frac14$.

    Wenn der Wert des Terms

    • $0$ ist, gibt es nur eine Lösung, da die Addition und Subtraktion von $0$ zum gleichen Ergebnis führt.
    • negativ ist, gibt es keine Lösung, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht berechnet werden kann.

  • Arbeite heraus, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt.

    Tipps

    Der Term unter der Wurzel in der $pq$-Formel

    $\left(\frac p2\right)^2-q$

    wird als Diskriminante bezeichnet.

    Die Anzahl der Lösungen hängt davon ab, ob der Wert des Terms unter der Wurzel

    • positiv ist: Dann gibt es zwei Lösungen.
    • gleich $0$ ist: Dann gibt es genau eine Lösung.
    • negativ ist: Dann gibt es keine Lösung.

    Lösung

    Die Gleichung $x^2-3x+4=0$ ist in Normalform. Mit $p=-3$ und $q=4$ kann die $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    angewendet werden:

    $x_{1,2}=-\frac {-3}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-3}2\right)^2-4}$.

    Wir schauen uns den Wert unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, an:

    $\left(\frac {-3}2\right)^2-4=\frac94-\frac{16}4=-\frac74=-1,75$,

    Wir stellen fest, dass dieser Wert negativ ist. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

    Was bedeutet dies für die Lösungen?

    Es existiert keine Lösung dieser quadratischen Gleichung.

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