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pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)

Hallo und Herzlich Willkommen zum Video „ p-q-Formel Erklärung mit p-q Teil 1 “. Hier wird dir die p-q- Formel mit p und q erklärt. Die Formel bezieht sich auf quadratische Gleichungen der Form x² + px + q. Wenn diese Form vorliegt, dann kann die p- q Formel angewandt werden. Wir zeigen dir in diesem Film allgemein und anhand eines Beispiels, wie du zukünftig die Formel anwenden kannst. Die Rechnung zu dem Beispiel wird dir im zweiten Teil ausführlich dargelegt. Viel Spaß beim Schauen des Lehrvideos.

Transkript pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)

Hallo! Hier möchte ich mal die p-q-Formel erklären. Ich habe sie in einem Film schon ohne p und q erklärt, jetzt möchte ich sie mal mit p und q erklären. Die p-q-Formel bezieht sich auf quadratische Gleichungen, die diese Form hier haben. Und zwar: x2+px+q=0. Mit dieser Form ist also gemeint, hier vor dem x2 steht gar nichts, dann kommt ein Pluszeichen, dann kommt hier eine Zahl, das x wieder, plus eine weitere Zahl, =0. Wenn diese Form eingehalten ist, dann kann man diese Formel benutzen, um die Lösungen dieser quadratischen Gleichung auszurechnen. Und das geht so: Hier in dieses Feld trägst du das p ein. Und in dieses Feld kommt auch das p. Und in dieses Feld kommt das q. Natürlich rechnest du das meistens nicht mit p und q selber, mit den Zahlen, die dann statt p und q hier stehen. Und das möchte ich eben auch mal vormachen. Zum Beispiel könnte die Gleichung lauten: x2+5x+6=0. Dann kommt auf diese Stelle hier (da, wo das p steht) die 5 hin. Da, wo das p steht, kommt die 5 hin, und da, wo das q steht, die 6. Die beiden Lösungen kannst du dann ausrechnen, durch diese Gleichung hier. Also, x1 und x2 sind das Ergebnis dieses Terms hier. Und der geht so: -5/2+-\sqrt((5/2)2-6). Ja, und dann muss man das noch ausrechnen und dann hat man die Lösungen. Das zeige ich im 2. Teil.   Bis dahin viel Spaß! Tschüss!  

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Gut erklärt aber das andere Video von Ihnen indem sie es ohne die Buchstaben erklären ist besser. Aber danke :)

    Von Laubrax, vor mehr als 4 Jahren
  2. nicht ganz so gut erklärt

    Von Theresak, vor etwa 10 Jahren

pq-Formel – Erklärung mit p und q (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Erklärung mit p und q (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung.

    Tipps

    Wie sehen $p$ und $q$ bei der obigen quadratischen Gleichung in Normalform aus?

    Die $pq$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Lösung

    Bei der quadratischen Gleichung in Normalform

    $x^2+5x+6=0$ sind $p=5$ und $q=6$.

    Die $pq$-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    $p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:

    $x_{1,2}=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}$.

  • Gib an, wie die $pq$-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen lautet.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen.

    Zum Beispiel sind bei $x^2+4x+5=0$ die Koeffizienten $p=4$ und $q=5$ gegeben. Diese können wir in die $pq$-Formel einsetzen:

    Lösung

    Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Die Schreibweise $x_{1,2}$ steht dafür, dass die quadratische Gleichung

    • keine oder
    • eine ($x_1$) oder
    • zwei ($x_1$ und $x_2$) Lösungen besitzen kann.
    Die Anzahl hängt von dem Term unter der Wurzel, der Diskriminante, ab:
    • Ist diese negativ, so existiert keine Lösung.
    • Ist sie gleich $0$, so existiert genau eine Lösung.
    • Ist sie positiv, so existieren zwei Lösungen.

  • Bestimme die Lösungen der angegebenen quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Wie kann man $p$ und $q$ erkennen?

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der isoliert stehende Summand.

    Die $pq$-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und $q$.

    Lösung

    Um die $pq$-Formel anzuwenden,

    • muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, was hier der Fall ist.
    • muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.
    In diesem Beispiel $x^2-4x+3=0$ gilt
    • $p=-4$ und
    • $q=3$.
    Wie kann man dies erkennen?
    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der isoliert stehende Summand.
    Wichtig ist: Das Vorzeichen gehört zu $p$ und zu $q$ dazu.

    Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Somit gilt in diesem Beispiel:

    $x_{1,2}=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}$.

    Natürlich wird hier noch weiter gerechnet:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}\\ &=2\pm\sqrt{4-3}\\ &=2\pm1 \end{align}$

    Die Lösungen lauten also $x_1=2-1=1$ und $x_2=2+1=3$.

  • Ordne den quadratischen Gleichungen ihre Einsetzungen in der $pq$-Formel zu.

    Tipps

    Bestimme jeweils $p$ und $q$:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ ist der allein stehende Summand. Man nennt dies auch das absolute Glied.

    Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beachte, dass das Vorzeichen zu $p$ und $q$ dazugehört.

    Lösung

    Bei jeder der Funktionen werden zunächst $p$ und $q$ bestimmt und diese dann in der $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    eingesetzt.

    • $x^2+x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-4}$ .
    • $x^2-2x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=-2$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac {-2}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-2}2\right)^2-4}$ .
    • $x^2+x-4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=-4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-(-4)}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2+4}$ .
    • $x^2+2x+2=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=2$ und $q=2$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 22 \pm \sqrt{\left(\frac 22\right)^2-2}$ .

  • Bestimme $p$ und $q$ in der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Schreibe die allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform und das Beispiel untereinander und vergleiche die Koeffizienten.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Summand, welcher alleine steht.

    Lösung

    Man kann die beiden Gleichungen:

    $x^2+px+q=0$ für die allgemeine Normalform sowie

    $x^2+5x+6=0$ für das Beispiel

    untereinander schreiben und die Koeffizienten vergleichen.

    Hier ist $p=5$ und $q=6$.

  • Wende die $pq$-Formel an, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu bestimmen.

    Tipps

    Wie kannst du $p$ und $q$ erkennen?

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der isoliert stehende Summand.

    Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und bei $q$.

    Setze $p$ und $q$ in der $pq$-Formel ein:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beide Lösungen sind ganzzahlig.

    Das Produkt der Lösungen ist $-7$. Dies ist gerade $q$.

    Lösung

    Um die $pq$-Formel anzuwenden, muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.

    In diesem Beispiel $x^2-6x-7=0$ gilt: $p=-6$ und $q=-7$

    Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Somit gilt in diesem Beispiel:

    $x_{1,2}=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2-(-7)}$.

    Die Lösungen werden dann wie folgt berechnet:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2+7}\\ &=3\pm\sqrt{9+7}\\ &=3\pm4 \end{align}$

    Die Lösungen sind also $x_1=3+4=7$ und $x_2=3-4=-1$.

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