pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)

pq-Formel – Erklärung mit p und q (1) Übung

• Vervollständige die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung.

  Tipps

  Wie sehen $p$ und $q$ bei der obigen quadratischen Gleichung in Normalform aus?

  Die $pq$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Lösung

  Bei der quadratischen Gleichung in Normalform

  $x^2+5x+6=0$ sind $p=5$ und $q=6$.

  Die $pq$-Formel lautet

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  $p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:

  $x_{1,2}=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}$.

• Gib an, wie die $pq$-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen lautet.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen.

  Zum Beispiel sind bei $x^2+4x+5=0$ die Koeffizienten $p=4$ und $q=5$ gegeben. Diese können wir in die $pq$-Formel einsetzen:

  Lösung

  Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Die Schreibweise $x_{1,2}$ steht dafür, dass die quadratische Gleichung

  • keine oder
  • eine ($x_1$) oder
  • zwei ($x_1$ und $x_2$) Lösungen besitzen kann.

  Die Anzahl hängt von dem Term unter der Wurzel, der Diskriminante, ab:

  • Ist diese negativ, so existiert keine Lösung.
  • Ist sie gleich $0$, so existiert genau eine Lösung.
  • Ist sie positiv, so existieren zwei Lösungen.

• Bestimme die Lösungen der angegebenen quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Wie kann man $p$ und $q$ erkennen?

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ der isoliert stehende Summand.

  Die $pq$-Formel lautet

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und $q$.

  Lösung

  Um die $pq$-Formel anzuwenden,

  • muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, was hier der Fall ist.
  • muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.

  In diesem Beispiel $x^2-4x+3=0$ gilt

  • $p=-4$ und
  • $q=3$.

  Wie kann man dies erkennen?

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ der isoliert stehende Summand.

  Wichtig ist: Das Vorzeichen gehört zu $p$ und zu $q$ dazu.

  Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Somit gilt in diesem Beispiel:

  $x_{1,2}=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}$.

  Natürlich wird hier noch weiter gerechnet:

  $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}\\ &=2\pm\sqrt{4-3}\\ &=2\pm1 \end{align}$

  Die Lösungen lauten also $x_1=2-1=1$ und $x_2=2+1=3$.

• Ordne den quadratischen Gleichungen ihre Einsetzungen in der $pq$-Formel zu.

  Tipps

  Bestimme jeweils $p$ und $q$:

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ ist der allein stehende Summand. Man nennt dies auch das absolute Glied.

  Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Beachte, dass das Vorzeichen zu $p$ und $q$ dazugehört.

  Lösung

  Bei jeder der Funktionen werden zunächst $p$ und $q$ bestimmt und diese dann in der $pq$-Formel

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  eingesetzt.

  • $x^2+x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-4}$ .
  • $x^2-2x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=-2$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac {-2}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-2}2\right)^2-4}$ .
  • $x^2+x-4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=-4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-(-4)}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2+4}$ .
  • $x^2+2x+2=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=2$ und $q=2$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 22 \pm \sqrt{\left(\frac 22\right)^2-2}$ .

• Bestimme $p$ und $q$ in der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Schreibe die allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform und das Beispiel untereinander und vergleiche die Koeffizienten.

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Summand, welcher alleine steht.

  Lösung

  Man kann die beiden Gleichungen:

  $x^2+px+q=0$ für die allgemeine Normalform sowie

  $x^2+5x+6=0$ für das Beispiel

  untereinander schreiben und die Koeffizienten vergleichen.

  Hier ist $p=5$ und $q=6$.

• Wende die $pq$-Formel an, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu bestimmen.

  Tipps

  Wie kannst du $p$ und $q$ erkennen?

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
  • $q$ der isoliert stehende Summand.

  Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und bei $q$.

  Setze $p$ und $q$ in der $pq$-Formel ein:

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Beide Lösungen sind ganzzahlig.

  Das Produkt der Lösungen ist $-7$. Dies ist gerade $q$.

  Lösung

  Um die $pq$-Formel anzuwenden, muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.

  In diesem Beispiel $x^2-6x-7=0$ gilt: $p=-6$ und $q=-7$

  Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Somit gilt in diesem Beispiel:

  $x_{1,2}=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2-(-7)}$.

  Die Lösungen werden dann wie folgt berechnet:

  $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2+7}\\ &=3\pm\sqrt{9+7}\\ &=3\pm4 \end{align}$

  Die Lösungen sind also $x_1=3+4=7$ und $x_2=3-4=-1$.