pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)

Grundlagen zum Thema pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)
Hallo und Herzlich Willkommen zum Video „ p-q-Formel Erklärung mit p-q Teil 1 “. Hier wird dir die p-q- Formel mit p und q erklärt. Die Formel bezieht sich auf quadratische Gleichungen der Form x² + px + q. Wenn diese Form vorliegt, dann kann die p- q Formel angewandt werden. Wir zeigen dir in diesem Film allgemein und anhand eines Beispiels, wie du zukünftig die Formel anwenden kannst. Die Rechnung zu dem Beispiel wird dir im zweiten Teil ausführlich dargelegt. Viel Spaß beim Schauen des Lehrvideos.
Transkript pq-Formel – Erklärung mit p und q (1)
Hallo! Hier möchte ich mal die p-q-Formel erklären. Ich habe sie in einem Film schon ohne p und q erklärt, jetzt möchte ich sie mal mit p und q erklären. Die p-q-Formel bezieht sich auf quadratische Gleichungen, die diese Form hier haben. Und zwar: x2+px+q=0. Mit dieser Form ist also gemeint, hier vor dem x2 steht gar nichts, dann kommt ein Pluszeichen, dann kommt hier eine Zahl, das x wieder, plus eine weitere Zahl, =0. Wenn diese Form eingehalten ist, dann kann man diese Formel benutzen, um die Lösungen dieser quadratischen Gleichung auszurechnen. Und das geht so: Hier in dieses Feld trägst du das p ein. Und in dieses Feld kommt auch das p. Und in dieses Feld kommt das q. Natürlich rechnest du das meistens nicht mit p und q selber, mit den Zahlen, die dann statt p und q hier stehen. Und das möchte ich eben auch mal vormachen. Zum Beispiel könnte die Gleichung lauten: x2+5x+6=0. Dann kommt auf diese Stelle hier (da, wo das p steht) die 5 hin. Da, wo das p steht, kommt die 5 hin, und da, wo das q steht, die 6. Die beiden Lösungen kannst du dann ausrechnen, durch diese Gleichung hier. Also, x1 und x2 sind das Ergebnis dieses Terms hier. Und der geht so: -5/2+-\sqrt((5/2)2-6). Ja, und dann muss man das noch ausrechnen und dann hat man die Lösungen. Das zeige ich im 2. Teil. Bis dahin viel Spaß! Tschüss!
pq-Formel – Erklärung mit p und q (1) Übung
-
Vervollständige die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung.
TippsWie sehen $p$ und $q$ bei der obigen quadratischen Gleichung in Normalform aus?
Die $pq$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
LösungBei der quadratischen Gleichung in Normalform
$x^2+5x+6=0$ sind $p=5$ und $q=6$.
Die $pq$-Formel lautet
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
$p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:
$x_{1,2}=-\frac 52 \pm \sqrt{\left(\frac 52\right)^2-6}$.
-
Gib an, wie die $pq$-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen lautet.
TippsEine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen.
Zum Beispiel sind bei $x^2+4x+5=0$ die Koeffizienten $p=4$ und $q=5$ gegeben. Diese können wir in die $pq$-Formel einsetzen:
LösungDie $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Die Schreibweise $x_{1,2}$ steht dafür, dass die quadratische Gleichung
- keine oder
- eine ($x_1$) oder
- zwei ($x_1$ und $x_2$) Lösungen besitzen kann.
- Ist diese negativ, so existiert keine Lösung.
- Ist sie gleich $0$, so existiert genau eine Lösung.
- Ist sie positiv, so existieren zwei Lösungen.
-
Bestimme die Lösungen der angegebenen quadratischen Gleichung.
TippsWie kann man $p$ und $q$ erkennen?
- $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ der isoliert stehende Summand.
Die $pq$-Formel lautet
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und $q$.
LösungUm die $pq$-Formel anzuwenden,
- muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, was hier der Fall ist.
- muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.
- $p=-4$ und
- $q=3$.
- $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ der isoliert stehende Summand.
Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Somit gilt in diesem Beispiel:
$x_{1,2}=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}$.
Natürlich wird hier noch weiter gerechnet:
$\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-4}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-4}2\right)^2-3}\\ &=2\pm\sqrt{4-3}\\ &=2\pm1 \end{align}$
Die Lösungen lauten also $x_1=2-1=1$ und $x_2=2+1=3$.
-
Ordne den quadratischen Gleichungen ihre Einsetzungen in der $pq$-Formel zu.
TippsBestimme jeweils $p$ und $q$:
- $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ ist der allein stehende Summand. Man nennt dies auch das absolute Glied.
Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Beachte, dass das Vorzeichen zu $p$ und $q$ dazugehört.
LösungBei jeder der Funktionen werden zunächst $p$ und $q$ bestimmt und diese dann in der $pq$-Formel
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
eingesetzt.
- $x^2+x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-4}$ .
- $x^2-2x+4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=-2$ und $q=4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac {-2}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-2}2\right)^2-4}$ .
- $x^2+x-4=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=1$ und $q=-4$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2-(-4)}=-\frac 12 \pm \sqrt{\left(\frac 12\right)^2+4}$ .
- $x^2+2x+2=0 ~\rightarrow$ Hier sind $p=2$ und $q=2$; also lautet die $pq$-Formel $x_{1,2}=-\frac 22 \pm \sqrt{\left(\frac 22\right)^2-2}$ .
-
Bestimme $p$ und $q$ in der quadratischen Gleichung.
TippsSchreibe die allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform und das Beispiel untereinander und vergleiche die Koeffizienten.
$p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Summand, welcher alleine steht.
LösungMan kann die beiden Gleichungen:
$x^2+px+q=0$ für die allgemeine Normalform sowie
$x^2+5x+6=0$ für das Beispiel
untereinander schreiben und die Koeffizienten vergleichen.
Hier ist $p=5$ und $q=6$.
-
Wende die $pq$-Formel an, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu bestimmen.
TippsWie kannst du $p$ und $q$ erkennen?
- $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und
- $q$ der isoliert stehende Summand.
Beachte auch das Vorzeichen bei $p$ und bei $q$.
Setze $p$ und $q$ in der $pq$-Formel ein:
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Beide Lösungen sind ganzzahlig.
Das Produkt der Lösungen ist $-7$. Dies ist gerade $q$.
LösungUm die $pq$-Formel anzuwenden, muss man sich zunächst klarmachen, was für $p$ und was für $q$ eingesetzt werden soll.
In diesem Beispiel $x^2-6x-7=0$ gilt: $p=-6$ und $q=-7$
Nun können diese in der $pq$-Formel eingesetzt werden. Diese lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
Somit gilt in diesem Beispiel:
$x_{1,2}=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2-(-7)}$.
Die Lösungen werden dann wie folgt berechnet:
$\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-6}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-6}2\right)^2+7}\\ &=3\pm\sqrt{9+7}\\ &=3\pm4 \end{align}$
Die Lösungen sind also $x_1=3+4=7$ und $x_2=3-4=-1$.

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2 Kommentare
Gut erklärt aber das andere Video von Ihnen indem sie es ohne die Buchstaben erklären ist besser. Aber danke :)
nicht ganz so gut erklärt