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pq-Formel – Erklärung (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
pq-Formel – Erklärung (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Erklärung (2)

Herzlich Willkommen zum 2. Teil der Videoreihe „ p-q-Formel Erklärung “. Die p-q- Formel ist die einfachste Formel der Welt! Wir zeigen dir in diesem Video, wie du die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnen kannst. Hierfür verwenden wir die p-q- Formel. Nutze die Gelegenheit und halte das Video an, damit du die Aufgabe selbständig lösen kannst. Nur so kannst du überprüfen, ob du die p-q-Formel verstanden hast und anwenden kannst. Im Anschluss kannst du deine Lösung mit der Lösung im Video vergleichen. Viel Spaß beim Rechnen!

Transkript pq-Formel – Erklärung (2)

Hallo! Hier habe ich schon die Formel vorbereitet, die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Da ist die quadratische Gleichung und hier hab ich also schon die Zahlen eingesetzt und jetzt muss ich das Ganze mal ausrechnen. Und das geht so: Ich fang an mit x1,2, also beide x sind jetzt hier =3/2±? und da muss ich mir jetzt erst mal Gedanken darüber machen, wie kann ich jetzt hier diese Wurzel ausrechnen. Und zwar muss ich zunächst mal 3/2 zum Quadrat rechnen. Das ist ja das, was hier steht, (3/2)². Brüche werden multipliziert, indem man rechnet, Zähler×Zähler, Nenner×Nenner. Und Zähler×Zähler ist in dem Fall 3×3, also 9, geteilt durch 2×2, das ist 4, -2, jetzt könnte ich natürlich 2 hinschreiben, mach ich aber nicht, weil ich ja hier einen Bruch habe und wenn ich eine Zahl davon abziehen möchte, dann sollte das auch ein Bruch sein, und zwar mit gleichem Nenner. Da werde ich also aus den 2 Ganzen hier Viertel machen, 2 Ganze sind 8/4 und deshalb kann ich hier also 8/4 abziehen. 8/4 werden abgezogen und da ist die Wurzel zu Ende. Ja, da kann ich das noch mal hinschreiben. Hier vorne steht dann also -3/2 weiterhin ±, ja, was kommt raus, das darf ich mir schnell überlegen hier. Also, 9/4 - 8/4 = 1/4, was ist ?(1/4)? Es ist ½, weil ½× ½=1/4. Also kann ich hier einfach hinschreiben, ± ½. So, und dann wird das sehr einfach. Was soll ich da sagen. Ich schreibe jetzt x1 hin. x1 erhalte ich, indem ich hier + ½ rechne, dann hab ich also hier -(3/2)+½= im Ganzen +2/2, also -2/2. Ich gehe 3/2 nach links auf dem Zahlenstrahl, und ½ wieder nach vorne, bin ich also letzten Endes 2/2 nach links gegangen, also ist es -2/2, und 2/2=1, also ist x1=-1 Außerdem ist, ich mach hier mein Semikolon dazwischen, man kann da auch ein und schreiben. Ist egal, das mit dem Semikolon soll jetzt mal reichen. Ich möchte x2 ausrechnen. x2 erhalte ich, indem ich hier Minus rechne und nicht Plus. Also, dann steht da -(3/2)-½= insgesamt -4/2 und -4/2 sind natürlich gekürzt -2. So, und das sind dann die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung, die du jetzt nicht sehen kannst. Doch, jetzt kannst du sie sehen: x²+3x+2=0 hat die beiden Lösungen x1=-1 und x2=-2. Kann man kurz sich dann überlegen, ob das dann wirklich 0 wird, so als Probe, mal eben im Kopf, weil die Zahlen so einfach sind. -1 eingesetzt ist dann hier -1², das ist 1+3×-1, ist 1-3 letzten Endes, +2=0. Wenn ich hier -2 einsetze, steht da +4, -2×-2=+4+3×-2, 3×-2=-6, 4-6=-2+2=0. Alles richtig gemacht, das sind die Lösungen. Viel Spaß damit. Bis bald, tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Fehler in der Aufgabe 4: richtige Lösung ist x= -3. Bei mir wurde aber x= 3 als richtig angegeben.

    Von tim t., vor etwa 2 Jahren
  2. sehr gut erklärtz

    Von Itslearning Nutzer 1974 400958, vor mehr als 5 Jahren
  3. sehr gut :)

    Von Regina Litt, vor etwa 9 Jahren

pq-Formel – Erklärung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Erklärung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die $pq$-Formel für die angegebene quadratische Gleichung.

    Tipps

    Wie sehen $p$ und $q$ bei der obigen quadratischen Gleichung in Normalform aus?

    Die $pq$-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform, $x^2+px+q=0$, lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Lösung

    Bei der quadratischen Gleichung in Normalform

    $x^2+3x+2=0$ sind $p=3$ und $q=2$.

    Mit diesen Werten kann die allgemeine $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    angewendet werden. $p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:

    $x_{1,2}=-\frac 32 \pm \sqrt{\left(\frac 32\right)^2-2}$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung in Normalform.

    Tipps

    Die $pq$-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform

    $x^2+px+q=0$

    lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beim Quadrieren eines Bruches werden sowohl der Zähler als auch der Nenner quadriert.

    Es gilt $\sqrt{\frac14}=\frac12$, da $\left(\frac12\right)^2=\frac14$.

    Lösung

    Bei der quadratischen Gleichung in Normalform

    $x^2+3x+2=0$ sind $p=3$ und $q=2$.

    Mit diesen Werten kann die allgemeine $pq$-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    angewendet werden. $p$ und $q$ werden an den entsprechenden Stellen eingesetzt:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac 32 \pm \sqrt{\left(\frac 32\right)^2-2}\\ &=-\frac32 \pm\sqrt{\frac94-\frac84}\\ &=-\frac32 \pm\sqrt{\frac14} \\ &=-\frac32 \pm\frac12 \end{align}$

    Beachte, dass $\sqrt{\frac14}=\frac12$ gilt, da $\left(\frac12\right)^2=\frac14$.

    Damit sind $x_1=-\frac32+\frac12=-\frac22=-1$ und $x_2=-\frac32-\frac12=-\frac42=-2$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+3x+2=0$.

    Man kann die Probe durchführen, um festzustellen, dass dies tatsächlich der Fall ist.

  • Ordne der jeweiligen Gleichung $p$ und $q$ zu.

    Tipps
    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$.
    • $q$ ist der alleinstehende Summand. Man nennt dies auch das absolute Glied.

    Denke an die Vorzeichen. Diese gehören zu $p$ und $q$ dazu.

    Wenn kein Term mit $x$ vorhanden ist, kannst du dich fragen, womit man $x$ multiplizieren muss, damit es verschwindet.

    Lösung

    Um $p$ und $q$ zu bestimmen, könnte man jeweils die quadratische Gleichung in Normalform unter die allgemeine Normalform schreiben.

    Alternativ kann man sich auch merken:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$.
    • $q$ ist der Summand, welcher alleine steht.
    Wichtig ist, das Vorzeichen immer mit zu berücksichtigen.
    • Bei der Gleichung $x^2-2x-1=0$ ist $p=-2$ und $q=-1$.
    • Bei der Gleichung $x^2+2=0$ steht kein $x$; also ist $p=0$ und $q=2$.
    • Bei der Gleichung $x^2+3x=0$ steht kein $q$; also ist $q=0$ und $p=3$.

  • Wende die $pq$-Formel zur Berechnung der Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform an.

    Tipps

    Wende die $pq$-Formel an.

    Diese lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Was fällt dir auf, wenn du dir den Term unter der Wurzel anschaust?

    Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante bezeichnet.

    Ist die Diskriminante

    • größer als $0$, dann gibt es zwei Lösungen.
    • gleich $0$, dann gibt es nur eine Lösung.
    • kleiner als $0$, dann gibt es keine Lösung.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung hat keine, genau eine oder zwei Lösungen.

    Welcher Fall vorliegt, kann man an dem Term unter Wurzel erkennen. Dieser wird auch als Diskriminante bezeichnet:

    $\left(\frac p2\right)^2-q$.

    • Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei Lösungen,
    • Ist sie gleich $0$, gibt es nur eine Lösung bzw. zwei identische Lösungen.
    • Ist sie negativ, kann man die Wurzel nicht berechnen und es gibt somit keine Lösung.
    In diesem Beispiel

    $x^2-6x+9=0$

    ist $p=-6$ und $q=9$.

    Die Diskriminante ist $\left(\frac 62\right)^2-9=9-9=0$. Es gibt also nur eine Lösung:

    $x=-3$.

    Dies kann man auch dann erkennen, wenn man $x^2-6x+9=0$ durch die $2.$ binomische Formel umformt zu $(x-3)^2=0$.

  • Bestimme $p$ und $q$ in der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet $x^2+px+q=0$.

    Schreibe die allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform und das Beispiel untereinander und vergleiche die Koeffizienten.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Summand, welcher alleine steht.

    Lösung

    Man kann die beiden Gleichungen

    $x^2+px+q=0$ für die allgemeine Normalform sowie

    $x^2+3x+2=0$ für das Beispiel

    untereinander schreiben und die Koeffizienten vergleichen.

    Hier ist $p=3$ und $q=2$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Beide Lösungen sind ganzzahlig.

    Beachte, die $pq$-Formel kann zur Lösung von quadratischen Gleichungen in Normalform $x^2+px+q=0$ verwendet werden.

    Die obige Gleichung muss erst in die Normalform gebracht werden.

    Die Normalform der obigen Gleichung lautet: $x^2-x-2=0$.

    Die $pq$-Formel besagt:

    Lösung

    Um die $pq$-Formel anzuwenden, muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen: $x^2+px+q=0$.

    Dies ist hier bei $4x^2-4x-8=0$ nicht der Fall. Es muss zunächst durch $4$ auf beiden Seiten dividiert werden, um zur Normalform zu gelangen:

    $x^2-x-2=0$.

    Nun müssen $p$, der Faktor vor dem $x$, und $q$, der isolierte Summand, bestimmt werden. Diese sind hier $p=-1$ und $q=-2$.

    Jetzt kann die $pq$-Formel angewendet werden:

    $\begin{align} x_{1,2}&=-\frac {-1}2 \pm \sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)}\\ &=\frac12\pm\sqrt{\frac14+\frac84}\\ &=\frac12\pm\frac32 \end{align}$

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung lauten somit $x_1=\frac12+\frac32=\frac42=2$ und $x_2=\frac12-\frac32=-\frac22=-1$.

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