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pq-Formel – Erklärung (1)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
pq-Formel – Erklärung (1)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Erklärung (1)

Herzlich Willkommen zum Video „ p-q-Formel Erklärung Teil 1 “. Die p-q- Formel ist die einfachste Formel der Welt! Wenn du die binomischen Formeln kannst, ist die p-q-Formel für dich einfach. Wenn du sie nicht kannst, wirst du wohl immer wieder versuchen, aus Summen Wurzeln zu ziehen. Dies ist jedoch leider falsch. Im Video werden wir dir ganz anschaulich und einfach zeigen, wie die pq- Formel funktioniert und wie du sie zum Lösen von quadratischen Gleichungen anwenden kannst. Wir benutzen zur Erklärung weder das p noch das q! Wie soll das gehen? Lass dich überraschen. Im zweiten Teil zeigen wir dir, wie die konkrete Rechnung aussieht.

Transkript pq-Formel – Erklärung (1)

Hallo , die PQ-Formel möchte ich in diesem Film erklären. Die PQ-Formel ist die einfachste Formel der Welt. Ich werde sie hier nicht herleiten, ich werde nur erklären, wie du sie benutzen kannst und dann ist es tatsächlich die einfachste Formel der Welt. Ich werde es auch sehr einfach erklären und manche Leute, die meine Filme schon gesehen haben finden das schlimm, dass ich Sachen sehr einfach erkläre und vielleicht hat sich schon mancher gedacht schlimmer kann es jetzt nicht kommen. Doch das ist hier der Film, in dem es noch schlimmer kommt, und zwar werde ich die PQ-Formel erklären ohne P und Q. Ja das wird ein riesen Spaß komm her, pass auf, ich zeig dir das. Dazu brauchen wir eine Formel die sieht so aus, hier sind leere Kästchen da kann man was eintragen. Mit dieser Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen. Quadratische Gleichungen, die eine bestimmte Form haben und um diese Form dieser quadratischen Gleichungen zu zeigen hab ich mal eine quadratische Gleichung vorbereitet, und zwar hier. Also die quadratische Gleichung ist da drunter unter dieser Pappe. Dann nehm ich mal die pappe weg, dann kannst du auch die quadratische Gleichung sehen. So sieht die aus x2 +3x+2=0 und die Form dieser quadratischen Gleichung ist nun so, wir haben ein x2 am Anfang, davor steht übrigens nichts und dann kommt ein Pluszeichen, eine Zahl, wieder ein x, ein Pluszeichen, wieder eine Zahl, ein Gleichheitszeichen und die 0 am Ende. Wenn eine Gleichung in dieser Form ist, dann kannst du hier diese Formel anwenden, die normalerweise PQ-Formel heißt, aber ich hab ja hier das P und das Q auch noch weggenommen. Wie kannst du die anwenden? Du brauchst also nur in das, was hier rot gezeichnet ist die Zahl einsetzen, die hier vor dem x steht. Es ist sehr elementar, sehr einfach, aber man muss es auch nicht komplizierter erklären, als es tatsächlich ist. Hier kommt also diese Vorzahl hin, in diesem Fall die 3, hier kommt die auch hin. So du musst also nur die Zahl, die da vor dem x steht, vor diesem x, die musst du hier einsetzen. Die Zahl, die hier direkt vor dem Gleichheitszeichen steht, also da, die kommt hier hin. So das ist die Anwendung dieser Formel und das muss man dann noch ausrechnen und dann hat man die Ergebnisse. Falls dich das irritieren sollte mit 1,2 und ±, das bedeutet Folgendes. Wie du ja wahrscheinlich weißt, haben quadratische Gleichungen 2 Lösungen, sie können zumindest 2 Lösungen haben. Manche haben keine Lösung, manche haben eine Lösung und manche haben eben auch 2 Lösungen und deshalb steht hier x1,2. Gemeint ist, dass hier ein x1 steht und ein x2, das ist so eine abkürzende Schreibweise x1,2 oder man sagt einfach x1 2. Gemeint sind 2 Xe nämlich x1 und x2. Die 1 und die 2 haben nur die Bedeutung, dass die beiden x nummeriert werden, damit man die voneinander unterscheiden kann.   Dann geht es weiter mit =- 3/2 ± diese Wurzel hier, ± bedeutet jetzt, wenn wir das x1 ausrechnen, dann rechnen wir + das Ergebnis dieser Wurzel, wenn wir x2 ausrechen, dann rechen wir - diese Wurzel. Also x1 = -(3/2) + \sqrt ((3/2)2 -2). x2 = -(3/2) - \sqrt ((3/2)2 -2). Das beides kann man dann getrennt ausrechnen. Da kommt eine Zahl raus, bzw. 2 Zahlen kommen da raus eine für x1, eine für x2 und das sind dann die beiden Lösungen der Gleichung, dieser quadratischen Gleichung. Ich glaub einfacher geht es nicht, einfach die Zahlen die hier stehen da einsetzen, da einsetzen und diese Zahl hier einsetzen und fertig ist die Anwendung der PQ-Formel. Gleich kommt noch im nächsten Film die Rechnung hierzu, also das Ganze ausrechnen, aber ansonsten ist die Formel schon fertig eingesetzt. Ich wünsche viel Spaß damit bis bald. Tschüss.

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. Hallo No Name But I Am Not You.,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Franziska H., vor etwa 2 Jahren
  2. Gut nur total langweilig probiert mal das nächste mal mit einer Story

    Von No Name But I Am Not You., vor etwa 2 Jahren
  3. Genial!!

    Von Behrens Baerbel, vor etwa 3 Jahren
  4. Genial!!

    Von Behrens Baerbel, vor etwa 3 Jahren
  5. hey ho

    Von Carobiene, vor fast 4 Jahren
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pq-Formel – Erklärung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Erklärung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die quadratische Gleichung in ihrer gesuchten Form an.

    Tipps

    Üblicherweise sortiert man solche Gleichungen nach der Größe der Exponenten, beginnend mit dem größten.

    Auf der anderen Seite der Gleichung muss immer eine Null stehen, um die Formel anwenden zu können.

    So sieht die allgemeine Form aus.

    $p$ und $q$ sind beliebige Zahlen, die beim Umformen entstehen.

    Lösung

    Rechts im Bild siehst du die allgemeine Form einer quatratischen Gleichung, wenn man sie umgeformt hat, um mit der p-q-Formel weiterzurechnen.

    Sie beginnt mit dem $x^2$, welches keinen Vorfaktor mehr besitzen darf.

    Danach folgt das $x$ mit beliebigem Vorfaktor und zum Schluss kommt eine Zahl ohne Variable. Die andere Seite der Gleichung ist gleich Null.

    Die gesuchte quadratische Gleichung muss vor dem Anwenden der Formel also diese Form haben:

    $x^2 + 3x + 2 = 0$.

  • Ergänze die Formel um die gesuchten Werte.

    Tipps

    Dies ist die Form, die eine quadratische Gleichung besitzen muss, um die Formel anwenden zu können.

    Die Zahlen können direkt übernommen werden, wenn die Gleichung bereits in der gewünschten Form angegeben ist.

    Lösung

    Wir erinnern uns: Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss eine quadratische Gleichung eine bestimmte Form besitzen. Diese allgemeine Form siehst du rechts im Bild.

    Dort markiert sind schon die Werte $p$ und $q$, die wir für unsere Formel brauchen.

    Man kann sie direkt übernehmen. So lautet die ausgefüllte Formel:

    $x_{1,2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 - 2}$.

  • Vervollständige die p-q-Formel zur quadratischen Gleichung $x^2+6x+3=0$.

    Tipps

    Allgemein hat eine quadratische Gleichung diese Form, wenn man sie mit der p-q-Formel lösen soll.

    Die Werte von $p$ und $q$ können ohne Bedenken übernommen werden, wenn sie positiv sind. Wenn sie negativ sind, gilt es, die Vorzeichen zu beachten.

    Lösung

    Da unsere Gleichung bereits in der richtigen Form vorliegt, um mit der p-q-Formel weiterzurechnen, können wir die gesuchten Werte direkt übernehmen.

    Dazu müssen wir wissen, wo wir sie finden.

    Der erste Wert ist $p$ und wird in die ersten beiden Lücken jeweils als Zähler des Bruches eingesetzt. Diesen findet man in der Gleichung als Vorfaktor vor dem $x$ (nicht $x^2$!).

    Der zweite Wert, das $q$, ist die Konstante in der Gleichung. Diesen setzt man in der Formel hinten unter die Wurzel.

    Die Formel mit den gesuchten Werten muss also so aussehen:

    $x_{1,2}=-\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{6}{2} \right)^2 - 3}$.

  • Beschreibe den Weg von der Gleichung $3x^2+9x-12=0$ zur vollständigen p-q-Formel.

    Tipps

    Zunächst führen wir eine Äquivalenzumformung durch, damit das $x^2$ alleine steht. Hierfür teilen wir durch den Vorfaktor des $x^2$.

    Nach dem Umformen muss die Gleichung so aussehen:

    Die Werte für $p$ und $q$ werden mit ihrem Vorzeichen übernommen.

    Lösung

    Zunächst müssen wir hier eine kleine Äquivalenzumformung durchführen, damit die Gleichung ihre gewünschte Form aufweist.

    Dazu teilen wir die Gleichung durch den Vorfaktor des $x^2$:

    $\begin{align} 3x^2 + 9x -12 &= 0 &| : 3 \\ x^2 + 3x -4 &=0& \end{align}$

    Nur in dieser Form können wir mit der p-q-Formel weitermachen. Wichtig ist dabei, dass wir die Werte mit ihren Vorzeichen übernehmen müssen. Die Vorzeichen gehören zu der Zahl dazu.

    Daher ist $p=3$ und $q=-4$. In der Formel sieht das dann so aus:

    $x_{1,2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right) ^2 - (-4)}$.

    So verändert sich beim Weiterrechnen auch das Rechenzeichen unter der Wurzel:

    $x_{1,2}=-\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \right) ^2 +4}$.

  • Bestimme, welche Aussagen auf die p-q-Formel $x_{1,2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2-q}$ zutreffen.

    Tipps

    Man kann quadratische Gleichungen nur dann mit der p-q-Formel lösen, wenn diese eine solche Form aufweisen:

    Die Lösungen von quadratischen Gleichungen werden nummeriert, wie z.B. $x_1$, $x_2$, usw.

    Am Anfang der p-q-Formel kann auf diese Weise schon die maximale Anzahl der Lösungen verraten werden.

    Lösung

    Gehen wir die Formel von vorne nach hinten gemeinsam durch.

    Am Anfang finden wir $x_{1,2}$. Das verrät uns einiges über die Ergebnisse: Es können maximal zwei Ergebnisse auftauchen.

    Das bedeutet umgekehrt, dass die Gleichung aber auch gar keine oder bloß eine Lösung besitzen kann. Diese werden dann durchnummeriert.

    Wichtig beim Umgang mit der Formel ist, dass man sie nicht immer anwenden kann, sondern nur, wenn die Gleichung eine ganz bestimmte Form aufweist. Diese ist hier abgebildet.

    Man kann natürlich nicht nur positive, sondern auch negative Werte für $p$ und $q$ einsetzen. Dies wirkt sich auf die Rechnung aus. Hier muss man unbedingt auf die Vorzeichen aufpassen!

  • Berechne die Ergebnisse der quadratischen Gleichung $2x^2 - 8x = 10$.

    Tipps

    So ist die allgemeine Form der Gleichung, wenn man mit der p-q-Formel weitermachen möchte.

    Die Gleichung muss vor Anwendung der Formel so aussehen:

    So sieht die p-q-Formel aus.

    Werte für $p$ und $q$ werden immer mit ihren Vorzeichen übernommen.

    Lösung

    Man kann diese Gleichung mit zwei Rechenschritten lösen.

    Zuerst bringen wir die Gleichung mit einigen Umformungen in die gewünschte Form. Das $x^2$ muss alleine stehen, also ohne Vorfaktor, und auf der rechten Seite der Gleichung muss sich eine Null befinden:

    $\begin{align} 2x^2 - 8x &= 10 &|-10 \\ 2x^2 - 8x -10 &=0 &| :2 \\ x^2 -4x -5 &=0 & \end{align}$

    Nun können wir die p-q-Formel anwenden. Dazu benutzen wir den Wert vor $x$ und den Wert ohne Variable (Die Vorzeichen gehören dazu!):

    $p=-4$ und $q=-5$

    Nun setzen wir diese beiden Werte in die Formel ein:

    $\begin{align} x_{1,2} &=-\frac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)} \\ x_{1,2} &=2 \pm \sqrt{\left(-2)^2 + 5\right)} \\ x_{1,2} &=2 \pm \sqrt{9} \end{align}$

    Nun rechnen wir die Gleichung einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel und erhalten als Ergebnisse:

    • $x_1=2 - 3 = -1$
    • $x_2=2+3=5$
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