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pq-Formel – Aufgabe

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
pq-Formel – Aufgabe
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung pq-Formel – Aufgabe

Der Videotitel verrät dir den Inhalt des Films. Im Video wird dir eine quadratische Gleichung gegeben, welche du mit der p-q-Formel lösen sollst. Die Gleichung lautet: x² + 7x + 12 = 0. Du hast nun zwei Möglichkeiten. Entweder du rechnest die Aufgabe selbständig, oder du lässt dir die Aufgabe vorrechnen. Entscheide selbst. Wenn du die Aufgabe selbständig rechnen möchtest, dann halte das Video zunächst an, damit du in Ruhe die Lösung bestimmen kannst. Wenn du noch Probleme im Anwenden der p-q- Formel hast, dann zeigen wir dir im Video Schritt für Schritt, wie du die Formel zur Bestimmung der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung anwendest. Viel Erfolg!

Transkript pq-Formel – Aufgabe

Hallo, hier ist wieder eine quadratische Gleichung, die zu lösen ist, mit der einfachsten Formel der Welt der hier, genannt auch PQ-Formel hier ist jetzt leider kein P und kein Q dabei, ist aber auch egal wir können das so benutzen. Wir haben die quadratische Gleichung ײ+7×+12=0 und möchten mithilfe dieser Formel die Lösungen bestimmen. Dann machen wir das einfach, indem wir hier die 7 einsetzen, da und da wird also die Zahl die vor dem × steht eingesetzt und hier hinten kommt die letzte Zahl hin die, die hier auch letztes vor dem Gleichheitszeichen steht. So und dann muss man das nur noch ausrechnen, nicht die beiden Lösungen sind jetzt ×1,2 sind also =-7/2+-\sqrt(7/2)²-12, und wie man das ausrechnen kann, zeige ich eben schnell. Wir haben ×1,2=-7/2+-\sqrt und da möchte ich mich darum kümmern, und zwar kann ich mir überlegen 7/2 zum ² bedeutetet 7/2×7/2, 7×7=49, 2×2=4, also habe ich hier stehen 49/4-12, naja ich möchte gerne ¼ haben dann kann ich hier einfacher rechnen ich muss die 12, also 12/1, auf ¼ erweitern, also Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren mit 4 multiplizieren 4×12=48, 4×1=4, 48/4 das ist gleich 12 und das darf ich dann hier hinschreiben 49/4-48/4=¼, \sqrt(¼)=½, weil ein ½×½=¼ ist. Ja, vielleicht schreibe ich es eben noch mal hier hin -7/2+-\sqrt(¼), aber da können wir uns ja kurz fassen \sqrt(¼)=½, also steht hier -7/2+-½ und das bedeutet wir haben ×1= wenn ich ×1 ausrechnen, möchte dann verwende hier das + Zeichen da und da also ist es -7/2+½, 7/2 nach links ½ wieder nach vorne =-6/2 damit also -3, -6/2=3 und das ist hier das Zeichen für ^ , ×2 kann ich so ausrechnen -7/2-½=-8/2, -8/2=-4 bitte sehr das sind die Lösungen -3 und -4, wenn Du das hier einsetzt, kommt jeweils 0 heraus Du kannst es gerne ausprobieren. Ich mach hier Schluss viel spaß damit, bis bald tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Dummerweise sind die Fragen nach p und q total unverständlich formuliert... Mathematiker halt...

    Von Simonnuna23, vor etwa 3 Jahren
  2. Richtig toll 👏

    Von Alina R., vor etwa 3 Jahren
  3. @Luispecarrascosa:
    Ich denke mal, dass du die Lösung der Aufgabe meinst.
    Die Ursprungsgleichung lautet:
    x²+p·x+q=0.
    Schau dir noch mal die p-q-Formel an:
    x1,2 = - p/2 +- Wurzel ( (p/2)² -q ).
    Vorne steht - (!) p/2. Also kehrt sich das Vorzeichen von p in der p-q-Formel vorne um. Jetzt schau dir noch mal die Testfrage an und überlege erneut, welche Lösung richtig ist.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 6 Jahren
  4. wieso ist das denn minus 5 halbe und nicht nur 5 halbe?

    Von Luispecarrascosa, vor fast 6 Jahren

pq-Formel – Aufgabe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel – Aufgabe kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die $p$-$q$-Formel.

    Tipps

    Die $p$-$q$-Formel ist anwendbar auf eine quadratische Gleichung in Normalform:

    $x^2+px+q=0$.

    Schreibe dir die Beispielsaufgabe und die quadratische Gleichung in Normalform untereinander.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, der alleine steht.

    Lösung

    Zum Lösen quadratischer Gleichungen verwendet man die $p$-$q$-Formel. Dafür muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, was in diesem Beispiel der Fall ist:

    $x^2+7x+12=0$.

    Nun macht man sich klar, was $p$ und was $q$ ist:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$. Hier ist also $p=7$.
    • $q$ ist der Term, der alleine steht. Hier ist also $q=12$.
    Nun können diese Werte in die $p$-$q$-Formel eingesetzt werden:

    $x_{1,2}=-\frac 72\pm\sqrt{\left(\frac 72\right)^2-12}$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Um Brüche zu addieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

    Beachte, dass du einmal $+$ und einmal $-$ den Wurzelterm rechnen musst.

    Die $p$-$q$-Formel kann auf quadratische Gleichungen in Normalform ($x^2+px+q=0$) angewendet werden. Wir erhalten:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Lösung

    Die quadratische Gleichung $x^2+7x+12=0$ soll gelöst werden. Hierfür wird die $p$-$q$-Formel verwendet:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Das Rechenzeichen $\pm$ ist eine abkürzende Schreibweise. Sie sagt aus, dass man den dahinter liegenden Term (hier den Wurzelterm) einmal addieren und einmal subtrahieren muss.

    Dies geschieht nur dann, wenn der Term unter der Wurzel (Fachbegriff: Diskriminante) positiv ist. Es gibt dann zwei Lösungen. Ist die Diskriminante gleich $0$, gibt es nur eine Lösung. Ist sie negativ, gibt es keine Lösung.

    In diesem Beispiel gelten folgende Werte:

    • $p=7$
    • $q=12$
    Diese setzen wir ein und rechnen:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac 72\pm\sqrt{\left(\frac 72\right)^2-12}\\ &=&-\frac72\pm\sqrt{\frac{49}4-\frac{48}4}\\ &=&-\frac72\pm\sqrt{\frac14}\\ &=&-\frac72\pm\frac12 \end{array}$

    Die Lösungen lauten damit $x_1=-\frac72+\frac12=-\frac62=-3$ und $x_2=-\frac72-\frac12=-\frac82=-4$.

  • Bestimme die Werte $p$ und $q$ für die Anwendung der $p$-$q$-Formel.

    Tipps

    Schreibe die jeweilige Gleichung unter die quadratische Gleichung in Normalform und vergleiche die Zahlen mit den Buchstaben $p$ und $q$:

    $x^2+px+q=0$.

    Beachte, dass die Vorzeichen sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazugehören.

    Lösung

    Um die $p$-$q$-Formel auf die Normalform $x^2+p\cdot x+q=0$ anzuwenden, muss man sich immer klarmachen, welche Werte $p$ und $q$ haben:

    • $p$ ist der Faktor vor dem $x$.
    • $q$ ist der Term, welcher alleine steht.
    Wichtig dabei ist, dass die Vorzeichen sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazugehören. Hier findest du die Lösungen für die Aufgabe:

    1. $x^2-2x+1=0$: $p=-2$ und $q=1$
    2. $x^2+2x+1=0$: $p=2$ und $q=1$
    3. $x^2-4x-2=0$: $p=-4$ und $q=-2$
    4. $x^2-4x+2=0$: $p=-4$ und $q=2$
  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Bestimme zunächst $p$ und $q$. Verwende hierfür die quadratische Gleichung in Normalform:

    $x^2+px+q=0$.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, welcher allein steht. Wichtig ist dabei, jeweils die Vorzeichen zu berücksichtigen.

    Lösung

    Die Gleichung $x^2-4x-5=0$ soll gelöst werden. Dafür kann die $p$-$q$-Formel verwendet werden. Es ist $p=-4$ und $q=-5$. Diese Werte können nun eingesetzt werden:

    $x_{1,2}=-\frac{-4}2\pm\sqrt{\left(\frac{-4}2\right)^2-(-5)}$.

    Der Term unter der Wurzel (Fachbegriff: Diskriminante) wird nun berechnet:

    $(-2)^2+5=4+5=9$.

    Die Wurzel daraus ist $\sqrt9=3$ und somit ergeben sich die Lösungen:

    $x_1=2+3=5$ und $x_2=2-3=-1$.

    Zusatz:

    • Wenn die Diskriminante kleiner ist als $0$, gibt es keine Lösungen.
    • Bei einem Wert gleich $0$ gibt es genau eine Lösung.
    • Falls sie größer ist als $0$, gibt es zwei Lösungen.
  • Bestimme die Werte $p$ und $q$ für die Anwendung der $p$-$q$-Formel.

    Tipps

    Die $p$-$q$-Formel wird auf quadratische Gleichungen in Normalform angewendet, um $x$ zu errechnen. Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

    Die Anwendung der $p$-$q$-Formel ergibt:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$.

    $q$ ist der Term, welcher alleine (also ohne $x$ bzw. $x^2$) steht.

    Lösung

    Wenn wir eine quadratische Gleichung lösen wollen, ist uns die $p$-$q$-Formel eine große Hilfe. Um sie anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen. Diese Normalform lautet wie folgt:

    $x^2+px+q=0$.

    Dabei ist wichtig, dass vor dem $x^2$ kein Vorfaktor mehr steht und die Gleichung auf der anderen Seite $0$ ist.

    Die Anwendung der $p$-$q$-Formel ergibt:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Also ist $p$ der Faktor vor dem $x$ (hier $7$) und $q$ der Term, welcher alleine steht (hier $12$).

    Wichtig: Zu $p$ und $q$ gehören auch die Vorzeichen. In diesem Beispiel beide Male $+$.

  • Untersuche die quadratische Gleichung auf die Menge der Lösungen.

    Tipps

    Der Term unter der Wurzel der $p$-$q$-Formel heißt Diskriminante. Sie lautet:

    $\left(\frac p2\right)^2-q$.

    Man kann keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

    Wenn die Diskrimante $0$ ist, führt das Addieren und das Subtrahieren der Wurzel aus dieser Diskriminante zum gleichen Ergebnis.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Bedeutung von $q$ für die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung. Die Gleichung lautet:

    $x^2+6x+q=0$.

    Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel der $p$-$q$-Formel) lautet:

    $\left(\frac p2\right)^2-q$.

    Wenn dieser Term positiv ist, ergeben sich für die quadratische Gleichung zwei Lösungen. Ist dieser Term $0$, so ergibt sich nur eine Lösung. Wenn die Diskriminante negativ ist, dann gibt es keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl im reellen Zahlenbereich keine Wurzel ziehen kann.

    Kommen wir nun zu den Beispielen. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet:

    $\left(\frac 62\right)^2-q=9-q$.

    Wie oben bereits erwähnt: Ist die Diskriminante negativ, dann kann man die Wurzel nicht ziehen und es existiert keine Lösung:

    $9-q<0~\Leftrightarrow 9<q$.

    Es gibt also zum Beispiel keine Lösungen, falls $q=10$, $q=11$ oder $q=12$ ist.

    Wie oben bereits erwähnt: Ist die Diskriminante gleich $0$, also $q=9$, dann ist die Wurzel aus der Diskriminante ebenfalls $0$ und man erhält eine Lösung:

    $x=-\frac62+0=-3$.

    Bei diesen Beispielen ist die Diskriminante positiv. Es existieren also zwei Lösungen:

    $9-q>0~\Leftrightarrow~9>q$

    Für $q=5$ heißen die Lösungen bspw.

    • $x_1=-3+\sqrt4=-3+2=-1$
    • $x_2=-3-\sqrt4=-3-2=-5$
    Es gibt ebenso zwei Lösungen für $q=8$ oder $q=-10$.

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