pq-Formel – Aufgabe

pq-Formel – Aufgabe Übung

• Ergänze die $p$-$q$-Formel.

  Tipps

  Die $p$-$q$-Formel ist anwendbar auf eine quadratische Gleichung in Normalform:

  $x^2+px+q=0$.

  Schreibe dir die Beispielsaufgabe und die quadratische Gleichung in Normalform untereinander.

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, der alleine steht.

  Lösung

  Zum Lösen quadratischer Gleichungen verwendet man die $p$-$q$-Formel. Dafür muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen, was in diesem Beispiel der Fall ist:

  $x^2+7x+12=0$.

  Nun macht man sich klar, was $p$ und was $q$ ist:

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$. Hier ist also $p=7$.
  • $q$ ist der Term, der alleine steht. Hier ist also $q=12$.

  Nun können diese Werte in die $p$-$q$-Formel eingesetzt werden:

  $x_{1,2}=-\frac 72\pm\sqrt{\left(\frac 72\right)^2-12}$.

• Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Um Brüche zu addieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

  Beachte, dass du einmal $+$ und einmal $-$ den Wurzelterm rechnen musst.

  Die $p$-$q$-Formel kann auf quadratische Gleichungen in Normalform ($x^2+px+q=0$) angewendet werden. Wir erhalten:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Lösung

  Die quadratische Gleichung $x^2+7x+12=0$ soll gelöst werden. Hierfür wird die $p$-$q$-Formel verwendet:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Das Rechenzeichen $\pm$ ist eine abkürzende Schreibweise. Sie sagt aus, dass man den dahinter liegenden Term (hier den Wurzelterm) einmal addieren und einmal subtrahieren muss.

  Dies geschieht nur dann, wenn der Term unter der Wurzel (Fachbegriff: Diskriminante) positiv ist. Es gibt dann zwei Lösungen. Ist die Diskriminante gleich $0$, gibt es nur eine Lösung. Ist sie negativ, gibt es keine Lösung.

  In diesem Beispiel gelten folgende Werte:

  • $p=7$
  • $q=12$

  Diese setzen wir ein und rechnen:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac 72\pm\sqrt{\left(\frac 72\right)^2-12}\\ &=&-\frac72\pm\sqrt{\frac{49}4-\frac{48}4}\\ &=&-\frac72\pm\sqrt{\frac14}\\ &=&-\frac72\pm\frac12 \end{array}$

  Die Lösungen lauten damit $x_1=-\frac72+\frac12=-\frac62=-3$ und $x_2=-\frac72-\frac12=-\frac82=-4$.

• Bestimme die Werte $p$ und $q$ für die Anwendung der $p$-$q$-Formel.

  Tipps

  Schreibe die jeweilige Gleichung unter die quadratische Gleichung in Normalform und vergleiche die Zahlen mit den Buchstaben $p$ und $q$:

  $x^2+px+q=0$.

  Beachte, dass die Vorzeichen sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazugehören.

  Lösung

  Um die $p$-$q$-Formel auf die Normalform $x^2+p\cdot x+q=0$ anzuwenden, muss man sich immer klarmachen, welche Werte $p$ und $q$ haben:

  • $p$ ist der Faktor vor dem $x$.
  • $q$ ist der Term, welcher alleine steht.

  Wichtig dabei ist, dass die Vorzeichen sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazugehören. Hier findest du die Lösungen für die Aufgabe:

  1. $x^2-2x+1=0$: $p=-2$ und $q=1$
  2. $x^2+2x+1=0$: $p=2$ und $q=1$
  3. $x^2-4x-2=0$: $p=-4$ und $q=-2$
  4. $x^2-4x+2=0$: $p=-4$ und $q=2$

• Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Bestimme zunächst $p$ und $q$. Verwende hierfür die quadratische Gleichung in Normalform:

  $x^2+px+q=0$.

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, welcher allein steht. Wichtig ist dabei, jeweils die Vorzeichen zu berücksichtigen.

  Lösung

  Die Gleichung $x^2-4x-5=0$ soll gelöst werden. Dafür kann die $p$-$q$-Formel verwendet werden. Es ist $p=-4$ und $q=-5$. Diese Werte können nun eingesetzt werden:

  $x_{1,2}=-\frac{-4}2\pm\sqrt{\left(\frac{-4}2\right)^2-(-5)}$.

  Der Term unter der Wurzel (Fachbegriff: Diskriminante) wird nun berechnet:

  $(-2)^2+5=4+5=9$.

  Die Wurzel daraus ist $\sqrt9=3$ und somit ergeben sich die Lösungen:

  $x_1=2+3=5$ und $x_2=2-3=-1$.

  Zusatz:

  • Wenn die Diskriminante kleiner ist als $0$, gibt es keine Lösungen.
  • Bei einem Wert gleich $0$ gibt es genau eine Lösung.
  • Falls sie größer ist als $0$, gibt es zwei Lösungen.

• Bestimme die Werte $p$ und $q$ für die Anwendung der $p$-$q$-Formel.

  Tipps

  Die $p$-$q$-Formel wird auf quadratische Gleichungen in Normalform angewendet, um $x$ zu errechnen. Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

  Die Anwendung der $p$-$q$-Formel ergibt:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  $p$ ist der Faktor vor dem $x$.

  $q$ ist der Term, welcher alleine (also ohne $x$ bzw. $x^2$) steht.

  Lösung

  Wenn wir eine quadratische Gleichung lösen wollen, ist uns die $p$-$q$-Formel eine große Hilfe. Um sie anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen. Diese Normalform lautet wie folgt:

  $x^2+px+q=0$.

  Dabei ist wichtig, dass vor dem $x^2$ kein Vorfaktor mehr steht und die Gleichung auf der anderen Seite $0$ ist.

  Die Anwendung der $p$-$q$-Formel ergibt:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  Also ist $p$ der Faktor vor dem $x$ (hier $7$) und $q$ der Term, welcher alleine steht (hier $12$).

  Wichtig: Zu $p$ und $q$ gehören auch die Vorzeichen. In diesem Beispiel beide Male $+$.

• Untersuche die quadratische Gleichung auf die Menge der Lösungen.

  Tipps

  Der Term unter der Wurzel der $p$-$q$-Formel heißt Diskriminante. Sie lautet:

  $\left(\frac p2\right)^2-q$.

  Man kann keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

  Wenn die Diskrimante $0$ ist, führt das Addieren und das Subtrahieren der Wurzel aus dieser Diskriminante zum gleichen Ergebnis.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es um die Bedeutung von $q$ für die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung. Die Gleichung lautet:

  $x^2+6x+q=0$.

  Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel der $p$-$q$-Formel) lautet:

  $\left(\frac p2\right)^2-q$.

  Wenn dieser Term positiv ist, ergeben sich für die quadratische Gleichung zwei Lösungen. Ist dieser Term $0$, so ergibt sich nur eine Lösung. Wenn die Diskriminante negativ ist, dann gibt es keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl im reellen Zahlenbereich keine Wurzel ziehen kann.

  Kommen wir nun zu den Beispielen. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet:

  $\left(\frac 62\right)^2-q=9-q$.

  Wie oben bereits erwähnt: Ist die Diskriminante negativ, dann kann man die Wurzel nicht ziehen und es existiert keine Lösung:

  $9-q<0~\Leftrightarrow 9<q$.

  Es gibt also zum Beispiel keine Lösungen, falls $q=10$, $q=11$ oder $q=12$ ist.

  Wie oben bereits erwähnt: Ist die Diskriminante gleich $0$, also $q=9$, dann ist die Wurzel aus der Diskriminante ebenfalls $0$ und man erhält eine Lösung:

  $x=-\frac62+0=-3$.

  Bei diesen Beispielen ist die Diskriminante positiv. Es existieren also zwei Lösungen:

  $9-q>0~\Leftrightarrow~9>q$

  Für $q=5$ heißen die Lösungen bspw.

  • $x_1=-3+\sqrt4=-3+2=-1$
  • $x_2=-3-\sqrt4=-3-2=-5$

  Es gibt ebenso zwei Lösungen für $q=8$ oder $q=-10$.