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Potenzieren von Summen – Aufgabe

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Potenzieren von Summen – Aufgabe
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzieren von Summen – Aufgabe

Herzlich Willkommen zu einer Übungsaufgabe. Was soll geübt werden? In diesem Video soll ein Term vereinfacht werden, der Summen, Differenzen und Potenzen enthält. Du benötigst für die Termvereinfachung dein Wissen über die Binomischen Formeln und dein Wissen über die verschiedenen Potenzgesetze. Versuche zunächst den vorliegenden Term selbständig zu vereinfachen. Halte hierzu das Video an und notiere dir den Term in dein Heft. Wenn du den Rechenausdruck vereinfacht hast, dann kannst du im Video die Umformungsschritte verfolgen. Hast du die Potenzgesetze und die Binomische Formel richtig angewandt? Wenn ja, dann herzlich Glückwunsch!

Transkript Potenzieren von Summen – Aufgabe

Hallo! Hier ist eine Übungsaufgabe. Sie lautet ((x2-b2)2)/((x+b)2). So, irgendwelche Ideen? Probiere sie doch erst aus und gucke dann die Lösung an. Ansonsten ist es ja langweilig, wenn du es nicht ausprobierst. Was kann man hier machen? Wenn man solche Ausdrücke sieht wie x2-b2 sollte man gleich an die 3. binomische Formel denken und man sollte nicht daran denken, dass der Zähler vielleicht so aussehen könnte. Also 1. Summand2-2. Summand2. Das hier ist was komplett anderes, als das, was hier im Zähler steht. Ich wollte es nur mal sagen, das ist nicht das gleiche, das hat hier nichts zu suchen. Wir machen, wenn wir an die 3. binomische Formel denken, ich hab ein Quadrat - ein anderes Quadrat. Das ist ja dann folgendes, nämlich (x+b)×(x-b)=x2-b2. Das kann ich hier anwenden. Aber Vorsicht, ich habe das innerhalb dieser Klammer angewendet. Das heißt, die beiden Klammerzeichen und ^2 das steht hier noch nicht, das fehlt noch.  Also dieses Quadrat hier hat mit den Quadraten in der Klammer bisher überhaupt nichts zu tun. Also kommt hier eine Klammer rum und das Quadrat noch dazu, also ^2 und der Nenner bleibt, wie er ist, nämlich so. Jetzt kann ich auf den Zähler was anwenden, wo ist es, nein, das ist das falsche Gesetz, es kommt gleich, Achtung. Da ist es. Und zwar hab ich hier im Zähler 2 Faktoren, die beide zusammen potenziert werden hier mit 2, also kann ich die beiden Faktoren auch einzeln potenzieren und das mach ich jetzt mal. Das ist dann die 1. Klammer2, nämlich (x+b)2×(x-b)2 und der Nenner bleibt, wie er ist. Nämlich (x+b)2 und nun kann ich was kürzen. Nämlich (x+b)2. Jetzt ist es wirklich ein Produkt geworden, was hier im Zähler steht, ich kann aus Produkten natürlich kürzen. Auch mit Potenzen, wenn diese Potenzen Faktoren sind. Das werde ich also machen, es bleibt übrig (x-b)2. Das kann ich nun noch auflösen. Mach ich mal, ich weiß nicht, ob das jetzt die Lösung der Aufgabe sein soll oder nicht. Das ist verschieden, manchmal so, manchmal so. Ja, ich kriege es nicht mehr ganz hin, also lass ich es, ist egal. Du kannst auf dieses Ding hier eine binomische Formel anwenden, das kannst du schon, das muss ich nicht noch mal zeigen. Das kommt raus. Ich hoffe, bei dir war es ähnlich mit der Rechnung. Du hast dasselbe Ergebnis. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gut erklärt. Fast beeindruckender als die Mathematik...das "über Kopf Schreiben" des Tutors...genial :-)

    Von Probinson1976, vor fast 9 Jahren

Potenzieren von Summen – Aufgabe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzieren von Summen – Aufgabe kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche binomische Formel zu Umformung verwendet werden kann.

    Tipps

    Die binomischen Formeln lauten

    $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Die erste und die zweite binomische Formel sehen recht ähnlich aus. Wie unterscheiden diese sich?

    Was ist das Besondere an der dritten binomischen Formel?

    Du kannst jede dieser Formeln auch von rechts nach links lesen.

    Lösung

    Bei $x^2-b^2$ werden zwei Quadrate subtrahiert. Da sollte einem die dritte binomische Formel einfallen. Diese lautet

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Wenden wir diese Formel mit $a=x$ an, erhalten wir:

    $x^2-b^2=(x+b)\cdot (x-b)$.

  • Vereinfache den angegebenen Term soweit wie möglich.

    Tipps

    Die 3. binomische Formel lautet

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Du kannst nur Faktoren kürzen.

    Verwende die folgende Regel zum Rechnen mit Potenzen

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Lösung

    Wir wollen den Term

    $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}$

    vereinfachen. Man könnte sicher alle Potenzen berechnen. Dann würde man jedoch einen etwas komplizierteren Term erhalten.

    Im Zähler steht $x^2-b^2$, also die Differenz zweier Quadrate. Diese taucht auch in der 3. binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ auf.

    Somit ist $(x^2-b^2)^2=((x+b)\cdot (x-b))^2$.

    Da ein Produkt potenziert wird, indem jeder Faktor potenziert wird, kann man wie folgt weiter rechnen

    $(x^2-b^2)^2=((x+b)\cdot (x-b))^2=(x+b)^2\cdot (x-b)^2$.

    Nun kann der obige Term umgeformt werden zu

    $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}=\frac{(x+b)^2\cdot (x-b)^2}{(x+b)^2}$.

    Da sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor $(x+b)^2$ vorkommt, kann dieser gekürzt werden, und es bleibt

    $\frac{(x^2-b^2)^2}{(x+b)^2}= (x-b)^2$.

    Dies kann mit einer binomischen Formel weiter umgeformt werden zu

    $x^2-2bx+b^2$.

  • Ordne dem jeweiligen Term die Vereinfachung zu.

    Tipps

    Bei den Vereinfachungen wird entweder

    • eine binomische Formel angewendet,
    • Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen angewendet
    • oder gekürzt.

    Verwende die folgenden Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen

    • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
    • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
    Beachte, dass du beide Regeln auch von rechts nach links lesen kannst.

    Die binomischen Formeln lauten

    $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Lösung

    Man kann vereinfachen, indem man gemeinsame Faktoren kürzt:

    $\frac{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}{(a-b)^2}=(a+b)^2$.

    Man kann auch zunächst eine binomische Formel anwenden, ggf. ein Potenzgesetz nutzen und dann kürzen:

    • $\frac{a^2+2ab+b^2}{(a+b)^3}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^3}=\frac1{a+b}$
    • $\frac{(a+b)^2}{(a^2-b^2)^2}=\frac{(a+b)^2}{((a+b)\cdot (a-b))^2}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}=\frac1{(a-b)^2}$.
    • $\frac{(a^2-b^2)^2}{(a-b)^2}=\frac{((a+b)\cdot (a-b))^2}{(a-b)^2}=\frac{(a+b)^2\cdot (a-b)^2}{(a-b)^2}=(a+b)^2$.

  • Prüfe, ob die Umformungen richtig sind.

    Tipps

    Verwende die dritte binomische Formel

    $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Auf der rechten Seite steht die Differenz zweier Quadrate.

    Du kannst nur dann kürzen, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner der gleiche Faktor steht.

    Du kannst die folgenden Regeln verwenden:

    • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
    • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
    Beachte, dass du beide Regeln auch von rechts nach links lesen kannst.

    Lösung

    Es soll der Term

    $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}$

    vereinfacht werden.

    Zunächst kann man sehen, dass im Zähler die Differenz zweier Quadrate steht. Diese kann man mit der dritten binomischen Formel umschreiben zu

    $(a^2-16)^2=((a+4)\cdot (a-4))^2$.

    Die Potenz kann berechnet werden, indem jeder Faktor potenziert wird. Dies führt zu

    $((a+4)\cdot (a-4))^2=(a+4)^2\cdot (a-4)^2$.

    Nun kann dieser Term in dem Ausgangsterm eingesetzt werden:

    $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a+4)^2\cdot (a-4)^2}{(a+4)^4}$.

    Der Faktor $(a+4)^2$ kommt sowohl im Zähler als auch im Nenner vor und kann gekürzt werden zu

    $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a+4)^2\cdot (a-4)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)^2}$.

    Dies kann mit Rechenregeln für Potenzen auch in der folgenden Form geschrieben werden:

    $\frac{(a^2-16)^2}{(a+4)^4}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)^2}=\left(\frac{a-4}{a+4}\right)^2$.

  • Benenne die Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen.

    Tipps

    Beachte, dass die Klammer bei $(2\cdot 3)^2$ wichtig ist, denn

    • $(2\cdot 3)^2=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$, aber
    • $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$. Hier bezieht der Exponent sich nur auf die $3$.

    Eine ähnliche Regel gilt auch für Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

    Lösung

    Wenn man ein Produkt potenzieren muss, kann jeder Faktor einzeln potenziert werden.

    Das bedeutet:

    $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Diese Gleichung kann man auch umgekehrt aufschreiben

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Eine solche Regel gilt auch für Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  • Vereinfache den Term und berechne die resultierende Potenz.

    Tipps

    Verwende die binomischen Formeln

    $\begin{align*} 1.~~&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 2.~~&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ 3.~~&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Du kannst die 3. binomische Formel daran erkennen, dass auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

    Du kannst nur dann kürzen, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt.

    Lösung

    Zur Vereinfachung des Terms

    $\frac{(4u^2-9b^2)^2}{(2u+3b)^2}$

    wendet man im Zähler erst einmal die 3. binomische Formel an

    $4u^2-9b^2=(2u+3b)\cdot(2u-3b)$.

    Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird. Somit ist

    $(4u^2-9b^2)^2=((2u+3b)\cdot(2u-3b))^2=(2u+3b)^2\cdot(2u-3b)^2$.

    Der Faktor $(2u+3b)^2$, welcher sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, kann gekürzt werden. Somit ist

    $\frac{(4u^2-9b^4)^2}{(2u+3b)^2}=(2u-3b)^2$.

    Nun kann diese Potenz noch weiter berechnet werden, zum Beispiel mit der 2. binomischen Formel,

    $(2u-3b)^2=4\cdot u^2-12\cdot b\cdot u+9\cdot b^2$.

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