Potenzieren von Summen

Potenzieren von Summen Übung

• Ergänze, wie man Summen potenziert.

  Tipps

  Es gilt das Distributivgesetz:

  $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.

  Zum Beispiel ist $(4+a)\cdot (c+3)=4c+12+ac+3a$.

  Lösung

  Wenn man den Term $(m^2-2)^2$ berechnen möchte, kann man auch die Basis mit sich selbst multiplizieren:

  $(m^2-2)\cdot (m^2-2)$.

  Wie kann man ein solches Produkt berechnen?

  • Man könnte eine binomische Formel anwenden oder
  • die jeweiligen Terme miteinander multiplizieren.

  $(m^2-2)\cdot (m^2-2)=m^4-2m^2-2m^2+4$.

  Dieser Term kann noch weiter zusammengefasst werden.

• Gib das Ergebnis von $(m^2-2)^2$ an.

  Tipps

  Die Potenzschreibweise $a^n$ ist eine abkürzende Schreibweise für das n-malige Multiplizieren von $a$ mit sich selbst: $a\cdot ...\cdot a$.

  Es gilt

  $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b \cdot d$.

  Es können nur Terme addiert oder subtrahiert werden, welche sowohl in der Variablen als auch im Exponenten übereinstimmen:

  • $4a^3-3a^3=a^3$
  • jedoch lässt sich $4a^3-3b^3$ nicht weiter vereinfachen.

  Lösung

  Es soll die Potenz $(m^2-2)^2$ berechnet werden. Das Quadrat ist eine abkürzende Schreibweise für das Produkt von $m^2-2$ mit sich selbst:

  $(m^2-2)^2=(m^2-2)\cdot (m^2-2)$.

  Dieses Produkt kann berechnet werden, indem jeder Summand des linken mit jedem des rechten multipliziert wird:

  $(m^2-2)\cdot (m^2-2)=m^4-2m^2-2m^2+4$.

  $-2m^2-2m^2$ kann zu $-4m^2$ zusammengefasst werden. Somit erhält man insgesamt

  $(m^2-2)^2=m^4-4m^2+4$.

  Dieses Ergebnis hätte man auch erhalten, wenn man die binomische Formel

  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  angewendet hätte.

• Entscheide, welche Rechnungen richtig sind.

  Tipps

  Die Schreibweise als Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt. Zum Beispiel ist

  $(a+4)^3=(a+4)\cdot(a+4)\cdot(a+4)$.

  Es gilt $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d$.

  Beachte, dass $5b^3+4b^3=9b^3$ gilt. Der Exponent bleibt bei dieser Rechnung gleich.

  Lösung

  Die Potenz $(4a+3)^2$ lässt sich als Produkt schreiben:

  $(4a+3)^2=(4a+3)\cdot (4a+3)$.

  Nun kann wie folgt weiter gerechnet werden:

  • Die Summanden des linken werden mit denen des rechten Faktors multipliziert: $(4a+3)^2=16a^2+12a+12a+9$.
  • $12a+12a=24a$. Dies führt zu dem Ergebnis $(4a+3)^2=16a^2+24a+9$.

• Berechne die jeweilige Potenz.

  Tipps

  Du kannst auch die binomischen Formeln verwenden:

  • 1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • 2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Überlege dir bei den binomischen Formeln, was $a$ und was $b$ ist.

  Du kannst auch die jeweilige Potenz als Produkt schreiben und ausmuliplizieren.

  Lösung

  Um Potenzen von Summen zu berechnen, können

  • entweder binomische Formeln angewendet
  • oder die Potenzen als Produkte geschrieben und diese ausmultipliziert werden.

  Bei den folgenden Aufgaben werden beide Varianten gezeigt. Hierfür benötigt man die folgenden binomischen Formeln:

  • 1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • 2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Diese binomischen Formel können auch durch Ausmultiplizieren gezeigt werden.

  • $(4u^2-3v)^2$. Hier entspricht $a=4u^2$ und $b=3v$ in der 2. binomischen Formel $(4u^2-3v)^2=16u^4-24u^2v+9v^2$.
  • $(4u^2+3v)^2$. Hier entspricht $a=4u^2$ und $b=3v$ in der 1. binomischen Formel $(4u^2+3v)^2=16u^4+24u^2v+9v^2$.
  • $(3u^2-4v)^2=(3u^2-4v)\cdot (3u^2-4v)$. Nun kann ausmultipliziert und zusammengefasst werden zu $(3u^2-4v)^2=9u^4-12u^2v-12u^2v+16v^2=9u^4-24u^2v+16v^2$.
  • $(3u^2+4v)^2=(3u^2+4v)\cdot (3u^2+4v)$. Nun kann ausmultipliziert und zusammengefasst werden zu $(3u^2+4v)^2=9u^4+12u^2v+12u^2v+16v^2=9u^4+24u^2v+16v^2$.

• Beschreibe, wie $m^2\cdot m^2$ und $-2m^2-2m^2$ berechnet werden können.

  Tipps

  Es gilt $m^2=m\cdot m$.

  Somit ist $m^2\cdot m^2=m\cdot m \cdot m \cdot m$.

  Es gilt $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

  Man könnte auch die folgende Regel verwenden

  $a^n\cdot a^n=(a\cdot a)^n=(a^2)^n=a^{2\cdot n}=a^{2n}$

  verwenden.

  Wenn du zu zwei Äpfeln zwei weitere dazutust, hast du vier Äpfel und nicht vier Äpfel zum Quadrat.

  Lösung

  Um das Produkt $m^2\cdot m^2$ zu berechnen, kann man eine Rechenregeln für Potenzen verwenden.

  Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert: $m^2\cdot m^2=m^{2+2}=m^4$.

  Terme, die in den Variablen und Exponenten übereinstimmen, werden addiert oder subtrahiert, indem die jeweiligen Faktoren addiert oder subtrahiert werden. Somit ist $-2m^2-2m^2=(-2-2)m^2=-4m^2$.

• Leite eine binomische Formel für $(a+b)^4$ her.

  Tipps

  Du könntest $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ verwenden und diese Summe wiederum mit sich selbst multiplizieren.

  Zum Beispiel ist

  $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

  Alle fehlenden Zahlen sind natürliche Zahlen.

  Die kleinste ist $2$ und die größte $6$.

  Lösung

  Etwas aufwändiger wird das Berechnen von Potenzen, wenn der Exponent größer ist als $2$.

  Es soll $(a+b)^4$ berechnet werden.

  Es gilt $(a+b)^4=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)$.

  Man kann die ersten beiden Faktoren mit der 1. binomischen Formel berechnen $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Nun kann dieser Term mit sich selbst multipliziert werden:

  $\begin{align*} (a+b)^4&=(a+b)^2\cdot (a+b)^2\\ &=(a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2)\\ &=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4. \end{align*}$

  Terme, welche in der Variablen und im Exponenten übereinstimmen, können addiert werden:

  $a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

  Somit ist

  $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.