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Potenzieren von Summen

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Martin Wabnik
Potenzieren von Summen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzieren von Summen

Herzlich Willkommen. In den bisherigen Aufgaben ist das Potenzieren von Summen zu kurz gekommen und das wird sich nun ändern. In diesem Video wird eine Differenz potenziert und auf einen Fehler hingewiesen, der dabei normalerweise immer gemacht wird. Es wäre von Vorteil, wenn du bereits die binomischen Formeln kennst und anwenden kannst. Nutze die Chance und lass dir von unserem Tutor an einem Beispiel erklären, wie man Summen potenziert. Es wird dir zukünftig helfen Fehler zu vermeiden und somit bessere Noten in der Schule zu erlangen. Viel Spaß!

Transkript Potenzieren von Summen

Hallo! In den bisherigen Aufgaben ist das Potenzieren von Summen zu kurz gekommen und das wird sich jetzt ändern. Hier ist eine Summe, nämlich (m²-2)2. Ich sage vorher, was es nicht ist. Ja, das tritt immer wieder auf. Ich weiß gar nicht, warum das immer sich so sehr hält. Das ist was anderes als (m²)2-22! Das, was hier unten steht und das, was hier oben steht, das sind 2 komplett verschiedene Ausdrücke. Die sind nicht gleich. Hier ist nämlich gemeint, dass die gesamte Klammer potenziert wird. Also das werde ich hier wieder durchstreichen. Das ist es nicht. Wenn eine gesamte Klammer potenziert wird, dann kann man sich das so vorstellen. Wir schreiben die Klammer einmal hin und wir schreiben jetzt die einzelnen Faktoren, hier sind es zum Glück nur 2, einfach mal hintereinander. Das ist einfach die Definition der Potenz. Wenn man etwas mehrfach mit sich multipliziert, dann kann man das ja als Potenz schreiben. Hier wird Klammer × Klammer gerechnet. Wenn da nichts steht in der Mitte, dann ist immer × gemeint. Aber ich habe mir hier auch ein ×-Zeichen hingeschrieben. Hier können wir eine binomische Formel anwenden oder einfach Summand und Summand multiplizieren. Hier also jeder Summand mit jedem. Ich sage das nur Mal so, in aller Deutlichkeit, in aller Ausführlichkeit. Weil es doch immer wieder falsch gemacht wird. Also haben wir hier m²×m²+ bzw. -, weil man hier ja m²-2×-2 rechnet. Das wird also sein -2m. Dann rechnen wir -2×m². Hier habe ich mich vertan, es ist -2m². Das hier ist auch -2m². Wenn man nämlich -2 mit m² multipliziert. Und -2×-2=+4. Das hätte man mit der binomischen Formel auch direkt hinschreiben können. Aber ich möchte es einmal hier noch mal in aller Ausführlichkeit gezeigt haben. Wir wissen nun m²×m²=m4. Das kann man jetzt einfach so machen, weil wir genügend Potenzen geübt haben. -2m² und noch mal -2m², das sind insgesamt -4m². Es sind übrigens nicht m4. Das hat da nichts zu suchen. m4 bekommt man wenn man m²×m² rechnet. Hier ist aber kein ×-Zeichen. Also steht hier 4m². Jetzt wollte ich schon fast m4 hinschreiben. Also +4 bleibt einfach da. Mehr auflösen kann man das nicht. Man kann hier noch eine 4 ausklammern vielleicht aus den beiden. Oder man könnte hier m² ausklammern. Aber dann hätte man das irgendwann das Gleiche wie vorher. Das wollen wir nicht. Ja so rechnet man da und bitte immer unterscheiden, nicht wahr, kann ich hier Potenzgesetze anwenden oder nicht? Wird eigentlich tatsächlich multipliziert und so weiter. Das, worauf ich hier auch hingewiesen habe. Ja, ich hoffe du hattest das genauso. Dann viel Spaß damit, bis bald. Tschüs!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Richtig gut erklärt!!!

    Von Moritz K., vor fast 5 Jahren
  2. Hallo,

    hast du schon einmal einen anderen Browser ausprobiert? Wenn es trotzdem weiterhin nicht gut läuft, wende dich am besten an unseren Support. Alles Gute, Felix

    Von Felix T., vor fast 5 Jahren
  3. Super Erklärt! Leider stoppt das Video öfters bei mir :(

    Von Isabellaangermann, vor fast 5 Jahren
  4. ist ok

    Von Lametta am Tannenbaum s., vor fast 6 Jahren
  5. @Nasenbär: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
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Potenzieren von Summen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzieren von Summen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze, wie man Summen potenziert.

    Tipps

    Es gilt das Distributivgesetz:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.

    Zum Beispiel ist $(4+a)\cdot (c+3)=4c+12+ac+3a$.

    Lösung

    Wenn man den Term $(m^2-2)^2$ berechnen möchte, kann man auch die Basis mit sich selbst multiplizieren:

    $(m^2-2)\cdot (m^2-2)$.

    Wie kann man ein solches Produkt berechnen?

    • Man könnte eine binomische Formel anwenden oder
    • die jeweiligen Terme miteinander multiplizieren.
    $(m^2-2)\cdot (m^2-2)=m^4-2m^2-2m^2+4$.

    Dieser Term kann noch weiter zusammengefasst werden.

  • Gib das Ergebnis von $(m^2-2)^2$ an.

    Tipps

    Die Potenzschreibweise $a^n$ ist eine abkürzende Schreibweise für das n-malige Multiplizieren von $a$ mit sich selbst: $a\cdot ...\cdot a$.

    Es gilt

    $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b \cdot d$.

    Es können nur Terme addiert oder subtrahiert werden, welche sowohl in der Variablen als auch im Exponenten übereinstimmen:

    • $4a^3-3a^3=a^3$
    • jedoch lässt sich $4a^3-3b^3$ nicht weiter vereinfachen.

    Lösung

    Es soll die Potenz $(m^2-2)^2$ berechnet werden. Das Quadrat ist eine abkürzende Schreibweise für das Produkt von $m^2-2$ mit sich selbst:

    $(m^2-2)^2=(m^2-2)\cdot (m^2-2)$.

    Dieses Produkt kann berechnet werden, indem jeder Summand des linken mit jedem des rechten multipliziert wird:

    $(m^2-2)\cdot (m^2-2)=m^4-2m^2-2m^2+4$.

    $-2m^2-2m^2$ kann zu $-4m^2$ zusammengefasst werden. Somit erhält man insgesamt

    $(m^2-2)^2=m^4-4m^2+4$.

    Dieses Ergebnis hätte man auch erhalten, wenn man die binomische Formel

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    angewendet hätte.

  • Entscheide, welche Rechnungen richtig sind.

    Tipps

    Die Schreibweise als Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt. Zum Beispiel ist

    $(a+4)^3=(a+4)\cdot(a+4)\cdot(a+4)$.

    Es gilt $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d$.

    Beachte, dass $5b^3+4b^3=9b^3$ gilt. Der Exponent bleibt bei dieser Rechnung gleich.

    Lösung

    Die Potenz $(4a+3)^2$ lässt sich als Produkt schreiben:

    $(4a+3)^2=(4a+3)\cdot (4a+3)$.

    Nun kann wie folgt weiter gerechnet werden:

    • Die Summanden des linken werden mit denen des rechten Faktors multipliziert: $(4a+3)^2=16a^2+12a+12a+9$.
    • $12a+12a=24a$. Dies führt zu dem Ergebnis $(4a+3)^2=16a^2+24a+9$.

  • Berechne die jeweilige Potenz.

    Tipps

    Du kannst auch die binomischen Formeln verwenden:

    • 1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • 2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Überlege dir bei den binomischen Formeln, was $a$ und was $b$ ist.

    Du kannst auch die jeweilige Potenz als Produkt schreiben und ausmuliplizieren.

    Lösung

    Um Potenzen von Summen zu berechnen, können

    • entweder binomische Formeln angewendet
    • oder die Potenzen als Produkte geschrieben und diese ausmultipliziert werden.
    Bei den folgenden Aufgaben werden beide Varianten gezeigt. Hierfür benötigt man die folgenden binomischen Formeln:
    • 1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • 2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
    Diese binomischen Formel können auch durch Ausmultiplizieren gezeigt werden.
    • $(4u^2-3v)^2$. Hier entspricht $a=4u^2$ und $b=3v$ in der 2. binomischen Formel $(4u^2-3v)^2=16u^4-24u^2v+9v^2$.
    • $(4u^2+3v)^2$. Hier entspricht $a=4u^2$ und $b=3v$ in der 1. binomischen Formel $(4u^2+3v)^2=16u^4+24u^2v+9v^2$.
    • $(3u^2-4v)^2=(3u^2-4v)\cdot (3u^2-4v)$. Nun kann ausmultipliziert und zusammengefasst werden zu $(3u^2-4v)^2=9u^4-12u^2v-12u^2v+16v^2=9u^4-24u^2v+16v^2$.
    • $(3u^2+4v)^2=(3u^2+4v)\cdot (3u^2+4v)$. Nun kann ausmultipliziert und zusammengefasst werden zu $(3u^2+4v)^2=9u^4+12u^2v+12u^2v+16v^2=9u^4+24u^2v+16v^2$.

  • Beschreibe, wie $m^2\cdot m^2$ und $-2m^2-2m^2$ berechnet werden können.

    Tipps

    Es gilt $m^2=m\cdot m$.

    Somit ist $m^2\cdot m^2=m\cdot m \cdot m \cdot m$.

    Es gilt $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Man könnte auch die folgende Regel verwenden

    $a^n\cdot a^n=(a\cdot a)^n=(a^2)^n=a^{2\cdot n}=a^{2n}$

    verwenden.

    Wenn du zu zwei Äpfeln zwei weitere dazutust, hast du vier Äpfel und nicht vier Äpfel zum Quadrat.

    Lösung

    Um das Produkt $m^2\cdot m^2$ zu berechnen, kann man eine Rechenregeln für Potenzen verwenden.

    Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert: $m^2\cdot m^2=m^{2+2}=m^4$.

    Terme, die in den Variablen und Exponenten übereinstimmen, werden addiert oder subtrahiert, indem die jeweiligen Faktoren addiert oder subtrahiert werden. Somit ist $-2m^2-2m^2=(-2-2)m^2=-4m^2$.

  • Leite eine binomische Formel für $(a+b)^4$ her.

    Tipps

    Du könntest $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ verwenden und diese Summe wiederum mit sich selbst multiplizieren.

    Zum Beispiel ist

    $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

    Alle fehlenden Zahlen sind natürliche Zahlen.

    Die kleinste ist $2$ und die größte $6$.

    Lösung

    Etwas aufwändiger wird das Berechnen von Potenzen, wenn der Exponent größer ist als $2$.

    Es soll $(a+b)^4$ berechnet werden.

    Es gilt $(a+b)^4=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)$.

    Man kann die ersten beiden Faktoren mit der 1. binomischen Formel berechnen $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Nun kann dieser Term mit sich selbst multipliziert werden:

    $\begin{align*} (a+b)^4&=(a+b)^2\cdot (a+b)^2\\ &=(a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2)\\ &=a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4. \end{align*}$

    Terme, welche in der Variablen und im Exponenten übereinstimmen, können addiert werden:

    $a^4+2a^3b+a^2b^2+2a^3b+4a^2b^2+2ab^3+a^2b^2+2ab^3+b^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

    Somit ist

    $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

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