Über 1,2 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.5 / 14 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Mandy F.
Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Jetzt hast du dir schon einen Überblick über die Potenzgesetze verschafft und dich mit den Potenzen mit gleichem Exponenten näher beschäftigt. Dann wird es jetzt Zeit die Potenzen mit gleicher Basis näher kennen zu lernen. Dazu zählen die Potenz von Potenzen ( (am)n ), das Produkt von Potenzen ( am*an=am+n ) und der Quotient von Potenzen ( am/an=am-n ). Dabei werden dir die einzelnen Formeln vorgestellt und die Gesetze in Worten ausgedrückt. Anschließend werden die einzelnen Formeln jeweils begründet, das heißt wir finden heraus, wie die Formeln zustande kommen. Zusätzlich werden jeweils Beispiele ausgewählt, an denen die Formeln angewendet werden. Am Ende erhältst du wie immer eine Zusammenfassung zu den wichtigsten Informationen, die du aus dem Video mitnehmen solltest. Als Grundlage solltest du wieder wissen, was eine Potenz ist. In nächsten Teil wird der Quotient von Potenzen näher untersucht. Bei der Begründung der Formel wird eine Fallunterscheidung vorgenommen ( m>n, m

5 Kommentare
5 Kommentare
  1. sehr gut erklärt

    Von Nadine R., vor etwa 5 Jahren
  2. Hallo Hi Flyer,
    das Video ist nun online.
    Viel Spaß!
    Viele Grüße

    Von Mandy F., vor fast 11 Jahren
  3. ist es schon online? kann's immernoch nicht finden..

    Von Hi Flyer, vor etwa 11 Jahren
  4. Hallo Sonburak,

    das Video ist leider noch nicht online, sollte aber bald kommen - fertig gedreht ist es schon. Gedulde dich also bitte noch etwas!
    Viele Grüße

    Von Mandy F., vor etwa 11 Jahren
  5. Ich finde Teil 2 von dem Video nicht

    Von Sonburak, vor etwa 11 Jahren

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen.

    Tipps

    Verwechsle dieses Gesetz nicht mit dem Gesetz zu Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Schaue dir hierzu ein Beispiel an

    $2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^7$,

    da der Faktor $2$ insgesamt $7$-mal vorkommt.

    Es gibt auch eine Regel für Quotienten von Potenzen:

    $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.

    Lösung

    Wenn Potenzen die gleiche Basis haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:

    Produkte von Potenzen

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

    Warum ist dies so?

    Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:

    $a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$.

    Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $a$ insgesamt vorkommt. Richtig $m+n$-mal. Also kann man auch dies wieder als Potenz schreiben:

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

    Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

  • Stelle die jeweilige Potenz mit einem der Potenzgesetze um.

    Tipps

    Wie werden Potenzen potenziert? Du multiplizierst die Exponenten und behältst die Basis bei:

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

    Wenn Potenzen eine gemeinsame Basis haben, kannst du die Potenzen multiplizieren, indem du die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenzierst:

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Hier siehst du zu jedem der beiden oben genannten Gesetze ein Beispiel:

    • $\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}$
    • $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$
    Lösung

    Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit diesem Produkt potenziert:

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

    Hier sind ein paar Beispiele dazu:

    • $\left(3^6\right)^2=3^{6\cdot 2}=3^{12}$
    • $\left(4^5\right)^3=4^{5\cdot 3}=4^{15}$
    • $\left(7^2\right)^4=7^{2\cdot 4}=7^{8}$
    Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Auch hierfür gibt es nun einige Beispiele:

    • $9^3\cdot 9^2=9^{3+2}=9^5$
    • $4^6\cdot 4^1=4^{6+1}=4^7$
    • $3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$
  • Wende das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen an.

    Tipps

    Alle Potenzen haben die gleiche Basis: Das bedeutet, dass du die Exponenten der Größe nach sortieren musst.

    Zum Beispiel ist $4^3<4^5$, weil $3<5$ ist.

    Dies gilt allerdings nur, wenn die Basis größer als $1$ ist.

    Hier siehst du ein Beispiel:

    $3^4\cdot 3^7=3^{4+7}=3^{11}$.

    Du siehst, du musst jedes Mal zunächst das Potenzgesetz anwenden und dann die Exponenten addieren.

    Beachte, dass $a=a^1$ ist.

    Lösung

    Potenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

    Die obigen Aufgaben führen zu der folgenden Ordnung:

    1. $3^5\cdot 3=3^5\cdot 3^1=3^{5+1}=3^6$
    2. $3\cdot 3^8=3^1\cdot 3^8=3^{1+8}=3^9$
    3. $3^5\cdot 3^5=3^{5+5}=3^{10}$
    4. $3^{12}\cdot 3^0=3^{12+0}=3^{12}$
    5. $3^5\cdot 3^8=3^{5+8}=3^{13}$
    6. $3^{11}\cdot 3^3=3^{11+3}=3^{14}$
  • Ermittle alle Aufgaben, die zu dem Ergebnis $4^{12}$ führen.

    Tipps

    Beachte, dass $2^2=4$ ist.

    Es ist $4=4^1$.

    Schreibe gegebenenfalls die Basis als Zweierpotenz.

    Lösung

    Das Ergebnis $4^{12}$ kann man durch viele Rechnungen erreichen. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:

    • $\left(4^5\right)^7=4^{5\cdot 7}=4^{35}$
    • $2^2\cdot 4^{11}=4^1\cdot 4^{11}=4^{1+11}=4^{12}$
    • $8^4\cdot 2^{12}=\left(2^3\right)^4\cdot 2^{12}=2^{12}\cdot 2^{12}=2^{12+12}=2^{24}=4^{12}$, denn $4=2^2$.
    • $4^4\cdot 4^{8}=4^{4+8}=4^{12}$
    • $8^2\cdot 64^3=\left(2^3\right)^2\cdot \left(4^3\right)^3=4^3\cdot 4^9=4^{3+9}=4^{12}$, da $2^6=\left(2^2\right)^3=4^3$ ist.
    • $(4\cdot 4)^4=\left(4^2\right)^4=4^{2\cdot 4}=4^6$
  • Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen in Worten an.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an

    $\left(3^4\right)^5=3^{4\cdot 5}=3^{20}$.

    $4\cdot 5$ ist ein Produkt.

    Lösung

    Wie können Potenzen potenziert werden?

    Potenzen von Potenzen

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

    In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und diese mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

  • Vereinfache jede der Potenzen so, dass sie die kleinstmögliche natürliche Basis besitzt.

    Tipps

    Verwende diese beiden Potenzgesetze

    • $\left(a^m\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
    • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Das Ergebnis der ersten Aufgabe kann auch mit der Basis $4$ oder $32$ geschrieben werden.

    Du kannst das Gesetz $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ auch auf mehr als zwei Faktoren anwenden.

    Lösung

    In dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt:

    1. $4^5=\left(2^2\right)^5=2^{2\cdot 5}=2^{10}$
    2. $3^7\cdot 3\cdot 9^3=3^8\cdot 3^6=3^{14}$, da $9=3^2$ ist.
    3. $125\cdot 25\cdot 5=5^3\cdot 5^2\cdot 5^1=5^{3+2+1}=5^6$
    4. $49^3\cdot 7^5=7^6\cdot 7^5=7^{6+5}=7^{11}$, weil $49=7^2$ ist.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

6.482

sofaheld-Level

6.573

vorgefertigte
Vokabeln

9.070

Lernvideos

39.251

Übungen

35.428

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden