Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

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Grundlagen zum Thema Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis
Jetzt hast du dir schon einen Überblick über die Potenzgesetze verschafft und dich mit den Potenzen mit gleichem Exponenten näher beschäftigt. Dann wird es jetzt Zeit die Potenzen mit gleicher Basis näher kennen zu lernen. Dazu zählen die Potenz von Potenzen ( (am)n ), das Produkt von Potenzen ( am*an=am+n ) und der Quotient von Potenzen ( am/an=am-n ). Dabei werden dir die einzelnen Formeln vorgestellt und die Gesetze in Worten ausgedrückt. Anschließend werden die einzelnen Formeln jeweils begründet, das heißt wir finden heraus, wie die Formeln zustande kommen. Zusätzlich werden jeweils Beispiele ausgewählt, an denen die Formeln angewendet werden. Am Ende erhältst du wie immer eine Zusammenfassung zu den wichtigsten Informationen, die du aus dem Video mitnehmen solltest. Als Grundlage solltest du wieder wissen, was eine Potenz ist. In nächsten Teil wird der Quotient von Potenzen näher untersucht. Bei der Begründung der Formel wird eine Fallunterscheidung vorgenommen ( m>n, m
Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis Übung
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Beschreibe das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen.
TippsVerwechsle dieses Gesetz nicht mit dem Gesetz zu Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.
Schaue dir hierzu ein Beispiel an
$2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^7$,
da der Faktor $2$ insgesamt $7$-mal vorkommt.
Es gibt auch eine Regel für Quotienten von Potenzen:
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.
LösungWenn Potenzen die gleiche Basis haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:
Produkte von Potenzen
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Warum ist dies so?
Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:
$a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$.
Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $a$ insgesamt vorkommt. Richtig $m+n$-mal. Also kann man auch dies wieder als Potenz schreiben:
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.
-
Stelle die jeweilige Potenz mit einem der Potenzgesetze um.
TippsWie werden Potenzen potenziert? Du multiplizierst die Exponenten und behältst die Basis bei:
$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.
Wenn Potenzen eine gemeinsame Basis haben, kannst du die Potenzen multiplizieren, indem du die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenzierst:
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
Hier siehst du zu jedem der beiden oben genannten Gesetze ein Beispiel:
- $\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}$
- $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$
LösungPotenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit diesem Produkt potenziert:
$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.
Hier sind ein paar Beispiele dazu:
- $\left(3^6\right)^2=3^{6\cdot 2}=3^{12}$
- $\left(4^5\right)^3=4^{5\cdot 3}=4^{15}$
- $\left(7^2\right)^4=7^{2\cdot 4}=7^{8}$
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
Auch hierfür gibt es nun einige Beispiele:
- $9^3\cdot 9^2=9^{3+2}=9^5$
- $4^6\cdot 4^1=4^{6+1}=4^7$
- $3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$
-
Wende das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen an.
TippsAlle Potenzen haben die gleiche Basis: Das bedeutet, dass du die Exponenten der Größe nach sortieren musst.
Zum Beispiel ist $4^3<4^5$, weil $3<5$ ist.
Dies gilt allerdings nur, wenn die Basis größer als $1$ ist.
Hier siehst du ein Beispiel:
$3^4\cdot 3^7=3^{4+7}=3^{11}$.
Du siehst, du musst jedes Mal zunächst das Potenzgesetz anwenden und dann die Exponenten addieren.
Beachte, dass $a=a^1$ ist.
LösungPotenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Die obigen Aufgaben führen zu der folgenden Ordnung:
- $3^5\cdot 3=3^5\cdot 3^1=3^{5+1}=3^6$
- $3\cdot 3^8=3^1\cdot 3^8=3^{1+8}=3^9$
- $3^5\cdot 3^5=3^{5+5}=3^{10}$
- $3^{12}\cdot 3^0=3^{12+0}=3^{12}$
- $3^5\cdot 3^8=3^{5+8}=3^{13}$
- $3^{11}\cdot 3^3=3^{11+3}=3^{14}$
-
Ermittle alle Aufgaben, die zu dem Ergebnis $4^{12}$ führen.
TippsBeachte, dass $2^2=4$ ist.
Es ist $4=4^1$.
Schreibe gegebenenfalls die Basis als Zweierpotenz.
LösungDas Ergebnis $4^{12}$ kann man durch viele Rechnungen erreichen. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:
- $\left(4^5\right)^7=4^{5\cdot 7}=4^{35}$
- $2^2\cdot 4^{11}=4^1\cdot 4^{11}=4^{1+11}=4^{12}$
- $8^4\cdot 2^{12}=\left(2^3\right)^4\cdot 2^{12}=2^{12}\cdot 2^{12}=2^{12+12}=2^{24}=4^{12}$, denn $4=2^2$.
- $4^4\cdot 4^{8}=4^{4+8}=4^{12}$
- $8^2\cdot 64^3=\left(2^3\right)^2\cdot \left(4^3\right)^3=4^3\cdot 4^9=4^{3+9}=4^{12}$, da $2^6=\left(2^2\right)^3=4^3$ ist.
- $(4\cdot 4)^4=\left(4^2\right)^4=4^{2\cdot 4}=4^6$
-
Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen in Worten an.
TippsSchaue dir ein Beispiel an
$\left(3^4\right)^5=3^{4\cdot 5}=3^{20}$.
$4\cdot 5$ ist ein Produkt.
LösungWie können Potenzen potenziert werden?
Potenzen von Potenzen
$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$
In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und diese mit dem Produkt der Exponenten potenziert.
-
Vereinfache jede der Potenzen so, dass sie die kleinstmögliche natürliche Basis besitzt.
TippsVerwende diese beiden Potenzgesetze
- $\left(a^m\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
- $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
Das Ergebnis der ersten Aufgabe kann auch mit der Basis $4$ oder $32$ geschrieben werden.
Du kannst das Gesetz $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ auch auf mehr als zwei Faktoren anwenden.
LösungIn dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt:
- $4^5=\left(2^2\right)^5=2^{2\cdot 5}=2^{10}$
- $3^7\cdot 3\cdot 9^3=3^8\cdot 3^6=3^{14}$, da $9=3^2$ ist.
- $125\cdot 25\cdot 5=5^3\cdot 5^2\cdot 5^1=5^{3+2+1}=5^6$
- $49^3\cdot 7^5=7^6\cdot 7^5=7^{6+5}=7^{11}$, weil $49=7^2$ ist.

Potenzgesetze – Einführung

Multiplikation und Division von Potenzen

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sehr gut erklärt
Hallo Hi Flyer,
das Video ist nun online.
Viel Spaß!
Viele Grüße
ist es schon online? kann's immernoch nicht finden..
Hallo Sonburak,
das Video ist leider noch nicht online, sollte aber bald kommen - fertig gedreht ist es schon. Gedulde dich also bitte noch etwas!
Viele Grüße
Ich finde Teil 2 von dem Video nicht