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Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

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Die Autor*innen
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Mandy F.
Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Jetzt hast du dir schon einen Überblick über die Potenzgesetze verschafft und dich mit den Potenzen mit gleichem Exponenten näher beschäftigt. Dann wird es jetzt Zeit die Potenzen mit gleicher Basis näher kennen zu lernen. Dazu zählen die Potenz von Potenzen ( (am)n ), das Produkt von Potenzen ( am*an=am+n ) und der Quotient von Potenzen ( am/an=am-n ). Dabei werden dir die einzelnen Formeln vorgestellt und die Gesetze in Worten ausgedrückt. Anschließend werden die einzelnen Formeln jeweils begründet, das heißt wir finden heraus, wie die Formeln zustande kommen. Zusätzlich werden jeweils Beispiele ausgewählt, an denen die Formeln angewendet werden. Am Ende erhältst du wie immer eine Zusammenfassung zu den wichtigsten Informationen, die du aus dem Video mitnehmen solltest. Als Grundlage solltest du wieder wissen, was eine Potenz ist. In nächsten Teil wird der Quotient von Potenzen näher untersucht. Bei der Begründung der Formel wird eine Fallunterscheidung vorgenommen ( m>n, m<n, m=n).

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. sehr gut erklärt

    Von Nadine R., vor etwa 3 Jahren
  2. Hallo Hi Flyer,
    das Video ist nun online.
    Viel Spaß!
    Viele Grüße

    Von Mandy F., vor fast 9 Jahren
  3. ist es schon online? kann's immernoch nicht finden..

    Von Hi Flyer, vor fast 9 Jahren
  4. Hallo Sonburak,

    das Video ist leider noch nicht online, sollte aber bald kommen - fertig gedreht ist es schon. Gedulde dich also bitte noch etwas!
    Viele Grüße

    Von Mandy F., vor fast 9 Jahren
  5. Ich finde Teil 2 von dem Video nicht

    Von Sonburak, vor fast 9 Jahren

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen.

    Tipps

    Verwechsle dieses Gesetz nicht mit dem Gesetz zu Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Schaue dir hierzu ein Beispiel an

    $2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^7$,

    da der Faktor $2$ insgesamt $7$-mal vorkommt.

    Es gibt auch eine Regel für Quotienten von Potenzen:

    $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.

    Lösung

    Wenn Potenzen die gleiche Basis haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:

    Produkte von Potenzen

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

    Warum ist dies so?

    Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:

    $a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$.

    Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $a$ insgesamt vorkommt. Richtig $m+n$-mal. Also kann man auch dies wieder als Potenz schreiben:

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

    Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

  • Stelle die jeweilige Potenz mit einem der Potenzgesetze um.

    Tipps

    Wie werden Potenzen potenziert? Du multiplizierst die Exponenten und behältst die Basis bei:

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

    Wenn Potenzen eine gemeinsame Basis haben, kannst du die Potenzen multiplizieren, indem du die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenzierst:

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Hier siehst du zu jedem der beiden oben genannten Gesetze ein Beispiel:

    • $\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}$
    • $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$
    Lösung

    Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit diesem Produkt potenziert:

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

    Hier sind ein paar Beispiele dazu:

    • $\left(3^6\right)^2=3^{6\cdot 2}=3^{12}$
    • $\left(4^5\right)^3=4^{5\cdot 3}=4^{15}$
    • $\left(7^2\right)^4=7^{2\cdot 4}=7^{8}$
    Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Auch hierfür gibt es nun einige Beispiele:

    • $9^3\cdot 9^2=9^{3+2}=9^5$
    • $4^6\cdot 4^1=4^{6+1}=4^7$
    • $3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$
  • Wende das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen an.

    Tipps

    Alle Potenzen haben die gleiche Basis: Das bedeutet, dass du die Exponenten der Größe nach sortieren musst.

    Zum Beispiel ist $4^3<4^5$, weil $3<5$ ist.

    Dies gilt allerdings nur, wenn die Basis größer als $1$ ist.

    Hier siehst du ein Beispiel:

    $3^4\cdot 3^7=3^{4+7}=3^{11}$.

    Du siehst, du musst jedes Mal zunächst das Potenzgesetz anwenden und dann die Exponenten addieren.

    Beachte, dass $a=a^1$ ist.

    Lösung

    Potenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

    $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

    Die obigen Aufgaben führen zu der folgenden Ordnung:

    1. $3^5\cdot 3=3^5\cdot 3^1=3^{5+1}=3^6$
    2. $3\cdot 3^8=3^1\cdot 3^8=3^{1+8}=3^9$
    3. $3^5\cdot 3^5=3^{5+5}=3^{10}$
    4. $3^{12}\cdot 3^0=3^{12+0}=3^{12}$
    5. $3^5\cdot 3^8=3^{5+8}=3^{13}$
    6. $3^{11}\cdot 3^3=3^{11+3}=3^{14}$
  • Ermittle alle Aufgaben, die zu dem Ergebnis $4^{12}$ führen.

    Tipps

    Beachte, dass $2^2=4$ ist.

    Es ist $4=4^1$.

    Schreibe gegebenenfalls die Basis als Zweierpotenz.

    Lösung

    Das Ergebnis $4^{12}$ kann man durch viele Rechnungen erreichen. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:

    • $\left(4^5\right)^7=4^{5\cdot 7}=4^{35}$
    • $2^2\cdot 4^{11}=4^1\cdot 4^{11}=4^{1+11}=4^{12}$
    • $8^4\cdot 2^{12}=\left(2^3\right)^4\cdot 2^{12}=2^{12}\cdot 2^{12}=2^{12+12}=2^{24}=4^{12}$, denn $4=2^2$.
    • $4^4\cdot 4^{8}=4^{4+8}=4^{12}$
    • $8^2\cdot 64^3=\left(2^3\right)^2\cdot \left(4^3\right)^3=4^3\cdot 4^9=4^{3+9}=4^{12}$, da $2^6=\left(2^2\right)^3=4^3$ ist.
    • $(4\cdot 4)^4=\left(4^2\right)^4=4^{2\cdot 4}=4^6$
  • Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen in Worten an.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an

    $\left(3^4\right)^5=3^{4\cdot 5}=3^{20}$.

    $4\cdot 5$ ist ein Produkt.

    Lösung

    Wie können Potenzen potenziert werden?

    Potenzen von Potenzen

    $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

    In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und diese mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

  • Vereinfache jede der Potenzen so, dass sie die kleinstmögliche natürliche Basis besitzt.

    Tipps

    Verwende diese beiden Potenzgesetze

    • $\left(a^m\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
    • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

    Das Ergebnis der ersten Aufgabe kann auch mit der Basis $4$ oder $32$ geschrieben werden.

    Du kannst das Gesetz $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ auch auf mehr als zwei Faktoren anwenden.

    Lösung

    In dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt:

    1. $4^5=\left(2^2\right)^5=2^{2\cdot 5}=2^{10}$
    2. $3^7\cdot 3\cdot 9^3=3^8\cdot 3^6=3^{14}$, da $9=3^2$ ist.
    3. $125\cdot 25\cdot 5=5^3\cdot 5^2\cdot 5^1=5^{3+2+1}=5^6$
    4. $49^3\cdot 7^5=7^6\cdot 7^5=7^{6+5}=7^{11}$, weil $49=7^2$ ist.
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