Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis Übung

• Beschreibe das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen.

  Tipps

  Verwechsle dieses Gesetz nicht mit dem Gesetz zu Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Schaue dir hierzu ein Beispiel an

  $2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^7$,

  da der Faktor $2$ insgesamt $7$-mal vorkommt.

  Es gibt auch eine Regel für Quotienten von Potenzen:

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.

  Lösung

  Wenn Potenzen die gleiche Basis haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:

  Produkte von Potenzen

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  Warum ist dies so?

  Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:

  $a^m\cdot a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$.

  Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $a$ insgesamt vorkommt. Richtig $m+n$-mal. Also kann man auch dies wieder als Potenz schreiben:

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

  Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

  Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

• Stelle die jeweilige Potenz mit einem der Potenzgesetze um.

  Tipps

  Wie werden Potenzen potenziert? Du multiplizierst die Exponenten und behältst die Basis bei:

  $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

  Wenn Potenzen eine gemeinsame Basis haben, kannst du die Potenzen multiplizieren, indem du die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenzierst:

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

  Hier siehst du zu jedem der beiden oben genannten Gesetze ein Beispiel:

  • $\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}$
  • $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$

  Lösung

  Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis mit diesem Produkt potenziert:

  $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

  Hier sind ein paar Beispiele dazu:

  • $\left(3^6\right)^2=3^{6\cdot 2}=3^{12}$
  • $\left(4^5\right)^3=4^{5\cdot 3}=4^{15}$
  • $\left(7^2\right)^4=7^{2\cdot 4}=7^{8}$

  Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

  Auch hierfür gibt es nun einige Beispiele:

  • $9^3\cdot 9^2=9^{3+2}=9^5$
  • $4^6\cdot 4^1=4^{6+1}=4^7$
  • $3^2\cdot 3^5=3^{2+5}=3^7$

• Wende das Potenzgesetz zu Produkten von Potenzen an.

  Tipps

  Alle Potenzen haben die gleiche Basis: Das bedeutet, dass du die Exponenten der Größe nach sortieren musst.

  Zum Beispiel ist $4^3<4^5$, weil $3<5$ ist.

  Dies gilt allerdings nur, wenn die Basis größer als $1$ ist.

  Hier siehst du ein Beispiel:

  $3^4\cdot 3^7=3^{4+7}=3^{11}$.

  Du siehst, du musst jedes Mal zunächst das Potenzgesetz anwenden und dann die Exponenten addieren.

  Beachte, dass $a=a^1$ ist.

  Lösung

  Potenzen mit gemeinsamer Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  Die obigen Aufgaben führen zu der folgenden Ordnung:

  1. $3^5\cdot 3=3^5\cdot 3^1=3^{5+1}=3^6$
  2. $3\cdot 3^8=3^1\cdot 3^8=3^{1+8}=3^9$
  3. $3^5\cdot 3^5=3^{5+5}=3^{10}$
  4. $3^{12}\cdot 3^0=3^{12+0}=3^{12}$
  5. $3^5\cdot 3^8=3^{5+8}=3^{13}$
  6. $3^{11}\cdot 3^3=3^{11+3}=3^{14}$

• Ermittle alle Aufgaben, die zu dem Ergebnis $4^{12}$ führen.

  Tipps

  Beachte, dass $2^2=4$ ist.

  Es ist $4=4^1$.

  Schreibe gegebenenfalls die Basis als Zweierpotenz.

  Lösung

  Das Ergebnis $4^{12}$ kann man durch viele Rechnungen erreichen. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:

  • $\left(4^5\right)^7=4^{5\cdot 7}=4^{35}$
  • $2^2\cdot 4^{11}=4^1\cdot 4^{11}=4^{1+11}=4^{12}$
  • $8^4\cdot 2^{12}=\left(2^3\right)^4\cdot 2^{12}=2^{12}\cdot 2^{12}=2^{12+12}=2^{24}=4^{12}$, denn $4=2^2$.
  • $4^4\cdot 4^{8}=4^{4+8}=4^{12}$
  • $8^2\cdot 64^3=\left(2^3\right)^2\cdot \left(4^3\right)^3=4^3\cdot 4^9=4^{3+9}=4^{12}$, da $2^6=\left(2^2\right)^3=4^3$ ist.
  • $(4\cdot 4)^4=\left(4^2\right)^4=4^{2\cdot 4}=4^6$

• Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen in Worten an.

  Tipps

  Schaue dir ein Beispiel an

  $\left(3^4\right)^5=3^{4\cdot 5}=3^{20}$.

  $4\cdot 5$ ist ein Produkt.

  Lösung

  Wie können Potenzen potenziert werden?

  Potenzen von Potenzen

  $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$

  In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und diese mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

• Vereinfache jede der Potenzen so, dass sie die kleinstmögliche natürliche Basis besitzt.

  Tipps

  Verwende diese beiden Potenzgesetze

  • $\left(a^m\right)^m=a^{n\cdot m}$ sowie
  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

  Das Ergebnis der ersten Aufgabe kann auch mit der Basis $4$ oder $32$ geschrieben werden.

  Du kannst das Gesetz $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ auch auf mehr als zwei Faktoren anwenden.

  Lösung

  In dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt:

  1. $4^5=\left(2^2\right)^5=2^{2\cdot 5}=2^{10}$
  2. $3^7\cdot 3\cdot 9^3=3^8\cdot 3^6=3^{14}$, da $9=3^2$ ist.
  3. $125\cdot 25\cdot 5=5^3\cdot 5^2\cdot 5^1=5^{3+2+1}=5^6$
  4. $49^3\cdot 7^5=7^6\cdot 7^5=7^{6+5}=7^{11}$, weil $49=7^2$ ist.