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Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

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Die Autor*innen
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Mandy F.
Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

Mittlerweile hast du dir schon einen Überblick über die Potenzgesetze verschafft. Willst du jetzt dein Wissen weiter vertiefen? Dann hilft dir dieses Video bestimmt! Denn hier lernst du die Rechenregeln zu Potenzen mit gleichem Exponenten näher kennen. Dazu zählen die Potenz von Produkten ( anbn=(ab)n ) und die Potenz von Quotienten ( an/bn=(a/b)n ). Diese werden durch Formeln und Merkregeln beschrieben. Die einzelnen Formeln werden begründet. Das heißt es werden dir die Zwischenschritte aufgezeigt, die zu der Formulierung der Formel führen. Denn die Potenzgesetze verkürzen deinen Rechenweg mit Potenzen. Nach jedem Potenzgesetz werden Beispiel ausgewählt, die nach dem jeweiligen Potenzgesetz umgeformt werden - sowohl in die eine als auch in die andere Richtung. Zum Schluss erhältst du eine Zusammenfassung mit den wichtigsten Informationen. Als Grundlage für dieses Video musst du die Definition der Potenz bereits kennen.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Hallo Diana,
    du kannst das natürlich berechnen. In diesem Fall dient es allerdings lediglich als Beispiel, wie du das Potenzgesetz richtig anwendest. Daher wird der Bruch dann nicht weiter berechnet.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor fast 2 Jahren
  2. Muss man das 5 : 3 zum beispiel dann garnicht ausrechnen?????

    Von Diana 31, vor fast 2 Jahren
  3. Endlich habe ich das verstanden, super Video!

    Von Barbara E., vor mehr als 3 Jahren
  4. ach ne sorry . habe es verstanden

    Von Josi B., vor mehr als 4 Jahren
  5. Super Video aber ich verstehe die Übung nicht in welchem Teil des Videos kam das vor?

    Von Josi B., vor mehr als 4 Jahren
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Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten.

    Tipps

    Schaue dir Beispiele an:

    • $2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3)^3$
    • $4^2\cdot 8^2=(4\cdot 8)^2$

    Verwechsle diese Regel nicht mit der für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

    $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$.

    Es gibt auch eine Regel für Potenzen von Quotienten:

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

    In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Lösung

    Wenn Potenzen den gleichen Exponenten haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:

    Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$

    Warum ist dies so?

    Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:

    $a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{\text{n-mal}}$.

    Die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren darf verändert werden: Es werden jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammen gefasst. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:

    $a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{\text{n-mal}}=(a\cdot b)^n$.

    Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

    Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

  • Stelle jeweils den Term mit Hilfe eines Potenzgesetzes um.

    Tipps

    Hier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Hier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

    Du kannst beide Gesetze auch umgekehrt anwenden:

    • $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
    • $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
    Lösung

    An einigen Beispielen sollen die Potenzgesetze für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten geübt werden:

    Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

    • $9^3\cdot 2^3=(9\cdot 2)^3$
    • $3^2\cdot 5^2=(3\cdot 5)^2$
    Das Gesetz kann auch umgekehrt angewendet werden

    $(3\cdot 4)^2=3^2\cdot 4^2$

    Wenn also ein Produkt potenziert werden soll, müssen alle Faktoren potenziert werden.

    Potenzen von Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

    $\frac{5^4}{2^4}=\left(\frac 52\right)^4$

    Auch dieses Gesetz kann in der anderen Richtung angewendet werden:

    • $\left(\frac 35\right)^2=\frac{3^2}{5^2}$
    • $\left(\frac 28\right)^6=\frac{2^6}{8^6}$
    Wenn ein Quotient potenziert werden soll, muss sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.

  • Prüfe, ob das Potenzgesetz richtig angewendet wurde.

    Tipps

    Beachte: Die beiden behandelten Regeln gelten nur für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten.

    Verwende diese beiden Potenzgesetze

    • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
    • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

    Beachte:

    • Wenn du Produkte potenzierst, musst du jeden Faktor potenzieren und
    • wenn du Quotienten potenzierst, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.

    Es sind vier der acht Rechnungen korrekt.

    Lösung

    Die ersten vier Aufgaben behandeln Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Diese Gleichung kann sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links betrachtet werden.

    • $(3\cdot 2)^2=3^2\cdot 2^2$: Die obige Rechnung ist falsch.
    • $(7\cdot 4)^3=7^3\cdot 4^3$ ✓
    • $2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5$ ✓
    • $4^3\cdot 3^4$: Dieser Term kann nicht vereinfacht werden, da die Exponenten nicht übereinstimmen.
    Nun kommen Beispiele zu Potenzen von Quotienten:

    • $\frac{3^5}{2^5}=\left(\frac32\right)^5$: Die obige Rechnung ist falsch. Zähler und Nenner sind vertauscht.
    • $\frac{3^3}{4^3}=\left(\frac34\right)^3$ ✓
    • $\left(\frac53\right)^5=\frac{5^5}{3^5}$: Es müssen sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.
    • $\left(\frac85\right)^3=\frac{8^3}{5^3}$ ✓
  • Wende die Gesetze zum Potenzieren von Potenzen oder Quotienten an, um die Rechnung zu vereinfachen.

    Tipps

    Verwende das Potenzgesetze zum Potenzieren von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Es ist $1^n=1$.

    Wenn du die Basis $10$ hast, kannst du den Potenzwert wie folgt angegeben:

    $10^n=1\underbrace{0...0}_{\text{n-mal}}$.

    Lösung

    Die Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen können, wie übrigens alle Rechenregeln, zur Vereinfachung von kompliziert erscheinenden Rechnungen dienen.

    Bei dieser Aufgabe können erst einmal die Potenzen sortiert werden:

    $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=4^4\cdot 2,5^4\cdot 0,1^4\cdot 2^3\cdot 5^3$.

    Nun kann man sehen, dass die ersten drei und auch die letzten beiden Faktoren jeweils den gleichen Exponenten haben.

    Es kann also das Potenzgesetz zum Potenzieren von Produkten verwendet werden:

    $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=(4\cdot 2,5\cdot 0,1)^4\cdot(2\cdot 5)^3$.

    Die Produkte in den Klammern können berechnet werden:

    $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=1^4\cdot 10^3=10^3=1000$.

    Warum ist dies so?

    • Zum einen ist $1^4=1$ und
    • zum anderen eine Zehnerpotenz mit natürlichem Exponenten immer eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Zahl im Exponenten.
  • Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Quotienten in Worten an.

    Tipps

    Beachte: Dividend durch Divisor gleich Quotient.

    Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.

    Schaue dir dieses Beispiel Schritt für Schritt an:

    $\frac{3^2}{5^2}$

    • Der Quotient ist $\frac35$.
    • Der potenzierte Quotient ist $\left(\frac35\right)^2$.
    Insgesamt gilt

    $\frac{3^2}{5^2}=\left(\frac35\right)^2$.

    Lösung

    Wie können Potenzen mit gemeinsamem Exponenten dividiert werden?

    Potenzen von Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

    In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Umgekehrt kann man sich merken: Wenn man einen Quotienten potenzieren will, muss man sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.

  • Vereinfache die Potenz-Terme so weit als möglich.

    Tipps

    In dieser Aufgabe kommt ein weiteres Potenzgesetz zur Anwendung:

    Potenzen von Potenzen

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

    Beachte, dass die Potenzgesetze zu Potenzen mit gleichen Exponenten hier anwendbar sind.

    Verwende die folgenden Potenzgesetze

    Potenzen von Produkten

    $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

    Potenzen von Quotienten

    $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

    Lösung

    Im Folgenden werden die beiden Regeln noch an weiteren Beispielen geübt. Dabei müssen Potenzen gegebenenfalls so umgeformt werden, dass sie gemeinsame Exponenten haben:

    1. $125\cdot 3^3=5^3\cdot 3^3=(5\cdot 3)^3$
    2. $4^3\cdot 27^2=\left(2^2\right)^3\cdot \left(3^3\right)^2=2^6\cdot 3^6=(2\cdot 3)^6$
    3. $5^3\cdot 20^3\cdot 7^6=(5\cdot 20)^3\cdot7^6=100^3\cdot 7^6=10^6\cdot 7^6=(10\cdot 7)^6$
    4. $4,5^2\cdot 25^2\cdot 2^2=(4,5\cdot 2)^2\cdot\left(5^2\right)^2=3^4\cdot 5^4=(3\cdot 5)^4$
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