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Potenzen – Übung

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Potenzen – Übung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzen – Übung

Herzlich Willkommen zum Video „ Potenzen üben - Zahlen als Potenz schreiben – 2 “. Was erwartet dich in diesem Video und was kannst du lernen? Hier wird mit dir geübt, wie man Zahlen als Potenzen schreibt. Dabei wird genau unterschieden, ob die gewählte Darstellung eine Potenz ist oder nicht. Du solltest bereits wissen, was eine Potenz ist und wie man eine Potenz definiert. Im Video wird dir Schritt für Schritt gezeigt, wie du 1024 mithilfe der Primfaktorenzerlegung in ein Produkt aus Primfaktoren zerlegst. Wie geht es nun weiter? Finde es heraus! Viel Spaß!

Transkript Potenzen – Übung

Hallo. Hier ist eine Zahl, 1024, und die soll jetzt als Potenz geschrieben werden. Ja wie kann man das machen? Man müsste sich zunächst mal überlegen, aus welchen Faktoren setzt sich denn 1024 zusammen, aus welchen Primfaktoren. Und dann kann man einfach mal der Reihe nach durch die Primzahlen teilen. Mal gucken, was passiert. Also die kleinste Primzahl ist 2, da fangen wir mal mit an. 1024 kann man mit 2 teilen, das ist 512. 512 kann man wieder durch 2 teilen, das ist 256. 256÷2 ist 128. 128÷2=64, 64÷2=32, 32÷2=16, 16÷2=8, 8÷2=4, 4÷2=2. Und die 2 muss ich auch hinschreiben, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 210 ist also 1024. Guck eben, ob ich richtig gerechnet habe: 2×2=4×2=8×2=16×2=32×2=64×2=128×2=256×2=512×2=1024, also hab ich hier als Ergebnis, dass die 1024 dargestellt werden kann als 210. Aber es gibt ja noch eine andere Einteilung und zwar kann ich ja diese 5 2en, hier die ersten 5 2en, 2,4,5, da sind sie, und die zweiten 5 2en auch zusammenfassen das ist nämlich 25, ja das kann man ruhig im Kopf haben, ist eine 2er Potenzreihe, 2,4,8,16,32 das heißt also 32×32 ist auch 1024. Ja, mal gucken hier - 2,4,8,16, ja ist richtig. Deshalb 210 ist außerdem 322.  Und wie man aus elementaren Gründen sehen kann, gibt es noch eine Möglichkeit, denn ich kann nämlich immer 2 2en zusammenfassen. Hier 2, noch mal 2, dritte Mal 2, vierte Mal 2, fünfte mal 2. Wenn man 10 2en hat, kann man ja auch jeweils 5 Paare machen. 2×2=4 und das hier 4 steht 4-mal da. Also haben wir hier, 5-mal steht es da, Entschuldigung. 44 ist ja 256 und 45 das ist 1024. Ja, und ich glaube das sind jetzt wirklich alle Möglichkeiten, die man hier elementar erlangen kann, durch Gruppieren der 2en, andere Dinge, also 3 2en zusammenfassen zum Beispiel ist ja nicht möglich, weil dann hier eine übrig bleibt. Ich mach das jetzt, also, nur um das zu zeigen, wie das geht. Ich kann drei 2en zusammenfassen. 3,3,3 die stehen dreimal da. 23=8 das steht dreimal da, also 83 und dann kommt dahinten noch eine ×2 dazu. Das ist richtig, so kann man auch 1024 schreiben, aber wenn die Aufgabenstellung war, schreibe 1024 als Potenz, dann geht das hier wieder nicht, denn wir haben zwar eine Potenz, die aber danach noch mit 2 multipliziert wird. Also ist das hier ein stinknormales Produkt und keine Potenz, nicht, weil eben noch mal 2 dahinter steht. Aber es ist natürlich auch richtig, nur würde es die Aufgabe, wenn sie so gestellt ist, schreibe als Potenz, nicht lösen. Allerdings könnte man ja auch fragen, schreibe so, dass auch eine Potenz vorkommt, dann wäre das auch richtig. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Potenzen haben wir schon in der 5. Klasse behandelt

    Von Ines Steinke 1, vor mehr als 5 Jahren
  2. @Judithroux: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
  3. nix verstanden aber trotzdem danke :)

    Von Judithroux, vor fast 6 Jahren
  4. Warum haben sie eine Sirene neber sisch

    Von Duy H., vor etwa 6 Jahren

Potenzen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung, wie eine Zahl als Potenz geschrieben werden kann.

    Tipps

    Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie gerade ist.

    Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst und durch $1$ teilbar ist.

    Eine Potenz ist ein Term der Form

    $a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$

    und besteht aus $n$ Faktoren.

    Lösung

    $1024$ soll als Potenz geschrieben werden.

    Hierfür muss $1024$ in seine Primfaktoren zerlegt werden.

    Die kleinste Primzahl ist $2$:

    • $1024 : 2=512$.
    • $512$ lässt sich wieder durch $2$ teilen.
    • Also ist $1024=2\cdot 2\cdot 256$.
    • Dies kann man so lange machen, bis die verbleibende Zahl nicht mehr durch $2$ teilbar ist.

  • Beschreibe, wie $1024$ als Potenz geschrieben werden kann.

    Tipps

    Eine Potenz hat die Form $a^n=a\cdot ... \cdot a$.

    Das heißt, die Basis $a$ taucht in dem Produkt $n$-mal auf.

    Zähle am Ende die Faktoren: Wie oft wird der Faktor $2$ multipliziert. Dies ist der resultierende Exponent.

    Es ist zum Beispiel

    $27=3\cdot 3\cdot 3=3^3$

    die Potenzschreibweise von $27$.

    Lösung

    Um die Zahl $1024$ als Potenz schreiben zu können, zerlegt man sie in Faktoren. Diese Faktoren sind Primzahlen. Jede ganze Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.

    $1024$ ist eine gerade Zahl, das heißt, sie lässt sich durch $2$ teilen. $2$ ist die kleinste Primzahl.

    $1024=2\cdot 512$.

    Auch $512$ lässt sich wieder durch $2$ teilen und so erhält man

    $1024=2\cdot 2\cdot 256$.

    Dies macht man so lange, bis man nicht mehr weiter teilen kann.

    $1024=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{10}$.

    Den Exponenten $10$ erhält man durch Zählen der einzelnen Faktoren. Der Faktor $2$ taucht $10$ mal auf.

  • Entscheide, welche Potenzschreibweise für $625$ möglich ist.

    Tipps

    Es gilt $9=3^2$.

    $9$ ist eine Quadratzahl, das heißt, sie lässt sich als Potenz schreiben.

    Die Potenz $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$ kann auch wie folgt geschrieben werden:

    $(3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)=9^2$.

    Durch welche Zahl ist $625$ teilbar?

    Zum Beispiel durch $5$.

    Du kannst die Rechenregel für das Potenzieren von Potenzen verwenden

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Wie kann man $625$ als Potenz schreiben?

    Man überlegt sich zunächst, welche Teiler $625$ hat. Da die letzte Ziffer eine $5$ ist, ist $625$ durch $5$ teilbar. Es gilt $625 : 5=125$.

    $125$ selbst ist auch wieder durch $5$ teilbar: $125:5=25$.

    $25$ ist eine Quadratzahl: $25=5\cdot 5$.

    Insgesamt gilt also $625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$.

    Es gibt noch zwei weitere Potenzschreibweisen für $625$:

    • $625=625^1$ sowie
    • $625=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)=25^2$.

  • Leite die jeweilige Potenzschreibweise her.

    Tipps

    Schreibe jede der beiden Zahlen als Potenz:

    • Überlege dir die Teiler der Zahlen,
    • beginne mit der kleinsten Primzahl und
    • teile so weit wie möglich.

    Eine Potenz ist ein Term der Form $a^n$.

    Dies ist die abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem $a$ $n$-mal als Faktor vorkommt.

    Bei $3^4=81$ ist

    • $3$ die Basis,
    • $4$ der Exponent und
    • $81$ der Potenzwert.

    Wenn der Potenzwert einer Potenz keine der beiden Zahlen ist, gehört die Potenz weder zu der einen noch zu der anderen Zahl.

    Lösung

    Beide Zahlen lassen sich als Potenzen mit der Basis $3$ schreiben:

    • $6561=3^8$ und
    • $19683=3^9$.
    $3^8=(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)=81^2$

    $3^8=(3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3)=9^4$

    $3^9=(3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3\cdot 3)\cdot (3\cdot 3\cdot 3)=27^3$

    Jede beliebige Zahl lässt sich auch als Potenz schreiben, indem man die Zahl mit $1$ potenziert. Diese Potenzen werden in dieser Aufgabe nicht betrachtet.

  • Gib weitere Potenzschreibweisen für $1024$ an.

    Tipps

    Nicht jede der Rechnungen ergibt $1024$.

    Wenn

    $64=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$

    ist, dann kann man die Faktoren auch zu einzelnen Produkten zusammenfassen:

    • $64=(2\cdot 2)\cdot(2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)= 4^3~$ oder
    • $64=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2)=8^2$

    Eine Potenz hat die Form $a^n=a\cdot ...\cdot a$.

    Der Faktor $a$ taucht in dem Produkt $n$ mal auf.

    $1024$ könnte auch noch in der Form $1024^1$ geschrieben werden. Dies ist auch eine Potenz.

    Lösung

    Kann man $1024=2^{10}$ noch als Potenz schreiben.

    $1024=10^2=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

    • Nun kann man zum Beispiel sehen, dass der Faktor $2^5=32$ zweimal vorkommt. Das heißt $1024=32^2$.
    • Der Faktor $4=2^2$ kommt fünfmal vor. Somit ist $1024=4^5$.
    • Eine weitere Schreibweise als Potenz wäre $1024=1024^1$.
    Die Schreibweise $1024=2\cdot 8^3$ ist ein Produkt, welches eine Potenz beinhaltet, aber keine Potenz an sich.

  • Erschließe die Seitenlänge und die Oberfläche des Würfels.

    Tipps

    Das Volumen des Würfels ist bekannt sowie die Formel für das Volumen. Dies führt zu der Gleichung (ohne Maßeinheiten)

    $216=a^3$.

    Schreibe $216$ als Potenz, so dass der Exponent $3$ ist.

    Die Oberfläche des Würfels ist gegeben durch die Formel

    $O=6\cdot a^2$.

    Lösung

    Zunächst berechnet man die Seitenlänge $a$, welche auch für die Oberflächenformel benötigt wird.

    Es ist das Volumen $216~cm^3$ gegeben.

    Mit der oben angegebenen Formel gilt $V=a^3$.

    Wenn man $216$ als Potenz mit dem Exponenten $3$ schreiben kann, ist die Basis die gesuchte Lösung für $a$.

    Es ist $216=6\cdot 6\cdot 6=6^3$.

    Also ist die gesuchte Länge $a=6~cm$.

    Diese kann nun in der Formel für die Oberfläche ($O=6\cdot a^2$) eingesetzt werden und man erhält

    $O=6\cdot (6~cm)^2=6\cdot 36~cm^2=216~cm^2$.

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