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Potenzen – Definition

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Potenzen – Definition
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzen – Definition

Potenzen kommen im Alltag (fast) überall vor: Bei der Berechnung von Zinsen, bei der Angabe der Lautstärke in Dezibel, bei der Angabe sehr großer oder sehr kleiner Zahlen und auch beim ganz normalen Rechnen. Möchtest du z.B. mehrere gleiche Faktoren zusammenfassen, dann machst du das mit einer Potenz. Du kannst aber auch mit negativen Zahlen potenzieren. Wie das geht und warum das sinnvoll ist, siehst du im Video. Die Definition der Potenzen mit negativen Exponenten ist ein typischer Fall von mathematischer Festlegung: Man kann nicht beweisen, dass man Potenzen auf diese Weise definieren MUSS, es ist aber unter allen Möglichkeiten, Potenzen zu definieren, der mit Abstand sinnvollste Weg.

14 Kommentare

14 Kommentare
  1. gutes Video, aber was ist denn jetzt 6 -³ ? muss man dann immer auf 1 rechnen oder was ? Hab das nicht richtig verstanden.

    Von Jan+Finn+Nils, vor etwa 2 Monaten
  2. gutes video und gut erklärt, weiter so.

    Von B O 1204, vor 11 Monaten
  3. 5 Sterne von mir.

    Von Naserilida, vor etwa einem Jahr
  4. Das Video war Klasse.

    Von Naserilida, vor etwa einem Jahr
  5. Hallo Deliakrespelka,

    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Videos und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
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Potenzen – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die einzelnen „Teile“ einer Potenz.

    Tipps

    Allgemein ist

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

    eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit wiederkehrendem Faktor $a$.

    Die Basis ist unten und der Exponent ist oben.

    $a^n$ ist eine Potenz.

    $2^5$ ist ebenfalls eine Potenz.

    Es gilt $2^5=32$.

    $32$ ist der Potenzwert.

    Lösung

    Was ist eigentlich eine Potenz? Anstatt die gleiche Zahl mehrfach zu addieren, kannst du diese Zahl auch mit einem Faktor multiplizieren. Die Multiplikation ist also eine abkürzende Schreibweise für die Addition. Ein Beispiel:

    $\underbrace{3+3+3+3}_{4-\text{mal}}=4\cdot 3$.

    Ebenso ist die Potenz eine abkürzende Schreibweise für eine Multiplikation, in welcher der gleiche Faktor mehrmals vorkommt:

    $\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}_{4-\text{mal}}=3^4$.

    Schauen wir uns die Bestandteile einer Potenz an:

    • Der Term $3^4$ wird als Potenz bezeichnet. Du sprichst dies so aus: „Drei hoch vier.“
    • Die Zahl, welche als Faktor mehrmals vorkommt, steht in der Potenz unten und wird als Basis bezeichnet: Hier ist es die $3$.
    • Die Anzahl, wie oft der Faktor vorkommt, steht in der Potenz oben. Sie wird als Exponent bezeichnet: Hier ist es die $4$.
    • Du kannst $3^4=81$ auch ausrechnen. Das Ergebnis wird Potenzwert genannt: Hier ist der Potenzwert $81$.
  • Ergänze die Erklärung zu negativen Exponenten.

    Tipps

    Beachte die Voraussetzung, dass $a\neq 0$ sein muss.

    Du darfst nicht durch $0$ dividieren.

    Es ist

    $a^{-n}\cdot a^n=a^0=1$.

    Lösung

    Wir haben einen mathematischen Ausdruck der Form $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$. Dabei ist $a$ eine Zahl. Diese kommt in dem Produkt $n$-mal als Faktor vor. Das bedeutet, die Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt.

    Dies gilt natürlich nur, wenn im Exponenten eine natürliche Zahl steht.

    Nun kannst du dich fragen, ob du im Exponenten auch negative Zahlen einsetzen darfst: $a^{-n}$, wobei $n$ wieder ein natürliche (also positive ganze Zahl) ist.

    Um es kurz zu machen: Ja, das darf man. Betrachten wir den Term $6^{-3}$ genauer:

    $6^{-3}=\frac1{6^3}$.

    Dies gilt auch allgemein: $a^{-n}=\frac1{a^n}$, mit $n\in\mathbb{N}$ und $a\neq 0$.

  • Stelle das jeweilige Produkt als Potenz dar.

    Tipps

    Beachte, dass bei der Potenzschreibweise eines Produktes, in welchem der Faktor $a$ genau $n$-mal vorkommt, der Faktor in der Basis und die Häufigkeit $n$ im Exponenten der Potenz steht.

    Schaue dir dieses Beispiel an:

    $6\cdot 6\cdot 6\cdot 6$.

    In diesem Produkt kommt der Faktor $6$ viermal vor, also ist

    $6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^4$.

    Oft werden solche Produkte auch mit geschweiften Klammern geschrieben. So ist zum Beispiel

    $\underbrace{4\cdot ...\cdot 4}_{6-\text{mal}}=4^6$.

    Lösung

    Wenn in einem Produkt ein Faktor mehrmals vorkommt, kannst du dies abkürzend auch als Potenz schreiben.

    Dabei ist der wiederkehrende Faktor die Basis und die Anzahl, wie oft der Faktor auftaucht, der Exponent.

    Schauen wir uns dies an einigen Beispielen an:

    • $5\cdot 5\cdot 5=5^3$. Hier ist der Potenzwert übrigens $125$.
    • $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$
    • $4\cdot 4\cdot 4=4^3=64$
    • $\underbrace{3\cdot...\cdot 3}_{5-\text{mal}}=3^5=243$
    • $\underbrace{2\cdot...\cdot 2}_{7-\text{mal}}=2^7=128$
    • $7\cdot 7=7^2=49$
  • Leite weitere spezielle Fälle für Potenzen her.

    Tipps

    Beachte, dass $a^n$ bedeutet, dass in einem Produkt der Faktor $a$ genau $n$-mal vorkommt.

    Zum Beispiel ist $a^2=a\cdot a$.

    Du hast bereits gelernt, dass für natürliche Exponenten

    $a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{\text{n-mal}}=a^n$

    gilt und für negative Exponenten

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$, für $n\in\mathbb{N}$ sowie $a\neq 0$.

    Lösung

    Hier lernst du noch einige spezielle Potenzen kennen:

    Die Basis $1$: Es ist $1^n=\underbrace{1\cdot ...\cdot 1}_{\text{n-mal}}=1$. Damit ist auch $1^{-n}=\frac1{1^n}=\frac11=1$.

    Die Basis $0$: Es ist $1^n=\underbrace{0\cdot ...\cdot 0}_{\text{n-mal}}=1$ für $n=1,2,3,...$

    Der Exponent $0$: Es gilt $a^0=1$. Für die Basis $0$ ist dieser Term nicht beweisbar, wurde allerdings folgendermaßen festgelegt: $0^0=1$.

    Der Exponent $1$: Es ist $3^1$ ein Produkt, in dem der Faktor $3$ einmal vorkommt. Das bedeutet, dass $3^1=3$ ist. Dies kannst du auch verallgemeinern zu $a^1=a$, du kannst also

    • entweder den Exponenten $1$ weglassen: $a^1=a$ oder
    • die $1$ als Exponenten hinschreiben, was manchmal sinnvoll ist, um Rechenregeln für Potenzen anzuwenden.
  • Gib an, wie die Potenz auch noch geschrieben werden kann.

    Tipps

    Eine Potenz mit natürlichem Exponenten ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt.

    Zum Beispiel ist $\underbrace{2\cdot 2\cdot ... \cdot 2}_{\text{7-mal}}=2^7$.

    Es gilt $a^{-n}\cdot a^n=1$ für alle $a\neq 0$.

    Der immer wiederkehrende Faktor in dem Produkt steht in der Potenz in der Basis und die Anzahl, wie oft der Faktor vorkommt, im Exponenten.

    Lösung

    Eine Potenz $a^n$ mit einem natürlichen Exponenten ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem der Faktor $a$ genau $n$-mal vorkommt:

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$.

    Wenn der Exponent negativ ist, erhältst du einen Bruch:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

  • Zeige, wie man Potenzen multiplizieren oder dividieren kann.

    Tipps

    Wenn du alle Zahlen addierst, welche in die Lücken gehören, erhältst du $25=5^2$.

    Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst, kannst du kürzen.

    Schaue dir das folgende Beispiel an:

    $\frac{3^3}{3^2}=\frac{\not3\cdot \not3\cdot 3}{\not3\cdot \not3}=\frac31=3$.

    Beachte, dass $3^1=3$ ist.

    Lösung

    Hier lernst du bereits einige Rechenregeln für Potenzen kennen:

    Potenzen mit gleicher Basis

    Das Produkt von Potenzen

    Beispiel: $2^3\cdot 2^4=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)$

    • Nun kannst du zählen, wie oft der Faktor $2$ gesamt vorkommt: siebenmal.
    • Damit ist $2^3\cdot 2^4=2^7=128$.
    Merke dir: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.

    Der Quotient von Potenzen

    Hier lautet der Merksatz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

    Dies kannst du dir an einem Beispiel klarmachen:

    $\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8$.

    Potenzen mit gleichem Exponenten

    Potenzen von Produkten

    Beispiel:

    $2^3\cdot 5^3=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (5\cdot 5\cdot 5)=(2\cdot 5)\cdot(2\cdot 5)\cdot(2\cdot 5)=10\cdot 10\cdot 10=10^3=1000$

    Merke dir: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Potenzen von Quotienten

    Ähnlich zu Potenzen von Produkten kannst du dir merken: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

    Damit ist $\frac{10^2}{2^2}=\left(\frac{10}2\right)^2=5^2=25$.

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