Potenzen
Potenzen sind eine kürzere Schreibweise, um eine Zahl mehrmals mit sich selbst zu multiplizieren. In der Potenzschreibweise wird die Basis mit dem Exponenten angegeben, wie z.B. $ab$. Wenn die Basis negativ ist, führt dies abhängig vom Exponenten zu einem positiven oder negativen Ergebnis. Neugierig? Das und vieles mehr kannst du im folgenden Text entdecken!
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Potenzen Übung
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Gib den Term für Lohn am 6. Tag an.
TippsErkennst du die Regelmäßigkeit?
- 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
- 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
- 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
Die Anzahl der Goldstücke kannst du als Potenz mit der Basis $2$ ausdrücken, weil sie immer verdoppelt wird.
LösungUm den Lohn für den Architekten am $30$. Tag zu bestimmen, schauen wir uns erst einmal die ersten fünf Tage an:
- 1. Tag: $2$ Goldstücke oder $2^1$
- 2. Tag: $4=2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^2$
- 3. Tag: $8=2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^3$
- 4. Tag: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^4$
- 5. Tag: $32=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ Goldstücke oder $2^5$
Die Anzahl der Tage steht im Exponenten, also der Hochzahl. Die Basis ist jeweils die $2$, da die Bezahlung von $2$ Goldstücken Tag für Tag verdoppelt, also mit $2$ multipliziert wird.
Deshalb kannst du den Lohn am $6$. Tag wie folgt ausdrücken:
$2^{6} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64$
Am $6$. Tag muss der Maharadscha also $64$ Goldstücke zahlen.
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Erkläre, was sich hinter der Potenz $2^5$ verbirgt.
TippsDie abkürzende Schreibweise für wiederholte Addition, also wenn immer wieder der gleiche Summand addiert wird, ist die Multiplikation: $4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$
Wie kann man eine wiederholte Multiplikation abkürzend schreiben?
Merke dir: Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt
LösungWiederholte Addition kannst du durch Multiplikation abkürzen:
$4+4+4+4+4=5\cdot 4=20$
Ebenso kannst du auch die wiederholte Multiplikation abgekürzt schreiben:
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5$
Hier kommt der Faktor $2$ fünf Mal vor. Dabei ist
- $2$ die Basis (auch „Grundzahl“), diese steht unten und
- $6$ der Exponent (auch „Hochzahl“), dieser steht oben.
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Stelle die Multiplikation als Potenz dar.
TippsMit Potenzen kannst du wiederholte Multiplikationen des gleichen Faktors verkürzt schreiben.
Zum Beispiel ist
$5\cdot 5\cdot 5=5^3$.
Zähle, wie oft der Faktor vorkommt. Die Anzahl ist der Exponent.
LösungWenn du die allgemeine Schreibweise von Potenzen ansiehst, stellst du fest: Der wiederkehrende Faktor ist die Basis und die Anzahl des Faktors ist der Exponent.
Achtung: Es ist wichtig zu unterscheiden, welche Zahl die Basis und welche Zahl der Exponent ist. Im Allgemeinen ist $a^b\neq b^a$.
Bei $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$ kommt der Faktor $4$ fünfmal vor. $4$ ist also die Basis, $5$ der Exponent: $4^5$.
Gehst du so auch bei den anderen Multiplikationen vor, erhältst du:
- $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4$
- $7\cdot 7\cdot 7=7^3$
- $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^7$
- $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6$
- $6\cdot 6=6^2$
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Ermittle, wie viele Katzen die Freunde von Lisa, Ben und John insgesamt haben.
TippsVerkürzte Addition:
$4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3$
Verkürzte Multiplikation:
$4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$
LösungLisa, Ben und John sind $3$ Personen und jeder von ihnen hat drei katzenverrückte Freunde. Das kann man als Produkt $3\cdot 3$ oder auch als Potenz $3^2$ ausdrücken. Das Ergebnis, also die Anzahl der Katzenfans in ihrem Freundeskreis, ist $9$.
Jeder dieser Katzenliebhaber besitzt genau drei Katzen. Es muss also nochmals mit $3$ multipliziert werden: $3\cdot 3\cdot 3$. Du kannst auch das wieder als Potenz schreiben: $3^3$.
Die Gesamtzahl der Katzen beträgt also $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27$.
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Benenne die einzelnen Teile der Potenz.
TippsIn einem Bruch wie $\frac{4}{5}$ ist $4$ der Zähler und $5$ der Nenner.
Schaue dir das folgende Beispiel an:
In der Potenz $4^7$ ist $7$ der Exponent.
LösungEine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.
Wenn zum Beispiel bei $3\cdot 3$ der Faktor $3$ zweimal vorkommt, so kann dies geschrieben werden als $3^2$. Dabei ist $3$ die Basis, also der wiederholte Faktor, und $2$ der Exponent, also die Anzahl, wie häufig der Faktor vorkommt.
Vorsicht: $3^2$ darfst du nicht mit $3\cdot 2$ verwechseln. $3\cdot 2$ ist eine verkürzte Schreibweise für $3+3$, also für die Addition.
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Berechne die gegebenen Potenzen.
TippsDu kannst Potenzen mit der gleichen Basis vergleichen:
$2^3<2^4$, da $3<4$ ist.
Du kannst ebenso Potenzen mit gleichem Exponenten vergleichen:
$3^4 <5^4$, da $3<5$ ist.
Wenn weder Basis noch Exponent übereinstimmen, musst du den jeweiligen Potenzwert berechnen.
Merke dir hierfür, am Beispiel:
$5^3=5\cdot 5\cdot 5$
LösungUm Potenzen miteinander zu vergleichen, kannst du die Werte berechnen:
$a^n=\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ Faktoren}}$
Die Potenzen ihrer Größe nach sortiert sind:
- $2^3 =2\cdot 2\cdot 2=8$
- $3^2 =3\cdot 3=9$
- $4^2 =4\cdot4=16$
- $5^2 =5\cdot 5=25$
- $3^3 =3\cdot 3\cdot 3=27$
- $2^5 =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
- $6^2 =6\cdot 6=36$
- $4^3 =4\cdot 4\cdot 4=64$
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